книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

№= 8-2.

До к а з а т е л ь с т в о . Так как оператор Вх непре­

рывно действует из LOT(R1) в СотСЮ» а функционал

действия семейства eS в LlT{Rl) имеет вид (5.2), то в силу теоремы 3.1 гл. 3 функционал действия семейства процес­

надеяться также получить результаты о наиболее вероят­ ном при малых е поведении траектории Х\{х) возмущен­

ной системы на растущих с уменьшением е или бесконеч­ ных отрезках времени, аналогичные результатам §§ 2, 4.

Например, пусть О — асимптотически устойчивое по­

ложение равновесия системы xt = b(xt), к которому при­ тягивается область Z), на границе которой поле Ь(х) направлено строго внутрь области. Рассмотрим момент

Однако сразу становится ясно, что это не так-то просто. Прежде всего, анализ предполагаемого плана доказа­ тельства показывает, что на роль предела е2 In МтД.г) с тем же основанием может претендовать и

Уо = inf {S - оо,г(ф): фt = # , — оо < t < 0, фг е dD; Т > 0}.

В случае марковских возмущений У0 и Уо очевидным об­ разом совпадают, но в немарковском случае это может быть не так. Далее, при доказательстве теорем 2.1, 4.1, 4.2 использовалась конструкция с циклами, разбивающая

траекторию марковского процесса Xf на участки, зависи­ мость между которыми легко учитывалась и оказывалась достаточно мала. Для произвольного стационарного воз­ мущения е£* ничего подобного, разумеется, не будет; необходимо наложить на стационарный процесс £* те или иные условия ослабления зависимости с течением вре­ мени. Так как речь идет о вероятностях, стремящихся к нулю (вероятностях больших уклонений^ условие силь­ ного перемешивания

8ир||Р(Л П В )-Р (Л )Р (В )| :

^ ос (t — s) 0 (t — s —>■оо)

оказывается недостаточным; нужны более тонкие усло­ вия. Эти вопросы рассматриваются в работах Г р и н я [1], [2]; в частности, для определенного класса процес­

сов Xt нижние грани У0 и VQсовпадают, и выполнено (5.3).

Г Л А В А 5

ВОЗМУЩЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕ

КМАРКОВСКИМ ПРОЦЕССАМ

§1. Преобразование Лежандра

Вэтой главе мы будём рассматривать теоремы об асимптотике вероятностей больших уклонений для мар­ ковских случайных процессов. На такие процессы можно смотреть как на обобщение схемы суммирования незави­ симых случайных величин; конструкции, которые исполь­ зуются при исследовании больших уклонений для марков­ ских процессов, обобщают конструкции, встречающиеся при изучении сумм независимых слагаемых.

Первые общие предельные теоремы для вероятностей больших уклонений сумм независимых случайных вели­

чин содержатся в статье К р а м е р а 11]. Основное пред­ положение в этой работе — предположение о конечности экспоненциальных моментов, а результаты можно сфор­ мулировать в терминах преобразований Лежандра некото­ рых выпуклых функций, связанных с экспоненциальными моментами случайных величин.

Семейства случайных процессов, которые рассматри­ ваем мы, являются аналогами схем сумм случайных вели­ чин с конечными экспоненциальными моментами, так что преобразование Лежандра оказывается существенным и для нашего случая. Рассмотрим сначала это преобразова­ ние и его применение к семействам мер в конечномерных пространствах.

Пусть Н(а) — выпуклая вниз полунепрерывная снизу функция от г-мерного векторного аргумента, принимаю­

и даже непрерывности — автоматически выполняется при

a

где (a, Р) = 2 a iP — скалярное произведение.

г=1

Легко доказать, что L — опять функция того же клас­ са, что Я, т. е. выпуклая вниз, полунепрерывная снизу,, принимающая значения из (— оо, оо] и не равная тождест­ венно +°°* Следующие свойства преобразования Лежанд­ ра можно найти в книге Р о к а ф е л л а р а [1]. Преоб­ разование Лежандра обратно само себе:

связанные соотношениями (1.1)—(1.2), называются сопря* женными, что мы будем обозначать так: Н(а)++ Ьф). В точках а0, внутренних для множества {а : Я(а) < о о} относительно его аффинной оболочки, функция Я суб­ дифференцируема, т. е. имеет (вообще говоря, не единст­

