книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

Под эту схему подойдут многие семейства случайных процессов, возникающие в различных задачах естест­ венно, но не обязательно в результате «искажения» ка­ кой-то исходной динамической системы.

Первый пример. Пусть {£п} — последовательность не­ зависимых одинаково распределенных r-мерных случай­

вероятности равномерно на каждом конечном отрезке

ский процесс на прямой следующим образом. Пусть на числовой прямой заданы две непрерывные неотрицатель­ ные функции 1(х) и г(х); и наш процесс, начинающийся в точке х, за время dt с вероятностью h~1l(x)dt совершает скачок в точку х — h, с вероятностью h~1r(x)dt — в точку х + h, а с дополнительной до 1 вероятностью остается в точке х. Приближенный подсчет математического ожида­ ния и дисперсии приращения процесса за малый проме­ жуток времени Д£ показывает, что при h | 0 этот случай­ ный процесс будет сходиться к детерминированному, неслучайному процессу, описываемому уравнением (1)

сЬ(х) = г(х) — 1(х) (точные результаты см. § 2 гл. 5). Еще один класс примеров: — стационарный слу­

ское ожидание не зависит от $; точные результаты см. § 2 гл. 7).

В первом пз примеров сходимость по вероятности Х\*'х'н при 1г | 0 — это закон больших чисел для последо­ вательности {£п}• Поэтому вообще о результатах, уста­ навливающих сходимость по вероятности случайных про­ цессов данного семейства к траекториям динамической системы, мы будем говорить как о результатах типа за­ кона больших чисел. Соответственно результаты о сходи­ мости в смысле распределений семейства случайных про­

ной предельной теоремы. Результаты о больших уклоне­

невозмущенной динамической системы. Скажем несколь­ ко слов о результатах последнего рода.

Для ступенчатой случайной функции (21), строящейся по независимым случайным величинам результаты типа больших уклонений, естественно, связаны с асимпто­ тикой при п -> оо вероятностей вида

p(i ± - ± t > 4 «я»

Результаты, касающиеся асимптотики вероятностей (23)^ разделяются на ДЕе группы: при быстро убывающих «хвостах» распределения слагаемых эта вероятность образуется в основной своей части за счет слагаемых рав­ номерно не слишком больших, и асимптотика имеет вид ехр { —С/г} (с точностью до логарифмической эквива­ лентности); если же «хвосты» ^ убывают медленно, ос­ новная часть вероятности (23) образуется за счет одного слагаемого порядка пх или более, и эта вероятность имеет тот же порядок, что пР{%(>пх}. Первые общие результаты,; касающиеся больших уклонений, были получены Г. Кра­ мером в предположении конечности экспоненциальных

моментов Me**1 по крайней мере для всех достаточ­ но малых z\ они относятся к первой группе результатов. Результаты о больших уклонениях для семейств случай­ ных процессов, рассматриваемые в этой книге, являются обобщениями также результатов первой группы; пред­ положения* при которых они получаются* включают ана­

Далее, в этой книге рассматриваются только грубые результаты о больших уклонениях, действующие с точ­ ностью до логарифмической эквивалентности. В связи с этим введем обозначение для грубой (логарифмической)

если 1пЛ/г~ ln S /t при h \ 0.

Результаты Г. Крамера и большое число более поздних результатов — не грубые, а точные (с точностью до экви­ валентности и еще более точные); но нужно принять во внимание, что случайные процессы — более сложные объекты, чем суммы независимых случайных величин. Можно стремиться к получению точных результатов об асимптотике больших уклонений для семейств случай­ ных процессов, и некоторые результаты в этом направле­ нии получены. Однако здесь есть совершенно другое на­ правление исследования — получение из теорем о боль­ ших уклонениях различных других интересных резуль­ татов об асимптотическом поведении детерминированных в пределе семейств случайных процессов (которые можно рассматривать как результат воздействия малых случай­ ных возмущений на динамические системы). Мнение авто­ ров — что из грубых теорем о больших уклонениях можно вывести больше интересных грубых следствий, чем точ­ ных следствий из точных теорем.

