книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

где минимум берется по всем функциям ф, удовлетворяю­ щим граничным условиям и равным с по норме.

Тогда у него есть полная ортонормированная система

=ckKek и IIР {d/dt) ф I)2 =* 2 ckk\- Отсюда следует, что

минимум в (3.8) равен с2, умноженному на — квадрат наименьшего но модулю собственного значения. Следова­ тельно,

Нижняя грань S(ф) на сфере радиуса с в LQT достигается на умноженных на с собственных функциях, соответст­ вующих собственному значению Если это собственное значение однократно (и —Xi не является собственным значением), то таких функций — только две: сеi и —сеь Тогда при любом 6 > 0

limP [|Хе — c e j < б илп |А'8 + сех|< б ||Хе[ > с] = I.

То же относится и к условной вероятности при условии

Конкретный пример: Р i^J^j Ф = ~~JJT > граничные уело-

вия: фо = фт = 0; этот оператор самосопряжен. Уравне­ ние для собственных функций ф" *= tap, фо = Фт = 0

122 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3

Если дифференциальный оператор с данными гранич­ ными условиями не самосопряжен, то в (3.9) вместо квад­ рата наименьшего собственного значения будет стоять наименьшее собственное значение произведения оператора

из Rr в Rr; рассмотрим функционал SoT (ф) на простран­

стве С0Т непрерывных функций на отрезке [0, Т ] со значе-

т

ииями в # г, равный J | 6 (фя) |ds, если функция

о

ср абсолютно непрерывна и фо = хо; на остальной части пространства Сот полагаем SOT (ф) = + °° - Пусть откры­ тое множество D э х0, D ф Rr таково, что сколь угодно близко от каждой точки его границы dD можно найти внутренние точки дополнения D (т. е. dD = d[D]). Обо­ значим через Ав открытое множество непрерывных функ­

на замкнутом множестве ADдостига­ ется на функции фъ О ^ £ ^ Г ,ф о = = хо (рис. 2) . Эта функция непре­ менно в какой-то точке to Ф 0 дости­ гает границы: ф/о е dD. Минимум функционала конечен, потому что

Рис. 2* есть сколько угодно гладких функ­

ций, выходящих из точки хо и покидающих в течение проме­ жутка от 0 до Т множество D ; отсюда вытекает, что функ­ ция ф* абсолютно непрерывна. .Для любого б > 0 в 6-окрестности точки ф/о найдется точка х6, внутренняя по

отношению к Rr\ D . Положим

Ф? = ф» + Т-О*6 — Ф(о), 0 < i < Г;

С0

эта функция принадлежит внутренности множества Ав. Докажем, что S0T(q)6) -> Sот(ф) при 6 J 0; из этого сле­

дует регулярность AD. Имеем:

*5ог(фб) — SOT (ф) =

т

чит, и скалярное произведение этой функции па cpt —

—Ь(ф*), и ее скалярный квадрат в LоТ стремятся к нулю.

Вгл. 4 мы докажем, что е25,0Т(ф) — функционал дейст­

вия для семейства диффузионных процессов X®, описы­

на единственной функции, то траектории процесса X f, вы­ ходящие из D, при малых е с подавляющей вероятностью лежат вблизи этой функции.

а это в силу (3.2) при достаточно малых h не превосходит ехр { —k(h)(S(x) — 2у)}. Это дает нам необходимое утверж­ дение.

Заметим, что условием выполнения соотношений (3.11) нельзя заменить условия (1), (II) (считая условие (0) вы­ полненным). Из (3.11) не вытекает (II), как показывает такой пример: X = R1, рЛ — смесь с равными весами нор­ мального распределения со средним 0 и дисперсией h и нормального распределения со средним 0 и дисперсией

6 j 0 h i0

p(x, y) < 6} = —x2/2 для всех x\ функция x2/2 удовлетво­ ряет условию (0), но условие (II) не выполнено.

