Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 434 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 2] СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 31

са. Для всех процессов, которые мы рассматриваем в этой книге, существуют непрерывные, или во всяком случае непрерывные справа с вероятностью 1 варианты. Такой непрерывный справа процесс своими конечномерными распределениями определяется уже, по существу, одно значно. Мы всегда будем рассматривать непрерывные или непрерывные справа модификации, не оговаривая этого

особо.	каждым случайным	процессом £<, t е	Г, можно
С
связать а-алгебры ЗГ<t =		^"<=a{£s, $<£} и ^ > = # "\| 4=
= а	{£s, s ^ £ } , являющиеся наименьшими		а-алгебра-

ми, относительно которых измеримы случайные величины

£s((o)	при s ^	t и	t соответственно.	Ясно,	что при
h <	f2 имеется	включение		В	дальней-

шем часто рассматриваются условные математические


ожидания	M O iU F y ,	которые	мы будем		иногда
обозначать	M(r)\|\|s, s ^ t); через		М(г)\|£*)	обозначается
условное	математическое	ожидание относительно			а-ал
гебры, порожденной случайной величиной				Аналогич

ные обозначения употребляются и для. условных вероят

ностей.	семейство а-алгебр
Пусть имеется неубывающее	семейство а-алгебр
J?t- JftxЕ Л Ч при 0 < tt < t2; h,	t2 e T. Через j f обоз

начим наименьшую а-алгебру, содержащую все а-алгебры Jfx при t ^ 0. Случайная величина т(со), принимающая неотрицательные значения и значение + оо, называется марковским моментом или случайной величиной, не за висящей от будущего относительно семейства а-алгебр Jft, если {со : т(со) при любом t е Т. Важным при мером марковского момента служит первый момент дости


жения		непрерывным с вероятностью				1 процессом £* в
Rr	некоторого замкнутого множества.					Роль а-алгебр j f t
здесь		играет	неубывающее	семейство		а-алгебр
=	o(£e, s <		t).		множеств		A Q yT, для
	Обозначим		совокупность
которых А П			(т ^ t) е Jft при		всех t е		Г. Легко про
верить,		что	— а-алгебра,	и	случайная величина т

^измерима относительно этой а-алгебры. Если процесс непрерывен справа, то значение £х этого процесса в мар


ковский относительно а-алгебр Jft =		момент т	тоже
измеримо относительно	= ^ < х. Доказательства		этих

32	СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ	ГГЛ. 1
утверждений	и ряд других свойств марковских моментов
можно найти	в книге В е н т ц е л я [1].

Описание случайного процесса с помощью конечно мерных распределений весьма громоздко и используется обычно только в вопросах, связанных с основаниями тео рии. Содержательные результаты получаются для отдель ных классов случайных процессов. Остановимся на основ ных классах процессов, которые встречаются в книге.

Гауссовские процессы. Натешим, что г-мерная случай ная величина Е = (I1, . . ., £г) называется гауссовской,


если	ее	характеристическая			функция fr(z) =				М exp {i(z,
£)},	z ее Rr,		имеет вид fr(z)		=	exp	{i(z,	т) — (Rz,		z)/2},
где	z =	(zlt	. .	zr) <= Rrt		(z,	1) =	г	,	m =
								2	zklk,
= (m1,		. . .,	mr) — вектор					i	ожиданий:
					математических
mk =	M£fe;		R =	(JRli) — матрица			ковариаций:			Rli =
== M(£* — m1)(£/				— mi). Случайный			процесс		£t, ( G Tf

называется гауссовским, если все конечномерные распре деления этого процесса гауссовские. Так как гауссовское распределение определяется своим математическим ожи данием и матрицей ковариаций, то все конечномерные рас

пределения

гауссовского

процесса

£* полностью опре

деляются двумя функциями: m(t) =

корреляцион

ной функцией R(s,

t) =

M(ES — m(s))(£t —

Обычно

мы

будем

рассматривать

гауссовские

процессы

при

t е

Т =

[О,

Т0]

будем

предполагать

непрерывность

функций m(t), R(s, t) при s,

t e [О, Г01. При этих предпо

ложениях

процесс

непрерывен в среднем квадратичес-

Т0

ком и можно считать, чтоj |£s | ds <

сю

при почти всех

со.

