книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

из £/. Это выполняется равномерно по х0 в пределах лю­ бого компактного подмножества области G* (т. е. б и Т могут быть выбраны общими для всех точек х0 из этого компакта). Отсюда вытекает и равномерная на бесконеч­ ном промежутке [О* оо) сходимость X t к xt при Х 0 -> £ 0,

sup К (| ->0. 0</<оо

Если же положение равновесия х% не обладает ука­ занными свойствами устойчивости, то можно при помощи сколь угодно малых возмущений «увести» при достаточно больших £ решение Xt возмущенной системы от я*, даже если начальная точка Х 0 = х%. В частности, могут быть случаи, когда решение xt невозмущенной системы не мо­ жет при £ ^ О покинуть какую-нибудь область Z), а ре­ шение X t системы, получаемой из первоначальной сколь угодно малым возмущением, покидает эту область за конечное время.

Часть этих утверждений сохраняется и для траекто­ рий, притягивающихся не к одной точке х%, а к какомулибо компактному множеству предельных точек, например наматывающихся на предельный цикл.

Возможны ситуации, когда, кроме того, что возмуще­ ния малы, у нас имеются достаточно полные данные об их статистическом характере. В этом случае уместно раз­ вивать различные математические модели малых случай­ ных возмущений.

Рассмотрение случайных возмущений расширяет по­ нятие возмущений, которые рассматриваются в класси­ ческих постановках, по крайней мере в двух направлениях. Во-первых, менее ограничительным становится требова­ ние малости: вместо абсолютной малости при всех £ (или в интегральной норме) можно предполагать, что возмуще­ ния малы только в среднем по ансамблю всех возможных

(о(е) и о(гп) понимаются как выполненные с вероятностью 1 при е -> 0 равномерно по i G [О, Т]).

Однако сходимость с вероятностью 1 — это не то, что представляет основной интерес с точки зрения возможных приложений. При рассмотрении каких-то конкретных малых случайных возмущений мы, пожалуй, не будем

одновременно иметь дело с Xf при различных е, а толь­ ко при каком-то одном малом е. Нас могут интересовать такие вопросы: можем ли мы гарантировать с практиче­

что можно сказать о распределении значений случайного

процесса Xf и функционалов от него и т. п. К счастью, из сходимости с вероятностью 1 вытекает сходимость по

Для сходимости в среднем на Ъ(х, у) и ф* надо наложить еще дальнейшие ограничения; мы не будем этого касаться.

Из более тонкого результата (8) вытекает, что случай- j^e _х

ный процесс y f = — — - при е ->•0 будет сходиться

в смысле распределений к некоторому случайному про­

цессу (связанному со случайным возмущающим воз­ действием \|ц линейными дифференциальными уравнения­ ми). В частности, отсюда вытекает, что если ф4 — гаус­

совский процесс, то случайный процесс Xf будет в пер­ вом приближении гауссовским со средним xt и корреля­ ционной функцией, пропорциональной е2. Отсюда полу­ чается такой результат: если / — гладкая числовая функ­ ция в Rr , grad f(xu) ф 0t то

ласа, а о определяется по grad f{xto) и значению корре­

ляционной функции процесса Y{{) в точке (£0, t0). Из

(9) можно получить более точные результаты — разложе­ ние остаточного члена о(1) по степеням в. Могут быть также получены результаты, касающиеся асимптотиче­

ских распределений функционалов от У® 0 ^ t ^ Г„ и их уточнения, связанные с асимптотическими разло­ жениями.

Итак, для случайных возмущений вида (7) можно ставить и решать ряд задач, характерных для предельных теорем теории вероятностей: результаты о сходимости по вероятности случайного решения возмущенной системы к неслучайной функции соответствуют законам больших чисел для сумм независимых случайных величин; может идти речь о предельном распределении при надлежащей нормировке — это соответствует результатам типа цен­ тральной предельной теоремы; так же как в уточнениях центральной предельной теоремы, мы можем получать асимптотические разложения по степеням параметра.

В предельных теоремах для сумм независимых случай­ ных величин есть еще одно направление: изучение ве­ роятностей больших (после нормировки) уклонений сум­ мы от среднего; естественно, что все такие вероятности стремятся к нулю, но можно изучать вопрос о подыска­ нии эквивалентных им достаточно простых выражений или о более тонкой их асимптотике (или о более грубой). Первые общие результаты о больших уклонениях для

тики с точностью до эквивалентности вероятностей вида

ниях) асимптотических разложений для таких вероят­ ностей,

Аналогичные вопросы нас могут интересовать для семейства случайных процессов Xц возникающих в

результате малых случайных возмущений динамической системы. Например, если А — множество в пространстве функций на отрезке [О, Т], не содержащее невозмущен­ ной траектории хх (и находящееся от нее на положитель­ ном расстоянии), то вероятность того, что возмущенная

траектория Xf попадет в это множество1

тика этой бесконечно малой вероятности?

