книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

рыми техническими моментами отличается от доказа­ тельства теоремы 2.1. Эти технические моменты, впрочем, требуют довольно громоздких выкладок, связанных с доказательством дифференцируемости решения стохасти­ ческого дифференциального уравнения по параметру. Такие вопросы лежат в стороне от нашей основной темы, поэтому мы не будем приводить здесь доказательства тео­

для реализаций X* легко получить разложение по степе­ ням е для гладких функционалов от реализаций. Пусть функционал F дифференцируем по Фреше в точке Х<°>; производная F в этой точке — линейный функционал F'(X(°); h). В этом случае имеем

при 8 -> Ох где о(г) понимается в том же смыслеАчто и в

ский случайный процесс, получаем, что значение функцио­ нала F(Xе) асимптотически нормально с дисперсией, пропорциональной е2. Коэффициент пропорциональности в этой асимптотической дисперсии выражается через про­ изводную F'(X<°>; h) и корреляционную функцию слу­

В задачах, связанных со случайными процессами, час­ то приходится рассматривать функционалы^ определяемые

Не будем доказывать этого на языке производных в функ­ циональном пространстве, а сформулируем результат сра­ зу на языке разложений по степеням е.

Т е о р е м а 2.3. Пусть имеет место разложение (2.8) с к = 1. Пусть t0 — первый момент выхода траектории

Х\0) из области Z), те — первый момент выхода из этой области случайного процесса Х\. Пусть граница dD об­ ласти один раз дифференцируема в точке Х(^\ причем п —

вектор внешней нормали в этой точке. Пусть (X IV) > о . Тогда

вероятностью 1 или сходимости по вероятности в зависи­ мости от того, как понимается о(г) в разложении (2 .8)).

+sX^g* "j" О (б) =

=+ (т8 - О + о (Xе - g + eA'i*' + О(е). (2.16) Умножив (2.16) скалярно на /г, получим

( Х г% - Х%\ п) = (т8 - t0) (Х?,\ п) + о(т8 - О +

+ e(X};\i*) + 0 (e). (2.17)

С другой стороны, из-за гладкости 3D в точке Xi°\ скалярное произведение в левой части (2.17) будет беско­

Из (2.17), (2.18) получаем разложение (2.14) для т8. Под­ ставляя его еще раз в (2.16), получаем (2.15).

Коэффициент при е в разложении (2.15) получается

проектированием вектора Х*^ параллельно Х*в0) на ка­ сательную в точке Х*о0).

Если имеет место разложение (2.8) с к = 2, причем функция Х\0) дифференцируема дважды, а случайная функция Х[{) — один раз, мы можем получить разложе­ ние те и Х8е с точностью до о(е2) (хотя соответствующий

функционал дважды дифференцируем только вдоль не­ которого подпространства). Если же случайная функция

х\» не дифференцируема (как это будет в случае диффу­ зионных процессов с малой диффузией, рассмотренном

Дело в том, что в доказательстве теоремы 2.3 мы ни­ как не использовали, что т8 — это именно первый момент достижения границы, а только тог что это — какой-то

момент, когда Xf находится на границе, причем сходя­ щийся к t0. Если мы рассмотрим процесс X? простейшего вида: X® = х0 + t + ewt1 то его первый момент т8 дости­ жения точки Xi > х0 и последний момент о8 пребывания в точке хх отличаются на величину порядка е2. Действи­ тельно, с помощью строго марковского свойства относи­

где XVх — марковское семейство, построенное с помощью уравнения (3.1). Из теоремы 1.2 следует, что процессы

Х*'х (со) сходятся по вероятности при е -> 0 равномерно на отрезке [0, t] к Х°’х— решению уравнения (1.2) с на­

чальным условием X Q,X = х, Учитывая, что под знаком математического ожидания в (3.4) стоит непрерывный огра­

ниченный функционал от Х®,х (со),по теореме Лебега о пре­ дельном переходе заключаем, что

О

Легко проверить подстановкой, что функция, стоящая в правой части последнего равенства есть решение задачи (3.3). Теорема 3.1 доказана.

Если предположить, что коэффициенты оператора L® имеют ограниченные производные до порядка к-\-1 вклю­ чительно, то матрицу о(х) можно выбрать так, чтобы ее элементы тоже имели к-\-1 ограниченную производную.

В этом случае в силу теоремы 2.2 для Xf,x можно написать разложение по степеням е до поряцка к. Если функции

Из формулы (3.5) и уравнений, определяющих процессы

Х*г), можно вывести, что коэффициенты при нечетных сте­ пенях е обращаются в нуль. Коэффициенты при е2т яв­ ляются решениями некоторых уравнений в частных произ­ водных первого порядка; их можно, разумеется, найти также, решая системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Продемонстрируем вероятностный метод получения коэффициентов разложения ve(t, х) в простейшем случае— для размерности 1 — и разложения до членов порядка е2. Для коэффициентов разложения по степеям 8 решения стохастического уравнения

Процесс А*1*— гауссовский с нулевым средним, так что коэффициент при е обращается в нуль. Чтобы найти

Мх применяем формулу (3.8) и формулу Ито

+ о(А<,0))2. (3.12)

Беря математическое ожидание от обеих частей, получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение для

м* (А(1}) 2

Итак, для нахождения коэффициентов в разложении vE(t, х) по е до порядка 2 достаточно решить нелинейное

уравнение xt(x) = b{xt(x)), и два линейных — (3.13) и (3.14).

Тот же результат проще получить стандартными ме­ тодами теории дифференциальных уравнений; однако ве­ роятностные методы могут быть применены также к менее стандартным асимптотическим задачам. Пусть, например,