Если вместе

предположить, что

непрерывностью m(t)

функция R{s, t) обладает некоторой гладкостью, например,

если	R(s,	t) имеет	вторую	смешанную производную при
s =	t, то существует непрерывная модификация процес
са	Это	значит,	что на	том же вероятностном прост


ранстве, на котором определен				процесс		со), существует
случайный	процесс		£t (со)	такой,		что	Р [%t (со) =
= Et(co)} =	1 при	t е	[0, Г0],	и	при почти		всех со е й
функции It	(со)	непрерывны		на	отрезке		[04 Г01 (см.

Г и х м а н2 С к о р о х о д [1 ]).

§ 2]		СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА				33
С процессом			^ Ю,	Г0] можно связать интеграль
			но
ный	оператор А		: (Лф)*= J R(sy t) сps ds,		который	на-
			о
зывают		корреляционным		оператором.	Если функция
R{s,	t)	непрерывна, то Л — симметричный вполне непре

рывный оператор в гильбертовом пространстве Lfotr0] функций на [0, Г0]со значениями в Я 1; норма в этом про странстве, как и обычно, задается равенством ||<р||=*

	/Г*	\ i/2
*= ( 5 1ч>« I2 dsJ			•
	Мы будем рассматривать также многомерные гауссов
ские		процессы	g* = (gt\..	gt). В этом случае	m(t) =
=	Mg* — векторно-значная			функция; Я($, t) = (R ci(s, t)),
где	Rci(s, t) =		M (£ — ml (s))(\|i — mi{t))-, i, ) = 1 ,		2,. . .

. . .,г. Корреляционный оператор действует в пространстве функций со значениями в Я г.

Марковские процессы — это, грубо говоря, такие слу чайные процессы, поведение которых после какого-то фиксированного момента времени t, при условии, что

задано поведение процесса	до	момента t (включитель
но), такое же, как если бы	процесс		начинался в мо
мент времени t в точке X t. Эту		фразу	можно превратить

в точное определение, причем даже не одним способом; это требует некоторой техники, что связано с тем, что при этом нужно предусмотреть возможность «выпустить» про цесс из каждой точки пространства, в котором он проис ходит.

Пусть	(Q, ST)		и (X, Щ — измеримые	пространства;
пусть в	Q	выделена неубывающая система а-алгебр
Jfx	t ^	Т,	где Т — либо множество	неотрицатель

ных целых чисел {0 , 1 , 2 , . . .}, либо правая полупрямая

[О,	оо).
	Будем называть марковским процессом (точнее, од
нородным			марковским процессом)	относительно системы
а-алгебр			совокупность следующих		объектов:
	А) случайный процесс X t(co), t е			Т,	о) е й, со значе
ниями		в	X ;
х е	Б) набор вероятностных мер РЛ(Л), определенных при
	X,	А е Ф".

2 А. Д. Вентцель, М. и. Фрейдлия

34		СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ					[ГД. 1
При этом требуется, чтобы выполнялись следующие
условия:		каждом t ^ T			случайная величина Х*((о) из
1)	при
мерима относительно				а-алгебры		функция Px{X t е Г} =
2 ) при любых			t е	Г,	Г е J
= P(t, х,		Г) измерима по х относительно					сг-алгебры
3)	Р(0,	, Х \ { } ) =			0;	X, Г е	то почти на
4)	если	t, и е	Т,	t ^	и, х ^
верное по мере			Рх выполняется			равенство
		Px{Xut=T\jrt} = P ( u - t , X t, Г).