Итак, мы будем рассматривать результаты трех родов: типа закона больших чисел, типа центральной предель­ ной теоремы и грубые результаты типа больших уклоне­ ний (а также, разумеется, всякого рода следствия из этих результатов). Результаты первого типа — наиболее сла­ бые, они следуют из результатов второго и третьего типов; но иногда о них будет идти речь в первую очередь, потому, что их получить проще, и потому, что это своего рода экзамен на право семейства случайных процессов вообще выступать в качестве результата воздействия малых воз­ мущений на динамическую систему.

24 ВВЕДЕНИЕ

Результаты второго и третьего типов независимы друг от друга, и никакие из них не сильнее. Поэтому в некото­ рых случаях мы не рассматриваем результатов типа цен­ тральной предельной теоремы, а сразу занимаемся боль­ шими уклонениями (и при достижении результатов в этой области результаты типа закона больших чисел получают­ ся автоматически).

Случайные возмущения мы будем называть однород­ ными по времени, если распределения значений возни­ кающего случайного процесса в любом числе моментов времени не меняется при одновременном сдвиге по оси времени этих моментов и начального момента t0. В этом случае все, что можно сказать о возмущениях, естествен­

но формулируется в терминах семейства X*’h случайных

процессов, начинающихся в точке х в момент 0, Xo'h = =х. Из рассмотренных нами схем случайных возмущений только (21) не однородна по времени.

Коснемся кратко содержания книги. Прежде всего отметим, что мы рассматриваем теоретико-вероятностные задачи в тесной связи с задачами теории дифференциаль­ ных уравнений в частных производных. Случайным про­ цессам, возникающим в результате малых случайных воз­ мущений, отвечают задачи, связанные с уравнениями, содержащими малый параметр. Мы исследуем случайные возмущения прямыми вероятностными методами и затем делаем выводы о соответствующих задачах для уравнений в частных производных. Вопросы, касающиеся связей между теорией марковских процессов и уравнениями в частных производных, освещаются в главе 1. Здесь же напоминаются необходимые сведения из теории случай­

о более тонких результатах, связанных с асимптотиче­ скими разложениями; в § 3 — о применении этих резуль­ татов к уравнениям в частных производных.

В главе 3 в первый раз в этой книге рассматриваются результаты* касающиеся больших уклонений* для одного

очень простого семейства случайных процессов, а именно, для винеровского процесса wt, умноженного на малый па­ раметр е. Грубая асимптотика вероятностей больших уклонений описывается при помощи функционала дейст­ вия. Функционал действия появляется далее во всех по­ следующих главах. Общие вопросы, относящиеся к описа­ нию больших уклонений с помощью таких функционалов, составляют содержание § 3 этой главы. В §4 вычисляет­ ся функционал действия для семейств гауссовских про­ цессов.

Глава 4 посвящена в основном изучению возмущений динамических систем процессом белого шума. Здесь на­ ходится функционал действия для соответствующего се­ мейства случайных процессов; изучается вопрос о выходе за счет случайных возмущений из окрестности устойчи­ вого положения равновесия динамической системы, на­ ходится асимптотика среднего времени выхода из окрест­ ности, положение в первый момент выхода. В этой же гла­ ве исследуется асимптотика инвариантной меры для ди­ намической системы с одним положением равновесия. Рассматриваемые задачи тесно связаны с поведением при е -> О решения задач для эллиптических уравнений с ма­ лым параметром при старших производных. Предельное поведение решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при стар­ ших производных в случае, когда характеристики соот­ ветствующего вырожденного уравнения выходят за грани­ цу, было изучено Н. Л е в и н с о н о м [1 ]. В главе 4 это предельное поведение изучается в случае, когда ха­ рактеристики притягиваются к устойчивому положению равновесия внутри области. (Случай более сложного по­ ведения характеристик рассмотрен в главе 6.) В послед­ нем параграфе главы 4 рассматриваются гауссовские воз­ мущения общего вида.

