книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

собственные функции ср^ и соответствующие собственные значения [ik, к = 1, 2, . . ., симметричного квадратично интегрируемого ядра (s, t) = G(s, t) — GAr(s* f). Нетруд­ но проверить следующие равенства:

о

распределение с нулевым средним и единичной дисперсией; при различных к они независимы. Учитывая эти свойства*

Из сходимости ряда 2р| вытекает сходимость бесконечного произведения в равенстве (4.5). Таким образом, если N > > Nv то математическое ожидание в правой части нера­ венства (4.4) конечно* и при а = S(ф) у для достаточно малых е получаем

Р{||еХ — еХ^|| ^ 6/3} < const -exp {—е~2(£(ф )+у)}. (4.6)

Собирая вместе оценки (4.2)* (4.3) и (4.6)* получим (4.1). *•

В силу (4.4) первое слагаемое правой части может быть сделано меньше ехр {—e~2(s — у/2)} при достаточно боль­ шом N. Оценка второго слагаемого

Р{р(еХ^, ON(S)) > 6/3} < ехр {—e~2(s — у/2)}

вытекает из примера 3.2. На основании этих оценок из (4.8) выводим неравенство (4.7). Теорема 4.1 доказана.

З а м е ч а н и е . Как было установлено в предыдущем параграфе, оценки (4.1), (4.7) выполняются при достаточ­

§ 41 ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ПОЛЯ 133

представление позволило свести вычисление функционала

действия для семейства процессов e X t в L OT к оценкам соответствующих вероятностей для винеровского процес­ са, полученным в § 2 (для равномерной метрики). Сейчас мы сформулируем и докажем теорему, очень близкую к теореме 4.1; но мы не будем опираться на оценки для ви­ неровского процесса в равномерной метрике, а восп­ роизведем доказательства из § 3.2 в обстановке гильбер­ това пространства (см. В е н т ц е л ь [4]). Это позволит нам выписать выражение функционала действия для гаус­ совских случайных процессов и полей в различных гиль­

пользоваться рассуждениями, приведенными при дока­ зательстве теоремы 4.1, но это представление уже не так естественно, как для случайного процесса.

Пусть Я — действительное гильбертово пространство; мы сохраним обозначения (, ), | |для скалярного произве­ дения и нормы в II. Рассмотрим в II гауссовский случай­ ный элемент X со средним 0 и корреляционным функциона­ лом В(/, g) = М(Х, /)(Х, g). Этот билинейный функционал представляется в виде B(f, g) = (Л/, g), где А — самосо­ пряженный линейный оператор, который автоматически оказывается неотрицательно определенным, вполне не­

обозначим 5,(ф )=1/2||Л“ 1/2ср|| ; если A~i/2ср не определено, то считаем 5(ср) = + оо. Чтобы сделать оператор Л“ 1/2 од­

нозначным, мы опять выбираем в качестве ^ -1/2ср тот элемент ф, который ортогонален нулевому подпростран­ ству оператора А и для которого Л*/2ф = ср.

Т е о р е м а 4.2. Пусть s, б и у — произвольные по­ ложительные числа. Тогда

при К 2j/2|AS'((p). Из этих неравенств следует, что случайная величина под знаком математического ожида­ ния в (4.11) с вероятностью, не меньшей 3/4, больше чем

ехр {—е“ 25(ср)—е~{К }. Отсюда вытекает неравенство (4.9). Докажем теперь второе утверждение теоремы. Обозна­

Случайная величина 2 'X? есть сумма квадратов г0

г —1

независимых нормальных с параметрами (0, 1) случай­ ных величин, и, стало быть, имеет ^-распределение с i0 степенями свободы. Используя выражение для плотности Х2-распределения, получим

^ const-е г#ехр{— е 2s} (4.14)

для достаточно малых е > 0. Вторая вероятность в (4.12) оценивается с помощью экспоненциального неравенства Чебышева

136 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ 3

Математическое ожидание в правой части конечно при до­ статочно большом i0. Это проверяется так же, как конеч­

(4.15) с = 256"2, при достаточно большом г0 будем иметь

Сопоставляя формулы (4.13), (4.14) и (4.10), получим по следнее утверждение теоремы.