Функция P(t, я;, Г) называется переходной функцией марковского процесса.

Если в пространстве X имеется топология и $ — борелевская о-алгебра в X, т. е. a-алгебра, порожденная откры тыми множествами, то можно говорить о различных свой ствах непрерывности марковского процесса. Наиболее слабое из этих свойств — стохастическая непрерывность.

Марковский процесс называется стохастически непре рывным, если его переходная функция обладает следую

щим	свойством: lim Р (t, х,	X \ U) = 0 для каждого
х е	*10	U точки х. Мы будем всегда
х е	X и любой окрестности	U точки х. Мы будем всегда

рассматривать только стохастически непрерывные мар ковские процессы.

Марковский процесс X t рассматривается не на одном вероятностном пространстве, а на целом семействе ве роятностных пространств {Q,^~, Р^.}. Ту же идею процес са, который может быть выпущен из каждой точки х

пространства,			можно выразить, сделав зависящими от
х	траектории		процесса, а вероятности — не зависящими
от	х.	Пусть	{Q, SF’, Р } — вероятностное пространство,
Jfti		i s Г, -	неубывающая система о-алгебр.
	Марковским семейством (относительно данной системы

а-алгебр) называется совокупность случайных процессов

X? (со), t е		Г, х е	X, для которых выполняются	усло
вия:	при	любых	I <= Т и х ^ X случайная величина
1)
Х*(со)	измерима относительно
2)	Р {X f е Г} =		Р (t, х, Г) — ^-измеримая	функ

ция х\

§ 2]	СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОБЩИЕ				СВОЙСТВА	35
3)	Р(0,	*,	Х \ {х }) = 0 ;		Г G	то почти
4)	если	t,	и е	Т1 t ^.и, х е X и	Г G	то почти
наверное по мере				Р

Р{Х£€=Г| j r t] = P { u - t , X * u г).

Введенные понятия марковского процесса и марковско го семейства являются частными случаями соответствую

щих понятий из книги Д ы н к и н а							[2]. Каждому мар
ковскому		семейству			X* (со) на	вероятностном				прост
ранстве	{Q,		Р } нетрудно сопоставить марковский про
цесс. Для этого нужно положить
Q' =		Q x X ,		Xt (со') = X* (со)		при	со' = (со, х)\
			р я{ * 4 е Г > = Р 1х ? е г } .
Можно	доказать			(см.	Д ы н к и н	[2 ]),		что	случайный
процесс	Х*(со')		и	набор вероятностных				мер	Рх,	х е X,

на Q' образуют марковский процесс. Построенный таким образом марковский процесс (Хи Рх) будем называть

марковским процессом, соответствующим семейству X*. В дальнейшем мы будем использовать как марковские семейства, так и процессы. Если индекс х стоит у траекто

рии X*, то значит, рассматривается марковское семейст во, если индекс у вероятности Рж, то — соответствующий процесс. Математическое ожидание по мере Рх обозна

чается	м*.
В основном мы будем рассматривать случайные про
цессы,	определяемые дифференциальными уравнениями
типа X* = Ь(Х*,		£(©)), где £(со) — некоторый			случайный
процесс. Решения этого уравнения			определены для все
возможных начальных условий Х 0 = х е				X. Пусть Xf —
решение, исходящее из точки х : Xf = х.				При	определен
ных	условиях	процессы X? (со)	образуют		марковское

семейство относительно неубывающей системы а-алгебр

#■</ = o {ls, s < t). Мы сохраним обозначения Рх п Мл для вероятностей и математических ожиданий, свя

занных с процессом X f и в случае немарковских процес сов. Индекс х будет указывать на начальное условие, при котором решается дифференциальное уравнение.

