книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

§ 11 МЕТОД ЛАПЛАСА В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ю1

функции

Р{Х*(х) е А \ Щф)} = 0(P{X*(x) е= ЩФ)})

при г -> 0.

Весьма схожая ситуация возникает при применении

метода Лапласа для вычисления асимптотики интегралов

ъ

вида J е~г if{x)g(x)dx при е-vO . Если х0 — единствен-

а

пая точка минимума непрерывной функции f(x) на отрезке \а, Ъ], и функция g(x) непрерывна и положительна, то ос­ новной вклад в этот интеграл дает окрестность точки х0.

x e [a ,b ]\ 17,

торое положительное число. Используя эту оценку, полу­ чаем, что

Для интеграла по окрестности точки х0 получаем оценку снизу:

f g{x)e~* if(x)dx > | g(x)e~~z 1(/(3C«HY/2)^ >

ложение функции f(x) вблизи точки х0, можно получить

более точные асимптотические формулы для интеграла

ь

jg(x)exp { —&~4(x))dx.

а

При вычислении вероятностей различных событий, свя­ занных с процессом Xf, положение аналогичное. Оказы­ вается, можно ввести такой фукционал 5(<р) от функций на отрезке [0, Г], что при достаточно малых е и б

Р{1|Х8 - ф||< 6} » ехр { - 8”25 (ф)}.

(Точный смысл этой формулы раскрывается в следующих параграфах.)

Если минимум функционала 5(ф) на множестве А

достигается на функции ф, то по аналогии с методом Лап­ ласа можно ожидать, что при малых е основной вклад в

вероятность Р {Х г е А } даст окрестность функции ф. Чтобы доказать это, нужно получить оценку снизу для Р{]|Х8 — ф||< 6} типа оценки (1.6) и оценку сверху типа оценки (1.5) дня вероятности остальной части мно­ жества А. Эту программу мы реализуем в настоящей главе.

Идея применения подобных конструкций в асимптоти­ ческих задачах в функциональном пространстве восходит к работам Р. Фейнмана по квантовой механике (см. Ф е fi­ ll м а н, X и б с [1 ]). Если имеется классическая меха­ ническая система, для которой действие вдоль траектории Ф* есть S(ф), то, как известно, движение этой системы будет происходить вдоль экстремалей функционала S(ф). Этот же функционал можно использовать для квантовомеха­ нического описания системы. В квантовом движении уже возможны различные траектории, причем каждой траек­

тории ф* приписывается вес С exp S (ф)|, называемый

амплитудой вероятности. (Придание этому точного смыс­ ла — сложная проблема.) Здесь h — постоянная Планка, С — нормирующий множитель. Амплитуда вероятности множества траекторий вычисляется суммированием (инте­ грированием) вкладов траекторий, входящих в это мно­ жество. Квадрат модуля амплитуды вероятности, соот­ ветствующий множеству траекторий, интерпретируется как

Пусть wt — винеровский процесс в Rr, Wo = 0. Функционалом действия для семейства случайных про­

хождения б-трубочки около функции ф». При вычислении

окрестности экстремали ф ^ Л . Чтобы можно было реализовать метод Лапласа, мы должны еще оценить сверху вероятность того, что траектория Хг пройдет

вдали от «наиболее вероятной» функции ф. Нужную оцен­

функцию ф. Сдвиг на функцию, имеющую интегрируемую в квадрате производную, индуцирует в пространстве Сот абсолютно непрерывную замену меры. Если реш — мера

в СоТ, соответствующая процессу Xf = EWU a pys — мера,

соответствующая y f, то плотность одной меры относитель­ но другой имеет вид

^у8

( E W ) = exp

ги>

Используя это выражение для плотности, получим

Р 1р.г (S ', ф) < 6] - Р 1рот (У\ 0) < 6) -

Легко видеть, что вероятность множества, по которому производится интегрирование, при е — 0 равномерно по Т ^ К стремится к 1. Это следует, например, из нера­ венства Колмогорова. В частности, можно выбрать поло­

no ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3

С л е д с т в и е . IIа каждом непустом замкнутом мно­ жестве в пространстве Сот, для которого начальные значе­ ния фо содержатся в некотором компакте, функционал 50г(ф) достигает наименьшего значения, причем значения, близкие к наименьшему, он принимает только вблизи

Правое неравенство составляет утверждение теоремы 2.1. Убедимся в справедливости левого неравенства. Выберем 6 о > 0 столь малым, чтобы

inf S()r(\f) > S0T(ф)— Y/4. i Рот<Ф*^<бО

Это можно сделать на основании леммы 2.1. В силу след­ ствия из той же леммы

если только е достаточно мало. Тем самым доказаны нера­ венства (2.9),- а с ними и теорема 2.3.

Доказательства теорем 2.1 и 2.2 воспроизводят в простейшем случае процесса X8 = &wt конструкцию,