Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4320 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>


§ П	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА		191
П р и м е р	1.3. Пусть	\|2, . . £л* •••— последо

вательность независимых одинаково распределенных слу чайных векторов; пусть

Я0(a) = lnMe(a|i)

конечно при достаточно малых |а|. Будем интересоваться грубой асимптотикой при п -* сю распределений средних

арифметических	п
Имеем	п
Имеем
		Si 4- • •• + Sn
Нп(а) = la Mexp j^a,		П	)}=	пН0(га-1 a).
Полагаем %(п) = п\ тогда		?i(Az)“^	n(X(A2)a)	не только стре

мится к # 0(а), но и совпадает с этой функцией. Функция # 0 бесконечно дифференцируема во внутрен

них точках множества	{а: # 0(а)	< оо};	если	еще	она
удовлетворяет условию:	\|V#0(a*)\|	-> оо,	когда	точки	at

стремятся к точке границы этого множества, то ее пре образование Лежандра Ь0 строго выпукло, и асимпто тика распределений средних арифметических задается

функцией действия n-L0(x).
П р и м е р		1.4. В условиях предыдущего примера бу
дем	рассматривать распределения			случайных векторов
ii +	s2+ . . . +	s„ - «л/s.—, где	Вп — последовательность,;
	П	к оо быстреег	чем	но медленнее,
стремящаяся
чем п. Имеем

Н п (а) -■= In IV

Если в качестве нормирующего коэффициента Х(п) выбрать

192	МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ			1ГЛ. 5
В:	получим
то	получим
Я (а) = lim Я (п)~1Нп(Я (я) а) = 4 2			ЭгЯ0	(0) ага,.
	11-*X	^ S• da.doij

Если матрица этой квадратичной формы, т. е. матрица ковариаций случайного вектора не вырождена1 то пре образование Лежандра функции Н имеет вид

где матрица (аи) —		(0)j	• Функция действия для
семейства	рассматриваемых		случайных векторов есть
Вп2	частности,	это означает, что
— L(x). В	частности,	это означает, что
lim lim	g. + . . . + 6 n- » ^ g ft
lim lim	In Р		я
6 4 0 П-»30 5 “
			2 ^ а^х1хК

§ 2. Локально безгранично делимые процессы

Разрывные марковские процессы, которые можно рас сматривать как результат случайных возмущений динами ческих систем, возникают в различных задачах. Рас смотрим пример.

Пусть на числовой прямой заданы две неотрицательные функции 1(х) и г(х). Рассмотрим при любом h > 0 такой

марковский процесс Xt на точках прямой, кратных h: если процесс начинается в точке х, то в течение времени dt он делает скачок на расстояние h вправо с вероятностью h~1r(x)dt (с точностью до бесконечно малых высшего по рядка при dt -> 0), влево с вероятностью h~4(x)dt (а бо лее одного скачка он делает с вероятностью o(dt)). При ма лых h процесс в первом приближении описывается диф

ференциальным уравнением xt =	r(xt) — l(xt) (точный
смысл этого: при определенных	условиях регулярности

§ 2] ЛОКАЛЬНО БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ ПРОЦЕССЫ 193

на функции г и I можно доказать, что X? сходится по ве роятности при h | 0 к решению дифференциального урав нения с тем же начальным условием).

Более конкретный вариант этого примера: в некотором объеме V питательной среды заключены бактерии, причем скорости с+, их деления и гибели зависят от концентра ции бактерий в данном объеме. Подходящей математи ческой моделью процесса изменения концентрации бак

терий с течением времени служит		марковский процесс
X1} описанного вида с	h = V~l,	r(x) = х-с+(х)% l(x) =
= х-С-(х).
Процесс X? естественно рассматривать как результат
случайного возмущения	дифференциального уравнения

Х\ — r(xt) — l(xt) (при малых h — результат малого слу чайного возмущения). Нас могут, так же как и в случае возмущений типа белого шума, интересовать вероятности событий вида {роГ(Х\ ср) < 6} и т. п. (вероятности «больших уклонений»).