Могло бы показаться, что такое копание в чрезвычайно маловероятных событиях противоречит общему духу тео­ рии вероятностей, пренебрегающей маловероятными со­ бытиями. Однако именно установление того, какие почти невероятные события, относящиеся к случайному процес­

су Xf на конечном отрезке, «более невероятны», а какие «менее невероятны», дает в некоторых случаях ключ к вопросу о том, каково, с вероятностью, близкой к 1, будет

поведение процесса Xf на бесконечном (или растущем с уменьшением е) отрезке времени.

Действительно, рассмотрим для определенности част­ ный случай возмущений вида (7):

а ф* пусть будет стационарный гауссовский процесс. Пусть траектории невозмущенной системы (1), начинаю­ щиеся в точках некоторой ограниченной области D, при 0 не выходят из этой области и притягиваются при t -> оо к устойчивому положению равновесия Будут

ли с вероятностью, близкой к 1 при малых е, обладать этим свойством и траектории возмущенной системы (14) ? Приведенные выше результаты, касающиеся малых не­ случайных возмущений, не могут помочь нам в ответе на этот вопрос, потому что верхняя грань |ф*| по t е [0, оо) с вероятностью 1 бесконечна (если не учитывать случая «очень вырожденных» процессов ф*). Нужно подходить к этому вопросу по-другому. Разобьем ось времени [0, оо) на счетное число отрезков длины Т. На каждом из них наиболее вероятным при малых е будет такое поведение

процесса Х]х при котором верхняя трань |Xf — xt |по

15 ВВЕДЕНИЕ

отрезку мала. (Для отрезков с большими номерами Xf с подавляющей вероятностью будет просто близко к х%.) Все другие способы поведения, в частности такие, при ко­

торых Xf выходит на данном отрезке времени за пределы области D, будут иметь малые при малых е вероятности. Но положительные при любом е > 0. (Мы опять исклю­ чаем из рассмотрения неопределенный класс «очень вы­ рожденных» случайных процессов ф,). При фиксирован­ ном е > 0 вероятность

Р [Xf ф D при каком-то t е [кТ, (к + 1) Г]} (15)

будет почти одна и та же для всех отрезков с большими номерами. Если бы события, относящиеся к поведению нашего случайного процесса на разных отрезках времени, были независимы, мы получили бы отсюда, что с ве­

роятностью 1 процесс Xf рано или поздно выходит из Z), причем момент т8 первого выхода имеет приближенно по­ казательное распределение с параметром Г-1 •Р {X® выхо­ дит из D при t е [кТ, (к + 1)Г]}. То же будет, если эти события не в точности независимы, но зависимость между ними определенным образом убывает для далеких друг от друга отрезков. Это может быть обеспечено некоторыми свойствами слабой зависимости возмущающего случайного процесса

Итак, для задач, связанных с выходом Xf при ма­ лых е из области, существенна асимптотика вероятно­ стей маловероятных событий («больших уклонений»),

связанных с поведением процесса Xf на конечных от­ резках времени. В случае гауссовских малых возмуще­ ний, оказывается, вероятности такого рода имеют при е -* 0 асимптотику вида ехр { —Се~2} (грубую асимптоти­ ку, т. е. не с точностью до эквивалентности, а с точностью до логарифмической эквивалентности). Оказывается, мож­ но ввести функционал £(ср), определенный на гладких

ВВЕДЕНИЙ И

до Т2; точный смысл формулы (16) см. в гл. 3). Значение функционала на данной функции характеризует трудность

прохождения процесса X] вблизи нее. Вероятность мало­ вероятного события составляется из вкладов ехр { —е-2 X X £(ср)}, соответствующих окрестностям отдельных функ­ ций ф; при 8 —> 0 существенным остается лишь слагаемое с наименьшим S(ф). Поэтому естественно, что задающая асимптотику константа С определяется как нижняя грань S(ф) по соответствующему множеству функций ф; так, для вероятности в формуле (15) нижняя грань долж­ на браться по гладким функциям ф*, выходящим из D при I е [кТ, (к + 1)Т]. (Точные формулировки и вид функционала S(ф) можно найти в § 5 гл. 4, там же об­ суждается его применение к нахождению асимптотики момента выхода т8 при е -> 0 ).

Другая задача, связанная с поведением процесса Xf на бесконечном отрезке времени,— это задача о предель­ ном поведении при е 0 стационарного распределения

р8 процесса Xf. Это предельное поведение связано с предельными множествами динамической системы (1). Действительно, стационарное распределение показывает, какую долю времени проводит процесс в том или ином мно­ жестве. Естественно ожидать, что при малых 8 процесс

Xf большую часть времени будет проводить вблизи предельных множеств динамической системы, причем скорее всего вблизи устойчивых предельных множеств. Если у системы (1) только одно устойчивое предель­ ное множество X, то мера р8 при е -> 0 будет слабо схо­ диться к мере, сосредоточенной на К (мы не формулируем наши утверждения настолько точно, чтобы заботиться о

возможности существования разных пределов ре* по разным последовательностям ег ->0). Однако если устой­ чивых множеств несколько — пускай хотя бы только два, Кх и К2,— положение становится неясным; и оно будет зависеть от точного вида малых возмущений.