В главе 5 результаты главы 4 обобщаются на довольно широкий класс семейств марковских процессов (в тохМ чис­ ле с разрывными траекториями). Здесь более ясной ста­ новится связь с теоремами о больших уклонениях для сумм независимых случайных величин; в частности, появ­ ляется обычный для этой области аппарат преобразова­ ний Лежандра выпуклых функций (им посвящен отдель­ ный параграф).

к системам с более сложной структурой положений рав­ новесия, предельных множеств и т. п. Существенными здесь оказываются множества точек, эквивалентных друг другу в смысле некоторого отношения эквивалентности, связанного с системой и с видом возмущений. В случае конечного числа особых множеств возмущенная система в каком-то смысле аппроксимируется конечной цепью Мар­ кова с вероятностями перехода, зависящими от малого параметра. Для описания предельного поведения таких цепей развивается своеобразный аппарат дискретного характера, связанный с графами. Большая часть резуль­ татов этой главы допускает формулировку на языке диф­ ференциальных уравнений.

В главе 7 рассматриваются задачи, связанные с прин­ ципом усреднения. В основном рассматриваются случай­

ные процессы, определяемые уравнениями вида Xf =* = Ъ(Хги gf/е), где \t — некоторый стационарный процесс с достаточно хорошими свойствами перемешивания. Для

семейства случайных процессов X] устанавливаются теоремы тина закона больших чисел, центральной пре­ дельной теоремы и, наконец, типа больших уклонений. Последнему кругу вопросов уделяется основное внимание

В § 6 гл. 7 изучается поведение процессов Х\ на больших отрезках времени. Здесь также рассматриваются примеры и соответствующие задачи теории уравнений в частных производных. В главе 7 рассматриваются также системы дифференциальных уравнений, в которых скорость быст­ рого движения зависит от «медленных» переменных.

В главе 8 содержатся применения полученных в пре­ дыдущих главах результатов к исследованию устойчиво­ сти относительно малых случайных возмущений. Мы вводим некоторую числовую характеристику устойчи­ вости, которая связана с функционалом действия. Рас­ сматривается ряд задач оптимальной стабилизации.

Последняя, глава 9 носит обзорный характер. Здесь обсуждаются уточнения теорем о больших уклонениях, большие уклонения для случайных мер и результаты о функционале действия для диффузионных процессов с отражением на границе.

Г Л А В А 1

СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ § 1. Вероятности и случайные величины

Мы будем предполагать известными основные факты из теории меры и интеграла Лебега, а также из теории ве­ роятностей. Необходимые нам сведения по этим вопросам содержатся, например, в соответствующих главах книги

начения и заодно напомним в подходящем виде некоторые сведения из теории случайных процессов. При этом дока­ зательства приводиться не будут, а будут даваться ссылки на соответствующую литературу.

Согласно аксиоматике Колмогорова, в основе всех теоретико-вероятностных рассмотрений лежит тройка объ­

жество, которое интерпретируется как пространство эле­

мера на а-алгебре ЗГ, т. е. счетно-аддитивная неотрицатель­ ная функция множества, нормированная условием P(Q) =

=1. Элементы а-алгебры SF называются событиями. Важнейшим объектом теории вероятностей являются

случайные величины — функции £(со) на пространстве Q

ная величина £(со) со значениями в измеримом простран­ стве (X, Ж) — это измеримое отображение пространства (Q, Г ) в (Х,Я)*).

*) Измеримое пространство — это множество X вместе с о-алгеброй & подмножеств множества X . Измеримость отобра­ жения означает, что прообраз каждого измеримого множества измерим.