( Р о к а ф е л л а р [1], теорема 23.4; говоря геометри­ чески, субградиент — это угловой коэффициент неверти­ кальной опорной плоскости к множеству точек над гра­ фиком функции). Неоднозначное отображение, ставящее

всоответствие точке множество субградиентов функции

Яв этой точке, обратно такому же отображению для функции L; т. е. выполнение (1.3) для всех а равносильно выполнению для всех (3 неравенства

Для гладких внутри своей области конечности функ­ ций //, L нахождение сопряженной функции сводится к классическому преобразованию Лежандра: находится

при этом аф) = VZ/ф). Если одна из сопряженных друг Другу функций непрерывно дифференцируема п ^ 2 раз,; и матрица вторых производных положительно определе­ на, то столь же гладка и другая, и матрицы вторых про­ изводных в соответственных точках обратны друг другу:

] / p 2 + 4r/ + r + 1

Оказывается, грубая асимптотика семейств вероятност­

ных мер в Rr может быть связана с преобразованием Ле­ жандра логарифма экспоненциальных моментов. Следую­ щие две теоремы заимствованы с некоторыми изменения­ ми у Г е р т и е р а [2], 13].

Пусть рЛ — семейство вероятностных мер в Rr; по­ ложим

Hh(а) = In J exp {(а, х)} р,л (dx).

Функция Hh выпукла вниз: в силу неравенства Гёльдера при 0 < с < 1

Hh(сах + (1 — с) а2) =

= In j exp [с (аи х)} exp {(1 — с) (ait х)} цА (dx) < йг

= cHh(с^) + (1 — с) Нк(аг)-

она полунепрерывна снизу (легко доказывается с по­ мощью леммы Фату), принимает значения из (—оо, + 0°]

Эта функция также выпукла вниз, и Я(0) = 0; потре­ буем, чтобы она была полунепрерывна снизу, нигде не обращалась в —оо и была конечна в некоторой окрест­

Для каждой точки у этого компактного множества сущест­

§ 1) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА 187

содержит Ф($) и не пересекается с 5Ф_|_fi(s). Отсюда выте­ кает, что этот многогранник целиком лежит в 6-окрест-

точки, функция Я была дифференцируема в них, и чтобы, если последовательность точек а* сходится к точке гра­

наложенные ранее на рЛ, Hh и Я. Пусть, кроме того, функция L строго выпукла в точках, образующих в {р: Ь(р) < оо} всюду плотное множество.

строго выпукла. Действительно, выполнение утвержде­ ния теоремы для таких х равносильно его выполнению для всех я, той же функции X и функции Ь(х), определяе­ мой как Ь(х), если функция L строго выпукла в точке х,: и как + оо в противном случае. В тех точках, где L(x) <С

Раз Н(а0) конечно, то и Hh(X(h)а0) конечно при достаточ­ но малых h. Рассмотрим для таких h вероятностную меру

^ ,а°, определяемую соотношением

^•а° (Г) = f exp [l (h) (а0, у) - Hh (К(h) а0)) у* {dy).

Г

Пользуемся взаимной абсолютной непрерывностью мер

[ih и

Второй множитель здесь в силу (1.6), (1.10) при достаточ­

нии к семейству мер pA’a°. Вычисляем характеристики этого семейства:

(а) = In J ехр {(с*! у)} (dy) =

RT

= Hh(a + X(h)a0) - H h(X(h)a0,);

Яа° (a) = lim X (h)~lHh’ai>(X (h) a) = Я (a0 + a) - Я (au); h10

La« ( P ) = b ( P ) - [ ( a 0, P) — Я (a0)].

Функция La°(P) обращается в нуль в точке р = х и всю­

ду неотрицательная (так как Я а°(0) = 0). Эта функция вслед за L(P) строго выпукла в точке х\ отсюда вытекает,

что La°(P) строго положительно при всех р Ф х, и

Yo = min (La° (р): р (р, х) > б'/2) > 0.

Пользуемся оценкой (1.7) с 672 вместо б, положительным у < у0 и s ^ (у, Уо)-* пРи достаточно малых h

p(ff, z ) > 6 ' } <

< { У: P (У, Фа° («)) > б'/2} < ехр { - X (h) (s - у)},

что стремится к нулю при h | 0.

Таким образом, если выполнены условия теорем 1.1—