2 *

38	СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ	(ГЛ. 1
Из	определения марковского процесса	вытекает, что

при известном положении процесса в момент t события, определяемые ходом процесса до момента t и после него, независимы. Если зафиксировать положение процесса в случайный момент времени т(со), даже если этот момент является марковским, то, вообще говоря, события, опре деляемые поведением марковского процесса до и после момента т(со), могут оказаться зависимыми. Те марковские процессы, у которых такие события независимы для любо го марковского момента т(со), называются строго марков скими. Точное определение таково (см. Д ы н к и н [2]). Марковский относительно неубывающей системы сг-ал-

гебр Jftпроцесс (Х х,		Рх) называется строго			марковским,
если для любого марковского относительно					о-алгебр j f t
момента т и любых		О, ж е ! , Г е 1		для почти всех
по мере Рх точек множества			QT= { с о е £2 : т(со)			оо}
выполняется соотношение
		Г 1./М	^ P{t> Хх,	Г).
Условия, обеспечивающие строгую марковость марков
ского	процесса, а также различные свойства				строго мар
ковских процессов подробно обсуждаются				в	книге Д ы н-
к и н а	[2]. Отметим, что все		марковские	процессы,		рас

сматриваемые в этой книге, являются строго марковскими. Простым и важным примером марковского процес са служит цепь Маркова с конечным числом состояний.

Это марковский процесс, у которого параметр t принимает значения 0 , 1 , 2 , . . ., а фазовое пространство X состоит из конечного числа точек: X = {еъ . . ., еп}. Однородная по времени цепь Маркова, только с такими цепями мы будем встречаться в этой книге, задается квадратной матрицей

Р = (pij)(i, / =	п)	вероятностей	перехода за один
шаг: Ре{ {Х х = ej} =	pi}.	Из определения		марковского
процесса следует, что если вектор-строка			q(s)	= (g^s), . . .

. . . , qn(s)) задает распределение случайной величины Х &(со)

(т. е.	РЖ{Х ,	= ег} = qt(s)), то	q(t)	= q(s)P<->		про
t > s .	Вектор-строка q = (gt, . .		g„),	—	71	= 1*
t > s .	Вектор-строка q = (gt, . .		g„),	дг > 0 ,	2 g ,	= 1*
	_	_			1

для которой qP = g, называется инвариантным распре делением марковской цепи. Инвариантное распределение существует у каждой цепи с конечным числом состояний.

§ 2] СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 37

Если все элементы матрицы Р (или какой-либо ее степе ни) отличны от нуля, то инвариантное распределение g

единственно	и	Н тР л {Х,(со) =	et} = qt	при любых
х, et е X.		f->oo	называемое	эргодической
х, et е X.	Это	утверждение,	называемое	эргодической

теоремой для цепей Маркова, переносится на марковские процессы общего вида.

В последующих параграфах мы вернемся к марков ским процессам, а сейчас упомянем еще о некоторых клас сах процессов.

Говорят, что случайный процесс £t(co), t ^ 0, в фазо вом пространстве (Дг, 38г) является процессом с незави

симыми	приращениями, если для любых	tn > tn_x >
> ••• >	*i> 0 приращения \|,п -	...

•••, \t2— hi представляют собой независимые в совокуп ности случайные величины.

Примером такого процесса	служит процесс Пуассо
на — случайный процесс v*, t	О, принимающий целые

неотрицательные значения, имеющий независимые при ращения и непрерывные справа с вероятностью единица


траектории, для	которого
Р {vf —	V . =		/с> =	[(* — 0 X]4 (t—8),.
				Л-1	*
0		^ s	< Ц	к = 0,	1, ..
где X — некоторый		положительный			параметр.

В следующем параграфе рассматривается еще один процесс с независимыми приращениями, играющий весьма важную роль в теории случайных процессов — винеровский процесс.

С каждым процессом с независимыми приращениями

можно связать марковское семейство X* = х + %t — £о и соответствующий этому семейству марковский процесс. С процессами с независимыми приращениями тесно свя зан еще один класс случайных процессов — мартингалы.