Как мы уже говорили, первым приближением к про

цессу X t при малых h является решение дифференциаль ного уравнения; вторым приближением к нему будет диф фузионный процесс со сносом г(х) — 1(х) и малой локаль ной дисперсией h(r(x) + 1(х)). Однако это приближение не действует в области больших уклонений; как мы уви

дим, их вероятности для семейства процессов Х^ описы ваются при помощи функционала действия, не совпадаю щего с функционалом действия для диффузионных про цессов.

Опишем общую схему, в которую входит приведенный пример.

Пусть в r-мерном пространстве Rr заданы: векторная функция Ь(х) = (Ь1^*), . . Ьг(х))\ матричная функция (а^(х)) (порядка г, симметричная, неотрицательно опреде ленная); \ix при каждом х е Дг— мера на Rr \ {0 } та кая! что

I | P I V « ( ^ ) < « -

Вг\{0>

Пусть (X jj р £ ) при каждом h > О — марковский процесс

7 А . Д Вентцель, М. И. Фрейдлив

194

МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ

[ГЛ. 5

в Rr с непрерывными справа траекториями, инфинитези мальный оператор Ah которого задается на финитных дважды непрерывно дифференцируемых функциях фор мулой

-t*/w-2*'w^+iS.«wSS+

мд х гд х }

+ h~l J	+	Vx (#)•
Rr\<0> L
Если а*з(х) = 0,	а мера	\хх конечна при всех х, прот

цесс X* происходит следующим образом: он совершаеконечное число скачков за конечное время, причем плот ность скачков в точке х равна 1r1\ix(Rr\ { 0})(т.е.,находясь вблизи точки я, процесс совершает скачок в течение вре мени dt с вероятностью h'~1\xx(Rr\ {0})dt с точностью до бесконечно малых высшего порядка при dt -> 0); распре деление величины скачка задается мерой \*>x(Rr\{0})~1X X |xx(/r'1dp) (опять-таки при dt -* 0); а между скач ками процесс движется в соответствии с динамической

системой	xt = b{xt),	где
	b(x) =	b (x )~	j		p(i,(dp).
			R r\<0)
Если же	\|хх(Лг\ {0 })	= оо,	то процесс совершает за ко
нечное время бесконечное число скачков.						схему	с
Рассмотренный пример			подходит под нашу			схему	с
г = 1, мерой [ix, сосредоточенной					в точках ± 1 ,	р^{1}	=
= г(х), \|лх{ —1} = 1{х), и Ъ(х)				=	г(х) — 1(х).
Если мера \хх при каждом х				сосредоточена в 0, то ин
тегральный член в формуле			(2.1) пропадает и оператор Ah

превращается в дифференциальный оператор второго по

рядка. В этом случае (Х^, Рж) — семейство диффузион ных процессов с малым коэффициентом диффузии; соот ветствующие траектории непрерывны с вероятностью еди

ница. В общем случае процесс (X?, Рх) сочетает непрерыв ное диффузионное движение и скачки.

Введенная нами схема является обобщением схемы процессов с независимыми приращениями — непрерывно-

§2]

ЛОКАЛЬНО БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ ПРОЦЕССЫ

195

го варианта схемы сумм независимых случайных величин. Известно, что при рассмотрении больших уклонений для сумм независимых случайных величин большую роль играет условие конечности экспоненциальных моментов (см., например, К р а м е р [1 ]). Введем его и для нашей схемы: будем предполагать, что для всех а = (ах, . , ,4 аг) конечно выражение

н {х, а) = 2	Ъ1(х) а, + у 2 aj () aiai +
i	i.j

+ I ('exp Sa.PT —1 Z *	(2-2)
Rr\ (0 ) \

Функция Я выпукла вниз и аналитична по второму аргу менту; при a = 0 она обращается в нуль.