а-алгеброй 3&г борелевских множеств, то соответствующее отображение £(со) называется r-мерной случайной величи­ ной. Вероятностная мера на а-алгебре Й?, которая опреде­

бега. В этой книге мы будем неоднократно использовать неравенство Чебышева

для любой неотрицательной, монотонно возрастающей функции /(•) на Л1, если только М/(|) < оо.

Для интегралов по части пространства Q мы будем иногда использовать такое обозначение:

jl(cD)P(<?G>)=M04;|).

А

Если в пространстве (X, 9&) задана некоторая тополо­ гия, такая, что открытые множества измеримы, то можно говорить о сходимости случайных величин со значениями в (X, $). Рассматриваются различные виды сходимости. Последовательность r-мерных случайных величин £п(со) называется сходящейся по вероятности к г-мерной слу­

к £ в среднем квадратичном. Наконец, последователь­

Если 1п -> | в среднем квадратичном, то, как это сле­ дует из неравенства Коши—Буняковского, М£П->М£ при п -* оо. Если \п -> £ почти наверное или по вероят­ ности, то для сходимости М\п к М| нужно сделать некото­ рые дополнительные предположения. Достаточно, напри­

§ 1] ВЕРОЯТНОСТИ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 29

мер, предположить, что все величины не превосходят по модулю некоторой случайной величины т}(со), имеющей конечное математическое ожидание (теорема Лебега). Мы будем неоднократно пользоваться этой и другими тео­ ремами о предельном переходе под знаком математиче­ ского ожидания. Все необходимые нам сведения по этому вопросу можно найти в книге К о л м о г о р о в а п Ф о м и н а Ц ].

Пусть *§ — некоторая о-подалгебра а-алгебры^, пол­ ная относительно меры Р (это значит, что вместе с каждым множеством А а-алгебра ^ содержит все множества из 8Г9 отличающиеся от А на множество вероятности 0).

Пусть ц — одномерная случайная величина, имеющая конечное математическое ожидание. Условное математи­ ческое ожидание величины г\ относительно а-алгебры

Существование случайной величины M(r||J?) вытекает из теоремы Радона — Никодима. Из этой же теоремы выте­ кает, что любые две такие случайные величины совпадают всюду, кроме, быть может, множества меры 0. Если слу­ чайная величина Ха(со) равна 1 на некотором множестве

бого борелевского множества D и произвольного А е

30 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 1

Тогда М(5|?) = М£, если только последнее математиче­ ское ожидание существует.

Отметим, что условное математическое ожидание опре­ деляется с точностью до значений на множестве вероят­ ности 0, и все равенства между условными математиче­ скими ожиданиями выполняются всюду, за исключением,, быть может, подмножества пространства Q, имеющего вероятность 0. В тех случаях, которые не приводят к не­ доразумениям, мы не будем оговаривать этого особо.

Доказательства свойств 1—5 и другие свойства услов­ ных математических ожиданий и условных вероятностей можно найти в книге Г и х м а н а и С к о р о х о д а [1].

§ 2. Случайные процессы. Общие свойства

Пусть имеется поле вероятностей {Q,£F, Р }, измеримое пространство (X, $ ) и множество Т на числовой прямой. Семейство случайных величин £*(со), ^ Г, со значениями в (X, 3&) называется случайным процессом. Параметр t принято называть временем, а пространство X — фазовым пространством процесса £f(co). Как правило, мы будем рассматривать случайные процессы, у которых фазовым пространством служит евклидово пространство Rr или некоторое гладкое многообразие. При каждом фиксиро­

распределения определяют случайный процесс с той сте­ пенью однозначности, которая принята в теории вероят­ ностей. В случае, когда Т — отрезок числовой прямой,, как известно, имеется существенная неоднозначность: например, из двух процессов с одинаковыми конечномер­ ными распределениями один может иметь непрерывные при почти всех со траектории, а другой — разрывные траектории. Чтобы избежать этой неоднозначности, в об­ щей теории вводится требование сепарабельности процес­