Случайный ’ процесс				£*, t е	Г, называется		мартинга
лом относительно неубывающего семейства а-алгебр
если при любом t е			Т случайная величина				измерима
относительно		а-алгебры		Jfu М£* <; оо и		М(£*\|Л%) =
при 5,	t (=	Т, s <	t.	Если	М(\|*\|Л%) <	ls,	то про
цесс	называется		супермартингалом.

38	СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ	1ГЛ. t
Подробное изложение теории мартингалов имеется в
книге Д у б а	[1].	называется
Случайный	процесс £*(со), —оо <; t <; оо,	называется

стационарным (в узком смысле), если при любом натураль


ном г и любых tx, t2, . .		tr распределение случайной ве
личины		&г+л)	одно и то же при всех				дей
ствительных h. Ясно, что если				для	стационарного		про
цесса	существует	М\|£*\|2,		то	MS* =	т = const, а
корреляционная функция			R(s, t)		= M(?s	— m)(l-t — m)

фактически зависит только от t — s.

Наконец, напомним понятие слабой сходимости мер, отвечающих семейству случайных процессов. Каждый случайный процесс X t(w) определяет некоторое отображе ние вероятностного пространства {Q, Р} в пространство траекторий. Это отображение индуцирует в пространстве траекторий некоторую вероятностную меру \i. Во многих вероятностных задачах случайные процессы рассматривают ся с точностью до распределений в пространстве траекто рий, которые эти процессы индуцируют. В связи с этим важную роль играют те виды сходимости случайных процес сов, которые означают сходимость в том или ином смысле распределений в пространстве траекторий. Пусть для

определенности Xf» t е [0 , 71],	е > 0,— семейство слу
чайных процессов, траектории	которых с вероятностью

1 суть непрерывные функции на [О, Т] со значениями в Rr. Обозначим, как обычно, Сот (й г) пространство все возможных таких непрерывных функций с топологией

равномерной сходимости. Пусть \|л8 — семейство мер		в
Сот (Яг), соответствующих процессам Х\.	Говорят, что
меры ц8 на Сот(#г) слабо сходятся при г	0 к мере	ц,

если для любого непрерывного ограниченного функцио

нала f(x) на		С0т(Яг)
	lim f / (я) (dx) =		J / ( x ) n (dx).
В статье	П р о х о р о в а [1]		(см. также Г и х м а н и
С к о р о х о д		[1 ]) изучены условия компактности се
мейства	мер,	соответствующих случайным процессам,

в топологии слабой сходимости. Если семейство мер р,8 слабо компактно и конечномерные распределения соот

§ 3]

СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ

ветствующих случайных процессов Х\ сходятся к рас пределениям некоторого процесса X t, то меры р,8 слабо сходятся к мере р, соответствующей процессу Х г.

§ 3. Вииеровский процесс. Стохастический интеграл

Винеровским процессом называется гауссовский слу


чайный процесс			wt,	i e		[0 , оо),	со значениями	в	Я1,
обладающий следующими						свойствами:
1) Мwt = 0		при		t ^	0 ;
2 ) Мwswt =		min		(s,	t);				по
3) при	почти		всех со траектории iz^(co) непрерывны
t е [0 , оо).			(см.,		например,		Г и х м а н и	С к о-
Доказывается
р о х о д	[1 ]), что процесс с такими свойствами существу
ет на подходящем вероятностном пространстве									Р}.

Из гауссовости процесса wt следует, что для произвольных моментов времени tn > £;I_A > . . . > tL^ 0 случайные величины wtn— win_ v wtn_ { — u>*n_ 2, . .. , wh — wh имеют

совместное	гауссовское распределение, а из свойства
2 ) вытекает	некоррелированность	этих	приращений:
М(м: м+1 —	— wtj) = 0 для	г, / =	1, 2 , . . ., и;

i ф /. Отсюда заключаем, что приращения винеровского процесса независимы. Отметим, что приращение процес са за время от s до t, s <С t, гшеет гауссовское распределе

ние,	М(wt — ws) =		— w8)2 = t — s. Вычисля
ется,	что	— ws \=	У 2n—^t — s).