Связь функции Я с марковским процессом (X?, Р£) можно описать следующим образом: если применить оператор Ah, задаваемый формулой (2.1), к функции

exp		то получится h~lH{x, ha) exp
Обозначим через Ь(х, \|5) преобразование Лежандра от
функции	Н(х,	а) по второму аргументу. Из того, что
Н(х, 0) =	0,	вытекает, что функция L неотрицательна;

она обращается в нуль в точке (J = Ь(х). Функция L мо жет принимать значение + оо; но внутри области, где она конечна, эта функция гладка.

Для рассмотренного выше примера имеем: Н{х, а) =

= г(х)(еа — 1) + 1(х)(е~а —■1),		и	функция L		имеет вид,
указанный в предыдущем параграфе,				с заменой г и I на
г(#), 1{х).			t ^	Г2, со значениями
Зададим для функции cpt, Тх ^			t ^	Г2, со значениями
в Rr функционал	формулой
		г.
S (q>) =	5т,т.(ф) =	\| Ь (Ф(, Ф() dtt			(2.3)

если функция ср абсолютно непрерывна и интеграл схо дится; в противном случае положим STtTi(ср) = + оо. Этот функционал и будет нормированным функционалом действия (а нормирующим коэффициентом будет Л-1).

196

м а р к о в с к и е в о з м у щ е н и я

[ГЛ. 5

В частности, если мера \х сосредоточена в 0, а (аU) — единичная матрица, то, как вытекает из результатов гл. 4, функционал действия для такого семейства имеет

вид (2.3), где L(cp, ср) = 1 /2 1ф— Ь(ф)|2. В работе В е н т - ц е л я , Ф р е й д л и н а [4] вычисляется функционал действия для семейства диффузионных процессов с про извольной матрицей (a'j) (см. следующий параграф).

Семейства безгранично делимых процессов, вкладываю щиеся в нашу схему, рассмотрены в работе Б о р о в к о

ва	[1 ]. Мы вернемся к этим классам случайных процес
сов	в следующем параграфе. А сейчас сформулируем

результат, который обобщает как результаты В е н т ц е л ял,

Ф р е й д л и н а [4],	так и Б о р о в к о в а [1].
Чтобы функционал	^-1£ог(ф) был функционалом дейст

вия для семейства процессов (Х^, Р*), нужно, конечно,> наложить на это семейство процессов какие-то ограниче ния. Мы сформулируем их в терминах функций Н и L.

I.Существует всюду конечная неотрицательная вы пуклая вниз функция Н(а) такая, что //(0) = 0, Н(х1а) ^

^И{а) при всех х, а.

II.Функция L(x, Р) конечна при всех значениях аргу ментов; для любого R > 0 существуют положительные

константы М и т такие,			что L(x, Р) ^ М1 \|Vp£ (я, Р) \|^
2	s 7 ^	P ) cic?>	m 2 ( ci)2	прп всех	х, c^ R r
	1			прп всех	х, c^ R r
и всех р,	\|р\| <	R.

Следующее требование — промежуточное между прос то непрерывностью функций Н и L по первому аргументу, которая недостаточна для наших целей, и равномерной непрерывностью, которая не выполнена даже в случае диффузионных процессов, т. е. квадратических по второ

му аргументу функций Н и L.
III. AL(6') =	sup	sup	P) - » 0	при
v ' \|У_ У'\|<в'		p	i +Hv,P)
6' - * 0.	из III тоже вытекает некоторое усло
Для функции Я	из III тоже вытекает некоторое усло
вие непрерывности
Н(ух (1 + ДЦ6'))-1а) -		Н(у',	а) <
		<	ДЦ6')(1 + ДЬ(б'))-1	(2-4)

§ 21	ЛОКАЛЬНО	БЕЗГРАНИЧНО	ДЕЛИМЫЕ	ПРОЦЕССЫ	197
при	всех а и	\у — у' I <	где	ДЯ(б')	О при

6'| 0.