Эта теорема позволяет вычислять функционал дейст­ вия для гауссовских случайных процессов и полей в произ­ вольных гильбертовых нормах. Требуется только, чтобы реализации процесса принадлежали соответствующему гильбертову пространству. В ряде задач, например, в за­ дачах о пересечении уровня случайным процессом пли нолем, желательно иметь оценки в равномерной норме. Для получения таких оценок можно воспользоваться теорема­ ми вложения.

Пусть D — ограниченная область в Нг с гладкой гра­

ницей. Обозначим ЦГ2 пространство функций в 1), полу­ чающееся из пространства бесконечно дифференцируемых функций в D путем пополнения его по норме

ка I. Чтобы реализации гауссовского случайного поля Х г, z е D cz Дг, с нулевым средним и корреляционной функ­ цией а(и, v) = MXUXD принадлежали W<Z(D), достаточно (см., например, Г и х м а н и С к о р о х о д [1 ]), чтобы корреляционная функция имела непрерывные производ­ ные до порядка 21 включительно. Пусть т — мультиин­ декс {mv . . ., mY), nti ^ 0, причем \т = ml -f m3‘ -J- . . .

* -> оо. В силу единственности слабого предела в Н полу­

чаем, что ф = ф. Теперь утверждение б) леммы получаем из полунепрерьтвности снизу нормы относительно слабой сходимости.

Утверждение а) леммы следует из б) и из того, что

Д о к а з а т е л ь с т в о . Первое утверждение дока­ зано в общей ситуации в § 3. Второе утверждение мы до­ кажем только для ф е DA - I - (Относительно доказа­ тельства для ф е D i/2 см. С ы т а я [1 ]; там же име­ ется уточнение первого утверждения теоремы.) Используя обозначения теоремы 4.2, из равенства (4.11) получим

Р { JеХ — ф|| < 6} =*

= М11еХ 1 < б; ехр |е-1 Д IT 'ф Л ~ е~ 2^ (ф)|| =

=e~2s(<r)М |||еХI < б; exple"12 ХТфДг]}. (4.19)

9 4] ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ПОЛЯ 139

Из последнего равенства и (4.19) вытекает второе утверж­ дение теоремы.

З а м е ч а н и е . Соотношение (4.18) представляет ин­ терес и в задачах, не содержащих малого параметра; оно может быть интерпретировано как утверждение о том, что функционал ехр {—£(ф)} играет для гауссовского случай­ ного поля (процесса) X роль ненормированной плотности распределения относительно «равномерного распределе­ ния в гильбертовом пространстве //».

П р и м е р 4.1. Пусть D — ограниченная область в 11г с гладкой границей dD. Пусть Хъ — гауссовское случайное поле, определенное при Z G D [) dD, имеющее нулевое среднее и корреляционную функцию a(zv z2). Предположим, что эта функция имеет непрерывные про­ изводные до порядка г -)- 2 включительно. Тогда реали­ зации случайного поля с вероятностью 1 имеют интегри­ руемые в квадрате по множеству D частные производные до порядка [г/2] + 1. Иначе говоря, эти реализации при­

5(ср), определяемый как 1/2||4“ 1/ 2ф||2, если А~У2у опреде­ лено, и как +оо для остальных ф, будет нормированным функционалом действия для случайного поля гХ2 при

е0 не только в Т^2/2]+109), но и в CD\JQd.

границы замкнутого множества G может быть домножением на число, сколь угодно близкое к 1, переведен во внутреннюю точку этого множества. Так как £(аф) = а2Х XS(ф), то отсюда вытекает регулярность множества G относительно функционала S(ф). Поэтому в силу тео­ ремы 3.4

Обозначим ek(z), X* собственные функции и соответст­ вующие собственные значения симметричного ядра a(zlf z2). Известно, что a {zLl z2) = 2 (zx) eh(z2). Вычислим