книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

Если a{zx z) > a(z2 z) для всех остальных точек z из D{JdD, то

при любом 6 ]> 0.

В случае однородного случайного поля Хъ уже нельзя указать функцию ср, вдоль которой с подавляющей вероят­ ностью при е 0 достигают уровня 1 реализации еХ£ при условии, что они его вообще достигают. Однако в этом случае функции a(z0, z) при разных z0получаются друг из друга сдвигом, и можно доказать, что

Г Л А В А 4

ГАУССОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

§1. Функционал действия

Вэтой главе мы будем рассматривать возмущения ди­ намической системы

xt = b(xt), х0 = х, Ъ{х) = (Ь'(х), . . ., Ьг(х)) (1.1)

процессом белого шума и вообще гауссовским процессом. Функции 6*, если не оговорено противного, будем считать ограниченными и удовлетворяющими условию Липшица: |Ь(х) — Ъ(у) | К\х — 1/|, \Ь(х)\ К < оо. Основное вни­ мание мы уделяем здесь случаю, когда возмущенный про­ цесс имеет вид

где wt — r-мерный винеровский процесс. В гл. 2 мы гово­

рили о том, что при е -> 0 процессы X] сходятся по веро­ ятности равномерно на каждом конечном отрезке [О,Г] к траекториям динамической системы (1.1). На этот ре­ зультат можно смотреть как на вариант закона больших чисел. В гл. 2 имеется также утверждение типа центральной

предельной теоремы для процессов Х\: нормированная раз­

ность (Xf — xt) сходится к гауссовскому процессу. Этот результат характеризует отклонения порядка е от предельной динамической системы. В этой главе мы изу­ чим асимптотику вероятностей больших (порядка 1) ук­

лонений для семейства процессов Xf и рассмотрим ряд

задач, касающихся поведения возмущенного процесса на больших отрезках времени. В последнем параграфе мы

рассмотрим большие уклонения для процессов Х \ кото­ рые определяются уравнениями

ниях относительно Ъ{х) решение уравнения (1.4) существу­

\Ь(х) — Ъ(у)| < К\х — у\.

Тогда оператор Вх в C0T(Rr) удовлетворяет условиюЛип­ шица'.

Отсюда, в частности, вытекает, что нижняя грань S()T{ср) по любому ограниченному замкнутому подмноже­

ству Сот (Rr) достигается; причем значения, близкие к наименьшему, функционал S0T принимает только вблизи функций, на которых достигается минимум.

Отметим, что если SoT(ф) = 0, то функция ф на [О, Т| является траекторией динамической системы (1.1), так как в этом случае ф абсолютно непрерывна и почти всюду

Если экстремаль ф8, доставляющая минимум функционалу х), единственна и только при одном зна­

чении s [0, t] она принимает значение из dD, то

функционал действия для семейства процессов Xf, то соотношения (1.5) и (1.6) вытекают из теоремы 3.4 гл. 3.

146 ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ (ГЛ. 4

При этом нужно еще воспользоваться регулярностью мно­ жеств ITD(t, х) и IID(t, х)у которая доказана в примере 3.5 гл. 3.

множестве А\ выполняется неравенство

(1.8)

где Х&-> 0 при 6 | 0. Эта оценка вытекает из того, что время, проведенное кривой ф8 в 8-окрестности точки ФГ G= 0D, стремится к нулю при б \ 0, а после момента 5 экстремаль ф3 на 0D не попадает. Из соотношений AJ [} А\= = {т8 t) и (1.8) следует неравенство

f * (ф7)ехр | с ($ 3) ds — Хб

жестве HD(t, х), то значение функционала Sot на функ­ циях, достигающих 0D и находящихся на расстоянии не

менее б от ф, больше, чем ^ (ф ) + у, где у — какое-то положительное число. Пользуясь теоремой 1.1 (верхней оценкой с у/2 вместо у), получаем, что при достаточно ма­ лых е выполняется неравенство

Р* ( 4 ) < ехр [- <Г2 (So, (ф) + у12)}.

w&(U, x) = 0,

we(<, ж) UeeD = g H ;

так что на теорему 1.2 можно смотреть как на некоторые утверждения, касающиеся поведения решений дифферен­ циальных уравнений с малым параметром при старших производных при стремлении этого параметра к нулю.

§ 2. Задача о выходе из области

Пусть D — ограниченная область в Rr, dD — ее гра­ ница, которую будем для простоты считать гладкой. Если траектория xt(x) системы (1.1), начинающаяся в точке х е D, за конечное время выходит из D (J dD, то траектории

процесса X], исходящие из х, тоже с вероятностью, близ­ кой к единице при малых е, покинут за это время область D, причем первый выход из области с большой вероят­ ностью произойдет вблизи точки выхода из D траектории xt(x) (см. гл. 2).

В этом параграфе мы будем считать, что (Ь(х), п(х))< 0 при х <= dD, где п(х) — внешняя нормаль к границе об­ ласти D, так что кривые xt(x) при х е D не могут покинуть

область D. Траектории процесса X], исходящие из точки х е D, и в этом случае тоже при каждом е ^ О с вероят­ ностью 1 выходят из D, однако точка выхода и время, необходимое для достижения границы, уже не определя­ ются при малых е траекторией динамической системы xt(x), а зависят, вообще говоря, от вида поля Ь{х) во всей

области D . Здесь мы изучим задачу о выходе из области при простейшем устройстве поля Ъ(х) внутри D, совме­ стимом с условием (Ь(х)у п(х)) < 0. Более общий случай будет рассмотрен в гл. 6.

Пусть точка О е Дг есть асимптотически устойчивое положение равновесия системы (1.1), т. е. для всякой ок­

(д2, стремятся при t -> оо к пулю, не выходя из <gV

Мы говорим, что область D притягивается к О, если траектории xt(x), х е D при t -> оо стремятся к положе­ нию равновесия О, не покидая при этом D.

Квазипотенциалом динамической системы (1.1) от­ носительно точки О назовем функцию F(0, х), определен­

следующему плану. Сначала покажем (при помощи лем­ мы 2. 1), что, исходя из любой точки ж е й ,с вероятностью,

стремящейся к 1 при е —►0, марковские траектории Xf, прежде чем выйти на dD, попадут в малую окрестность

положения равновесия (рис. 3). Так как процесс Xet — строго марковский, то отсюда следует, что достаточно изу­ чить, как выходят из области траектории, начинающиеся в малой окрестности точки О.

Пусть Г и у—две маленькие сферы радиусов ц и р/2 со­ ответственно с центром в положении равновесия О (рис. 4). Введем возрастающую последовательность марковских моментов т0, сг0, тх, ои т2,. . . следующим образом: т0 = 0>

больше не достигает множества Г, полагаем соответствую­

щий марковский момент и все следующие равны м и 00J заметим, впрочем, что рассмотрения бесконечных хп и оп можно избежать, если изменить подходящим образом

поле Ь(х) вне области D). Последовательность Zn = Х*п об­

разует цепь Маркова на множестве y[jdD (вообще говоря, неконсервативную цепь: Zn не определено, если тп =оо; но это может быть только после выхода на dD). При малых е эта марковская цепь за один шаг с подавляющей вероят­ ностью переходит из любой точки х е y\JdD в множество у. Но оказывается, что если уж цепь совершит переход из # е у на 0D, то с вероятностью, стремящейся к 1 при е ->■ 0, этот переход произойдет в точку, лежащую в окрест-