книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

где функция U(x) непрерывно дифференцируема eD\jdD,

^ U0 = min С/(i/). Z?c./m функция U(x) дважды непрерывно y&dD

дифференцируема, то единственная экстремаль функцио­

из D\JdD, то утверждение сразу следует из (3.3) (напом­ ним, что U(0) = 0). Если же ф5 выходит из D\JdD, то эта

функция в какой-то момент Т ^ (7\, Т2) проходит через поверхность уровня U(x) = U0. В силу неотрицательно­ сти и аддитивности функционала S(ф) получим

(ф) > ST%J(ф) > 2и (ф* ) = 2С/0 > 2и (X).

Таким образом, для любой кривой ф5, соединяющей точки

руема, то решение уравнения (3.2) единственно, а значит, и экстремаль, ведущая из О в #, нормированная условием Фт = х, только одна.

Из доказанной теоремы следует, что если поле Ь(х) по­

тенциально, т. е. b(x) = —VU(x), то функция 7(0, х) лишь множителем отличается от потенциала U(x). Поэтому мы и называем функцию 7 квазипотенциалом.

которое, по существу, есть уравнение Якоби для вариаци­ онной задачи, определяющей квазипотенциал. Теорема 3.1 говорит, что решение этого уравнения, удовлетворя­

ющее условиям 7(0, О) = 0, 7(0, х) > 0 и V7(0, х) Ф О при х ф 0, есть квазипотенциал. Можно доказать, что на­ оборот, если квазипотенциал 7(0, х) непрерывно диффе­ ренцируем, то для него выполняется уравнение (3.4), т. е. имеет место разложение (3.1). Однако легко привести пример, показывающий, что функция 7(0, х) может не быть дифференцируемой.

Совсем плохой функция 7(0, х) все же не может быть: она удовлетворяет условию Липшица; это легко выводит­ ся из леммы 2.3.

Теперь обратимся к исследованию экстремалей функ­ ционала S(ф), ведущих из О в х. Для них обычным образом

6*

где t(s) — функция, обратная к s(t). }В (3.5) мы воспользо­ вались неравенством ах2 + a “ V 2 ^ 2ху, справедливым при любом положительном а. Определим функцию s(t) из равенства

почти всех t, и для нее неравенство (3.5) обращается в ра­ венство

ЦТ,) ^ ^ ЦТ,)

b(x)~—dU/dx, так что в одномерном случае любое поле по­

тенциально. Из теорем 2.1 и 3.1 следует, что первый вы- t

ход процесса Xf = х + J b(Xs)ds +ew t из интервала (alf a2)

о

при малых е с вероятностью, близкой к единице, происхо­ дит через тот конец а*, в котором функция U(x) принимает

ифт = <хх.

Водномерном случае функцию vz(x)=Px {Хте = аг} можно, решая соответствующую краевую задачу, вычис­

х\а х

отрезка через оба конца, причем вероятность выхода че­ рез конец ос* обратно пропорциональна |С/'(осj) |= |Ь(а*)|.

П р и м е р 3.2. Рассмотрим линейную однородную

систему xt = Axt с постоянными коэффициентами в Rr. Предположим, что матрица А нормальна, т. е. А А* = = А*А, и что симметричная матрица А + А* отрица­ тельно определена. В этом случае начало координат О является асимптотически устойчивым положением равно­ весия. Действительно, решение нашей системы можно

ет своего наименьшего значения на dD, то последний уча­ сток перед выходом из области марковские траектории проходят вблизи экстремали, входящей в эту точку. Уравнение этой экстремали можно с точностью до сдвига

Матрица этой системы нормаль­ на, и начало координат асимпто­ тически устойчиво. Траектории системы представляют собой лога­ рифмические спирали, наворачи­ вающиеся на начало координат но часовой стрелке (рис. 7). Квази­ потенциал равен [(я1)2 + (я2)2],

вблизи точки y0^.dD, ближайшей к началу координат. Легко проверить, что экстремали то­ же представляют собой логарифмические спирали, но сво­ рачивающиеся с точки О по часовой стрелке.

§4. Асимптотика среднего времени выхода

иинвариантной меры для окрестности положения равновесия

сти D. В этом параграфе, в предположении, что область D притягивается к О, вычисляется главный член In М^т8 при 8 -> 0, а также главный член In тг (D), где т* (•) —

инвариантная мера процесса X?, D = Rr\D. Так как существование инвариантной меры и ее свойства зависят

то при изучении те (D) нам придется сделать некоторые

D CZ Rr притягивается к О. Предположим, что граница dD области D есть гладкое многообразие, и пусть при х е= dD скалярное произведение(Ь(х), п(х)) < 0, где п(х) — внешняя нормаль к границе области D. Тогда при х е D

ской системы (1.1) относительно точки О.

Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы использует рас­ суждения, конструкции и обозначения, которые приме­ нялись при доказательстве теоремы 2.1.

Чтобы доказать (4.1), достаточно убедиться в том, что

дующие условия: во-первых, все траектории невозмущен­ ной системы, начинающиеся в точках х ^ D \}dD, до мо­ мента Тг попадают в ц/2-окрестность положения рав­ новесия, и никогда после момента Т1 этой окрестности не

ности области D в момент Т(х) ^ Г2; при этом G? не по­ падает в р,/2-окрестность О после выхода из G и

S QT(X)(4>X) < V Q + - y *

Первое из этих условий может быть удовлетворено, так как О — асимптотически устойчивое положение рав­ новесия, область D притягивается к О, а для х е dD вы­

если только 8 достаточно мало.

Так как точка у\у) не принадлежит /г-окрестности области D, то из последнего неравенства заключаем, что

Здесь мы воспользовались неравенством (4.2) для оценки Р е (тЕ< Т2} и тем, что при е -> 0 траектории Х\ равно-

мерно на отрезке [0, Тг] сходятся по вероятности к xt.

Далее, используя марковское свойство процесса Хьи из (4.3) получаем

М*те< S (п + 1)(7\ + Тй) Рх {п (Т! + Т2) < ' п-0

< т е < ( п + 1)(7’1+ 7 ’2)} =

n=o L