Т е о р е м а 2.1. Пусть для функций Я, L выполнены условия I—III, функционал S(ф) задается формулой (2.3). Тогда ср) является функционалом действия для се

мейства процессов		(X, Р)		при h [ 0 в смысле метрики
Рот (ф, Ф) =	SUP	\|	\|г	равномерно	относительно
начальной	0<*<Т
	точки.			(при несколько	более широ
Д о к а з а т е л ь с т в о
ких условиях) содержится				в статьях В е н т ц е л я [7].

Наметим его основные пункты.

Прежде всего нужно доказать, что функционал S0T

полунепрерывен	снизу и	что	функции	из	множества
{ф : ^от(ф) ^ s}	равностепенно		непрерывны.		Не	будем
приводить здесь этой чисто		аналитической		части		доказа

тельства; укажем, что близкие результаты содержатся в книге И о ф ф е и Т и х о м и р о в а [1 ], гл. 9, § 1.

Приведем, также без доказательства, одну лемму, свя занную со свойствами функционала SoT (доказательство

см. В е н т ц е л ь

[7]).

условие III. Тогда

Л е м м а

2.1.

Пусть выполняется

для любого

s0>

0 существует

At >

такое,

что

для

любого разбиения отрезка от 0 до Т точками 0 =

t0<

<С, ti < . . .

х < tn ==

Тj

шах

(tj

j i

tj)

Aty

и для любой функции фь 0

t <1 Г, для которой 50г(ф) ^

^ s0,

имеем

S0T(1) ^ S0T(ф) +

Yf где

I — ломаная

вершинами в точках (tjy cp.f).

нужно

доказать,

что для любых б >

0, у >

и s0 > 0

существует положительное

А0

такоех

что

при

всех

h <

Р*. 1Рот ( Xh, ф )< S) > ехр {— ЬГ1 [S0T(ф) -f у]},.

(2.5)

где ф — произвольная функция

такая, что SoT (ф)

s0,

Фа =

Р* (Рот ( * \

Ф * («)) >

6} < ехр (— ЬГ1(s — у)},

(2.6)

где Фх(s) = {ф

: ф0 = х1 50Т(ср) ^

s}2 х — любая точка из

Hrl s <

50.

Для упрощения обозначений проведем доказательст во в одномерном случае. Сначала приведем некоторые

108	МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ		[ГЛ. 5
факты, которые	используются в	обеих частях доказа-
аельства.			t
			t
Процесс X*	с точностью до	слагаемого	j*b(Xs)ds
			6

ограниченной вариации является интегрируемым в квад рате мартингалом; поэтому можно определить стохасти

ческий интеграл относительно Xht. Пусть f(t, со), 0 <1 t ^ ^ Г,— случайная функция, ограниченная по модулю какой-то константой С и прогрессивно измеримая относи

тельно семейства а-алгебр £T^t = о (X*, t] (т. е. при любом t функция /(s, со) при s <1 t измерима по паре (s, со) относительно произведения а-алгебры борелевских под

множеств отрезка	[0, t ] и а-алгебры	Тогда можно
определить стохастический интеграл
	т
	f / ( f - 0 , o ) d X ?	(2.7)
	О
(см. К у н и т а,	В а т а н а б е [11). Нам	понадобится

интегрировать только кусочно-непрерывные в среднем квадратическом случайные функции; для них интеграл

(2.7) можно определить как предел		в смысле сходимости
по вероятности интегральных	сумм
j \| ' /( < ,,» ) №	ж - 4	)

при неограниченном измельчении разбиения 0 = /0 <.

< tx < . . . < t n = Т. Если реализации X? имеют огра ниченную вариацию, а реализации /($, со) имеют в каждой точке пределы слева и справа, то интеграл (2.7) можно понимать как обычный интеграл Лебега — Стилтьеса от левого предела f(t — 0, со) функции /(£, со).

Нам понадобится следующий факт:

М* ехр

(2.8)

(это выводится из формулы Ито для стохастических ин

§ 21	ЛОКАЛЬНО БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ	ПРОЦЕССЫ	199
тегралов относительно мартингалов,		см. К у н п т а,

В а т а н а б е И 1).