Сформулируем на общем языке приемы, которые мы применяли для проверки условий (I), (II) в § 2 (они будут применены также в § 4 и в §§ 1 и 2 гл. 5). Для вывода (I) мы подбираем функцию gx(y) на X так, чтобы семейство мер \ih(dy) = exp {Hh)gx(y)}ph(dy) сходилось к мере, сосре­ доточенной в данной точке х\ далее пользуемся тем, что

На части области интегрирования с достаточно большой

рл-мерой оцениваем gx(y) сверху: gx(y)^gx (z) + у (с по­ мощью неравенства Чебышёва); и значение gx (я) прини­ маем за S(x). Этот прием использовался Г. К р а м е р о м [1 ] в применении к распределениям сумм независимых слу­ чайных велр1чин, причем для получения не грубых, а точных результатов.

Условие (II) мы получали следующим образом: выби­ рали функцию х (х) такую, что ее значения принадлежат

Первое слагаемое мы оценивали с помощью экспоненциаль­ ного неравенства Колмогорова; второе — тоже при помо­ щи экспоненциального чебышевского неравенства

|АЛ[х е А: х (х )^ Ф (s)} = рл [х s A: S (х(х)) > s] ^

^ | exp {(1 — и) X(h) S (х (.г))} \ih(dx) X

А

X exp { — (1 — х) X (h) s}.

Конечно, вопрос о том, как оценить интеграл по А , ре­ шается в каждом случае особо.

Наконец, скажем об особенностях, возникающих при рассмотрении семейств мер, зависящих, кроме основного параметра Л, еще от параметра х, пробегающего значения из пространства X (который будет иметь смысл точки, из которой начинается траектория возмущенной динами­ ческой системы; мы ограничиваемся случаем возмущений, однородных по времени). Прежде всего, мы будем рассмат­ ривать не одно пространство функций и одну метрику, а при любом Т > О — пространство функций, определен­ ных на отрезке [О, Г], и метрику рог. Соответственно нормированный функционал действия будет зависеть от

но доопределять его аналогичным образом для Ьсех отрез­

Далее, каждой точке х е X и каждому значению пара­ метра h будет отвечать своя мера в пространстве функций па отрезке [О, Т\. Здесь можно пойти двумя путями: либо рассмотреть целое семейство функционалов, завися­ щее от параметра х (причем функционал, соответствующий

этой ситуации определение функционала действия. Мы пойдем последним путехМ.

Пусть {£2Л, Р£} — семейство вероятностных прост­ ранств, зависящее от параметров h > 0 и х, пробегающего

случайный процесс на этом пространстве со значениями в X . Пусть рог — метрика в пространстве функций на отрез­ ке [О, Т] со значениями в Х\ S0T (ср) — функционал в этом пространстве. Мы говорим, что X(h) SQT(ф) — функционал

(Пр) для любого б > 0, у > 0, so > 0 и любого Л ^ существует ho > 0 такое, что при всех h ^ /го, s so н я е А

Так, в гл. 4 мы докажем, что gj? J |ф3 — Ь(фа)|2с?$ —

о

функционал действия для семейства процессов, задавае­

мых стохастическим уравнением X* = Ъ(X?) + &wtl при

г0 равномерно по всему пространству.

§ 4. Функционал действия для гауссовских случайных процессов и полей

Пусть X t — гауссовский процесс, определенный при

Г, со значениями в Лг, имеющий нулевое сред­ нее и корреляционную матрицу a(s, t) — (a^(s, t)),

a^(s, t) = . Функции а^(,s, t) мы будем считать квадратично интегрируемыми на [O’, Г]х[0, Т ].

Обозначим А корреляционный оператор процесса Х и действующий в гильбертовом пространстве L2oT функций

тории процесса X t принадлежали Ь\т* Обозначим Л1/2 симметричный неотрицательный квадратный корень из

оператора А. Оператор Л1/2, так же как и Л, является интегральным оператором с интегрируемым в квадрате ядром. Чтобы построить это ядро, рассмотрим собственные

a(s, t) — корреляционная функция, то оператор Л неотри­

Функция G(s, t) как раз и есть ядро интегрального опера­

тора Л1/2- Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что собственные фукнции оператора с ядром G(s> t) совпа­ дают с собственными функциями оператора Л, а собствен­ ные значения являются квадратными корнями из соот­ ветствующих собственных значений оператора Л.

Случайный процесс X t допускает интегральное пред­ ставление через ядро оператора Л1/2:

г

Xt = j G («, t) du>,J

о