книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

242 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6

где в числителе стоит сумма Jt(g) уже по всем графам из

Gij(W).

Теперь оценим знаменатель 1 — Et. Из условия необращения в нуль знаменателя в (3.4) вытекает, что, исходя из любой точки, цепь с вероятностью 1 рано или поздно

244 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. в

имеем

состоящем более чем из одной точки, графы, по которым

ходе из множества X it Наименьшее число шагов до выхо­ да равно 1; к нему добавляется еще 1, если на первом ша­

b t введены при доказательстве леммы 3.3. Из оценок для 1 — Вх, 1 — Bt получаем (3.5) для г = 1.

Пусть теперь (3.5) верно для всех r-элементных мно­ жеств L\W и всех i е L\W; докажем эти неравенства для L\W из г + 1 точки. Положим, как при доказательстве

множество F, то сюда прибавляется еще время, проведен­ ное в F; если после выхода из F мы попадаем опять в добавляется еще время, проведенное в I / на этот раз, и т. д. Пользуясь строго марковским свойством, мы можем

Nt = inf f gL4{i} (*, dy) mW[J{i} (y)$

-«ex, J

Mi, Nt — соответствующие супремумы. Пользуясь эти­ ми обозначениями и уже введенными Ей Еи получаем, что при

Ml + N t

1 - E t •

Знаменатели в этой формуле мы уже оценили при дока­ зательстве предыдущей леммы; и мы уже доказали, что

246 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ 8

где Ki имеет тот же смысл, что при доказательстве преды­ дущей леммы, Qih — это сумма произведений я(#) по гра­ фам из G(W U {1} U {&}), a R ik — сумма таких же про­ изведений по всем графам без циклов из (г — 1) стрелок

т->п, m e L\W , т ф £, п ^ Ь , п ф т , в которых цепочка стрелок, начинающаяся в точке к, не ведет в W. Приводя дроби к одному знаменателю и делая нужные сокращения,

(обозначение Lt введено при доказательстве леммы 3.3). Здесь в числителе стоит сумма произведений я(#), которая и должна стоять в числителе формулы (3.5): а именно,

в которых из i начинается цепочка более чем из одной стрелки, кончающаяся не элементом множества W. Это, вместе с уже вычисленным знаменателем, дает нам утверж­ дение леммы.

Чтобы не запутаться с пустым графом, нам нужно от­ дельно рассмотреть переход от г, равного 1, к 2. В этом случае множество L \ W состоит из двух элементов i и к;

§ 4. Задача об инвариантной мере

Здесь при помощи результатов двух предыдущих па­ раграфов мы решим задачу о грубой асимптотике инвари­ антной меры диффузионного процесса с малой диффузией на компактном многообразии. При этом мы будем поль­ зоваться следующей формулой, выражающей с точностью до множителя инвариантную меру р8 диффузионного

(см. X а с ь м и и с к п й [1 ]). Ясно, что для нахождения асимптотики сумм произведений jt(g), составленных из

чений нормированного функционала действия на кривых, соединяющих т-й компакт с гг-м и не задевающих прочих компактов).

ется для соответствующих друг другу сумм); остается до­

= V(Km, Х п), оставим стрелку т-> п как она есть; если

Прежде всего, может оказаться, что i совпадает с одной из промежуточных точек ij, ] = 1, . . ., s, и в новом графе есть стрелка i -► гу+1 или г -> д; в этом случае выбросим ее. Далее, в графе может оказаться цикл, содержащий точку

стрелка, ведущая в какую-то другую точку; в этом случае

точки iy, из которых все еще исходит по две стрелки. Вы­ бросим в этом случае старые стрелки; при этом сумма не увеличится, а построенный граф будет {г}-графом. Пере­

бирая таким образом все стрелки, приходим к графу gt для которого

(см. § 2). Пусть \хг — нормированная инвариантная мера диффузионного процесса (Х\, Р£), причем для семейства этих процессов выполнены условия теоремы 3.2 гл. 5. Тогда для любого у > О существует рг > О (которое можно вы­ брать сколь угодно малым) такое, что мера ц8 от рг- окрестности gt компакта К х при достаточно малых е заключена в пределах ехр{—г^{\У{Кх) — min W{Kt) dtz

г

=ь у)}, где W(Kt) — константы, определяемые формулами

(4.2) или (4.3).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Выберем в соответствии с леммами 2.1, 1.7, 1.8 малые положительные рх < р2 < Ро такие, чтобы оценки (2.3), (1.3), (1.4) выполнялись при малых е с заменой у на у/И. В силу леммы 3.2 значения

=J Vе (dy) М *]х*Д М ) dt =>

О

При малых е это не превосходит exp!— s~2l\V (Ki) —

Чтобы оценить \хг (М) сверху, воспользуемся опять фор­ мулой (4.1):

№ ) = J ve (dy) М/с* =

второе не больше какой-то константы в силу следствия из леммы 1.9.

тель. Это проверяется подстановкой в прямое уравнение Колмогорова; в случае единичной матрицы (аг/) см. фор­ мулу (4.14) гл. 4. Это представление инвариантной меры сводит изучение предельного поведения инвариантной меры к асимптотическому исследованию интеграла лап­

вариантной меры в непотенциальном случае, когда нельзя использовать явный вид решения уравнения Колмогоро­ ва; но результаты этой теоремы, конечно, имеют меньшую4 точность.

Из теоремы 4.1 вытекает, в частности, что мера р8 при

е0 сосредоточивается в малой окрестности объединения

компактов К ь для которых достигается min W (Kt). Этот i

результат был получен в статьях В е н т ц е л и, Ф р е й д-

щей теоремы; пусть min W(Ki) достигается на единствен- i

ном КIQ, и существует только одна нормированная ин­

вариантная мера [х0 динамической системы xt = b(xt), сосредоточенная па K{Q. Тогда мера р8 слабо сходится

кр0 при г ->■ 0.

До к а з а т е л ь с т в о стандартное; из фактов, свя­

занных с нашим конкретным семейством процессов(Xf, Pf ), используется то, что M*/(Xf) - > / (xt (x)) равномерно по х при е -> 0 для любой непрерывной функции / (следствие теоремы 1.2 гл. 2).

Результаты о предельном поведении меры р8 в случае, когда на компакте Kio сосредоточена не одна инвариант­ ная мера невозмущенной динамической системы, получе­ ны в двух различных ситуациях. Пусть Kio — гладкое

когда динамическая система на K io является транзитивной У-системой. (Класс У-систем характеризуется тем, что касательное расслоение представляется в виде суммы трех инвариантных расслоений, причем в первом из них каса­ тельные векторы при переносе вдоль траекторий системы подвергаются экспоненциальному растяжению, во вто­ ром — экспоненциальному сжатию, а третье расслоение — одномерное, порожденное в каждой точке вектором из по­ ля Ь(х). Эти системы образуют достаточно обширное мно­ жество в пространстве всех динамических систем.) Этот случай близок к случаю единственной инвариантной меры. Дело в том, что для У-систем среди бесконечного множест­ ва нормированных инвариантных мер выделяется одна*