Доказательство (2.5) проводится сначала для кусочно гладких функций ср. При этом, как и в диффузионном слу чае, используется абсолютно непрерывная замена меры

(идея использования	такого преобразования восходит
к Г. К р а м е р у П ]).
Положим а(£, х) =	Ф*); в силу условия II и

кусочной гладкости ср функция а ограничена по модулю. Положим далее

Р 5 и ) = м:	А\ ехр \К—1	J a ( f - 0 , Х?_о)dXht-
		О
		т
		-	Xht))dt
для любого	события А
Согласно (2.8), Р* — вероятностная			мера. Относитель
но этой меры процесс X*		оказывается снова марковским
процессом (см. Г и х м а н		и С к о р о х о д [2], гл. VII,

§ 6), но уже неоднородным по времени. Его инфинитези мальный оператор будет задаваться формулой (см. Г р и-

г е л и о н и с	11])
А'Ц (X) = Ъ(t, х) /' (х) + { я			(х) /" (х) +
+ h~l	J	[/ (х +	ЛР) - / ( *		) - h f {х) PI щ,х (dp),
	R r\{0}
где ha(x) — прежний коэффициент					диффузии, а перенос
Ъи мера т выражаются через				прежние ио формулам
	b	*) =	Ц?	а	х))>

'rnt.x (dP) = ехР {М *» *)P)W x(dp).

dL	{xt	•
В силу нашего выбора a(f, х) — ц	{xt	tpt) коэффициент

200

МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИИ

[ГЛ. 5

Ъне зависит от х и равен ср*. Это означает, в частности,

что относительно меры Р£ процесс X? — ср* будет мартин галом (с нулевым средним, раз ср0 = х), а его дисперсия задается формулой

М$ (X? -	Ф()2 = к Щ			g f {XhSl a {sx Xs))h		ds.	(2.9)
				о
			d ? hx	положительна,	то меру			РКP*
Так как плотность —				положительна,	то меру			РКP*
			^ х
можно выразить интегрированием по Р*:
	A; exp \}f			г
Р* (^) = Мх	A; exp \}f			- J a ( i - 0 1 X?_p)dX? +
				о
			г
			+ $ H {X htla (t1Xht))dt			.	(2. 10)
			о
Мы будем использовать это для события					= ( sup		I х? —
- ф ( \| < б}.						1()< ^2 ‘		*
- ф ( \| < б}.
Положим
	Da =	sup	д Ч £	(У, a (*, </)),
	Da =	sup	д а *
		t,y	д а *
	А =	sup ^ 5- (у, a (t, у)) a (f, y f
		t,v	аа

(в силу условия II эти выражения ограничены равномер но по всем функциям ф*, для которых ограничена какой-

то константой производная ф*); введем случайные собы тия

4	= (	sup \x1-<pt\<2hU2D\/%
4	=	т
4	=	j a ( * - 0 1X ? _ o ) d ( X j - V<) < 2 hmDr\

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4320 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023374.36 Кб3Финансовый анализ деятельности предприятия..pdf
#
12.11.20232.23 Mб3Финансовый менеджмент..pdf
#
12.11.202311.22 Mб1Финишная обработка лепестковыми кругами..pdf
#
12.11.20238.65 Mб0Фитнес как эффективная система физического развития студентов..pdf
#
12.11.202310.86 Mб15Флотационные реагенты..pdf
#
12.11.202321.91 Mб4Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений..pdf
#
12.11.20234.35 Mб1Фоносемантическая звуковая картина мира..pdf
#
12.11.20237.17 Mб2Формирование гражданской компетентности..pdf
#
12.11.20231.78 Mб2Формирование системы мониторинга реализации программы социально-экономического развития региона..pdf
#
12.11.20238.74 Mб1Формирование состава остаточных нефтей..pdf
#
12.11.20231.26 Mб2Формирование физической культуры личности студента политехнического университета средствами спорта (на материале единоборств)..pdf