Задача установления того, что делается со стационар­ ным распределением случайного процесса, возникающего при действии случайных возмущений на динамическую систему, при безграничном уменьшении этих возмущений,;

13 Введение

силен не к возмущениям вида (14), а к возмущениям,; под действием которых возникают диффузионные процес­ сы (задаваемым формулами (19), (20) ниже). Этот подход основывался на решении дифференциального уравнения Фоккера — Планка; в одномерном случае задача нахожде­ ния асимптотики стационарного распределения была пол­ ностью решена (см. также статью Б е р н ш т е й н а [1] того же времени). Некоторые результаты относительно стационарного распределения были получены также в двумерном случае.

Подход, применяемый нами, основывается не на урав­ нениях для плотности стационарного распределения, а на исследовании вероятностей маловероятных событий. На­ бросаем схему применения этого подхода к задаче об асимцтотике стационарного распределения.

Большую часть времени процесс Х\ проводит в ок­ рестностях устойчивых предельных множеств Кх и К2\ изредка он отходит на значительное расстояние от Кг или К2 и опять возвращается к тому же множеству; и очень редко переходит от Кх к К2 или наоборот. Если мы

ехр { —У12е-2}, а вероятность перехода от К2 к Кх имеет по­ рядок ехр (—У21е-2}, причем У12 < У21, то становится правдоподобным, что при малых е большую часть времени процесс проводит в окрестности К2: ведь одна успешная «попытка» перехода от Кх к К2будет приходиться на мень-

К2 к Кг по отношению к числу отрезков времени длины Г, проведенных вблизи К2. При этом р8 будет стремиться к мере, сосредоточенной на К2. Константы У12, У21 можно найти как нижние грани функционала 5(ср) по гладким функциям ср, переходящим на отрезке длины Т из мно­ жества Кх в К2 и наоборот (точнее, как пределы таких нижних граней при Т -> оо).

Намеченная здесь программа исследования предель­ ного поведения осуществлена не для случайных возмуще­ ний вида (14), а для возмущений, приводящих к марков­ ским процессам; точные формулировки и результаты да­ ются в § 4 гл. 6.

Случайные возмущения вида (14), как мы уже упоми­ нали,— не единственная схема случайных возмущений, которую мы будем рассматривать (и не та, которой мы будем уделять наибольшее внимание). Можно рассмотреть ее непосредственное обобщение, в котором случайный процесс ф* заменяется обобщенным случайным процес­ сом — «белым шумом», который можно определить как производную (в смысле обобщенных функций) от винеровского процесса wt:

Уравнению (17) можно придать форму, не использующую обобщенных функций, проинтегрировав его:

t

Для возмущений такого вида мы можем решать большее число интересных задач, чем для возмущений вида (14), потому что они приводят к марковскому случайному

процессу Xf.

Дальнейшее обобщение — возмущения1 зависящие от точки пространства, вида

где а(;г) — матричная функция. Точный смысл уравнения

Решение уравнения (20) — также марковский процесс (диффузионный процесс с вектором переноса Ь(х) и мат­ рицей диффузии е2а(х)а*(а:)). Для возмущений типа бело­ го шума, задаваемых формулами (19), (20) также могут быть получены результаты о сходимости при е -> 0 к траекто­ риям невозмущенной системы типа (10) и результаты о разложениях по степеням е типа (9), из которых мож­ но получить результаты об асимптотической гауссовости (например, типа (11)). Разумеется, раз белый шум — обобщенный процесс1 реализации которого ап в каком

20 ВВЕДЕНИЕ

смысле не являются ограниченными функциями, эти ре­ зультаты нельзя получить из приведенных в начале вве­ дения результатов, касающихся неслучайных возмуще­

результаты, касающиеся вероятностей больших уклоне­ ний траектории Xf от траектории xt динамической сис­ темы (см. § 1 гл. 4 и § 3 гл. 5). При этом из-за марковского характера процессов они становятся даже проще; в част­ ности, простой вид принимает функционал S{ср), показы­ вающий трудность прохождения траектории вблизи функ­ ции ф:

динамических систем нам рассматривать, какие семейства случайных процессов при этом будут возникать? Обобще­ ния могут идти по множеству различных направлений,, и не видно, какие из этих направлений следует предпо­ честь другим. Но можно поставить вопрос по-другому: в каком случае данное семейство случайных процессов считать результатом случайного возмущения динами­ ческой системы (1)?

Прежде всего, так же, как мы можем рассмотреть траекторию динамической системы, выходящую из лю­ бой точки, у нас должна быть возможность начать слу­ чайный процесс в любой момент времени t0 из любой точ­ ки х пространства. Затем, рассматриваемый случайный процесс должен зависеть от какого-то параметра h, ха­ рактеризующего малость возмущений. Будем для простоты считать этот параметр положительным числовым, а устре­ млять его будем к нулю (в § 3 гл. 5 рассматриваются се­ мейства, зависящие от двумерного параметра). Итак*