Напомним некоторые свойства винеровского процесса. Почти все траектории винеровского процесса имеют своим верхним пределом + о о п нижним пределом —-оо. Отсюда, в частности, следует, что с вероятностью 1 винеровские траектории бесконечно много раз проходят через нуль, причем множество {t : wt{со) = 0 } при почти всех со не ограниченно. По определению реализации винеровского процесса непрерывны, но они с вероятностью 1 нигде не дифференцируемы и имеют бесконечную вариацию на каждом интервале времени. Доказывается, что винеров ские траектории с вероятностью 1 удовлетворяют условию Гельдера с любым показателем а <С 1/2 и не удовлетворя ют — с показателем ос ^ 1/2 . Отметим еще следующее

СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ

1ГЛ. 1

полезное равенство:

Р{ sup w$> а} = 2Р {w г > а). о<s<T

На каждый случайный процесс \|t(co),	t е Г, со зна
чениями в измеримом пространстве (X,	можно смотреть

как на отображение пространства (Q, &~) в пространство функций на множестве Т со значениями в X. В частности,

винеровский процесс wt{со), t е [0,	Т] определяет отобра
жение Q в пространство Cor {R1)	непрерывных функций

на [0, Т] с числовыми значениями, обращающихся в нуль

при t = 0 . Это отображение задает в Сот {R1) вероятност ную меру р,^, которая называется винеровской. Носите

лем винеровской меры является все пространство Сот (Я1). Это значит, что как угодно малая (в равномерной норме)


окрестность		каждой функции ср е Сот (Rх) имеет поло
жительную		винеровскую меру.
Совокупность г независимых винеровских процессов
w\ (со),	и;? (со),... * wrt(co) называется r-мерным винеров-
ским	процессом.
Важная роль винеровского процесса в теории случай

ных процессов в значительной степени объясняется тем, что многие классы случайных процессов с непрерывными траекториями допускают удобное представление через винеровский процесс. Это представление дается с помощью

стохастического интеграла.	Напомним	конструкцию и
свойства стохастического	интеграла.		{Q ,^ , Р},
Пусть имеется вероятностное пространство
неубывающее семейство о-алгебр,/^*»		0 ,	и
винеровский процесс wt на этом пространстве.			Предполо
жим, что a-алгебры j f t таковы* что			при любом

^0 и при 0 ^ s ^ t:

M{wt — w8\jf8) =	0 ; М (И — ^5 \|2\|уГ5) =	t — s.
Так будет, во всяком	случае, если Jft —	0, измери
Говорят, что случайный процесс /(£, со), t ^		0, измери

мый по паре (£, со), не зависит от будущего (относительно заданного семейства о-алгебр jft), если при любом t > 0 случайная величина f(tx со) измерима относительно а-ал-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 434 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023374.36 Кб3Финансовый анализ деятельности предприятия..pdf
#
12.11.20232.23 Mб3Финансовый менеджмент..pdf
#
12.11.202311.22 Mб1Финишная обработка лепестковыми кругами..pdf
#
12.11.20238.65 Mб0Фитнес как эффективная система физического развития студентов..pdf
#
12.11.202310.86 Mб15Флотационные реагенты..pdf
#
12.11.202321.91 Mб4Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений..pdf
#
12.11.20234.35 Mб1Фоносемантическая звуковая картина мира..pdf
#
12.11.20237.17 Mб2Формирование гражданской компетентности..pdf
#
12.11.20231.78 Mб2Формирование системы мониторинга реализации программы социально-экономического развития региона..pdf
#
12.11.20238.74 Mб1Формирование состава остаточных нефтей..pdf
#
12.11.20231.26 Mб2Формирование физической культуры личности студента политехнического университета средствами спорта (на материале единоборств)..pdf