книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

15)

ЗАДАЧА О ВЫХОДЕ 113 ОБЛАСТИ

151

пости точки у0 минимума квазппотенциала: для

любого

6 >

О

lim P2{|Z1- y 0|<6|Z1e ^ } = l

(2.1)

е-*0

ния, нужные

для доказательства.

Л е м м а

2.1. Пусть F — компакт в Rr, T u b —

на какой-то функции из этого

множества.

Функционал

S0T обращается в нуль только

на траекториях динамиче­

ской системы, поэтому

d > 0.

и [} Фл (df)

Для любого d' < d

множества |J G(x)

x^F

x^F

р* {рот (х\ х (*)) >

6} Рх=

(X е е G (*)}

<

< Р, {Рот (Х 0е,

Фх (d') > б' ) < ехр { - 8

2 (i' -

Y)| *

Итак, утверждение

леммы

выполнено

для

р = d'

— у

Ш

ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

|ГЛ. 4

В дальнейшем через $ 6(а) будем обозначать б-окрест-

иость точки

а е /?г.

Следующая лемма будет нужна нам также в § 4.

Л е м м а

2.2. Предположим, что точка О — устой­

чивое положение равновесия системы (1.1),

область D при­

тягивается к О и (Ь(х), п(х)) <С 0 при х е

дВ. Тогда для

любого а >

0:

а) существуют такие положительные константы а и

Т0, что для любой функции ф*, принимающей при

[0, Т ]

значения

в множестве В \JdB\^a(0), имеет место

нера­

венство:

S0T(ф) :> а(Т — Г0);

кие,

б) существуют положительные константы с, Т0 та­

что

при всех

достаточно

малых г > 0 для

любого

х е

D\JdD\g>a(0) справедливо

неравенство

Р*{£« >

П

< ехр { -

г~*с{Т -

Ти)},

где

£а =

inf {<: X*

D\«ra (0)).

а) Пусть

&а'{0) — такая

Д о к а з а т е л ь с т в о ,

окрестность

точки 0,

что траектории xt(x) динамической

наибольшего значения Т0 =

шах Т(а, х) < оо.

xeDUdD

значения в

Множество функций из Сото» принимающих

/) U дВ\&(Х(0), замкнуто

в Сот0Последствию из теоре­

мы 1.1 функционал SOTO

достигает на этом

множестве

нижней грани. Эта нижняя

грань отлична от

нуля, так

Итак,

для

всех

таких функций

^от^ф) ^

А > 0.

В силу аддитивности функционала S для функций ф, про­

водящих

B D [}d D \ ga(0) время Г, большее Т0, 5 0Т(ф) ^

для функций,

проводящих в D[JdD\g>a(0) время

Т ^ 2Т0, S0T(ф) ^ 2Л, и т. д. Вообще,

^ог(ф) >

А [Т,То] > А (т1то “ !)

= л(Г -

Г0).

§ 2]

ЗАДАЧА

О ВЫХОДЕ ИЗ ОБЛАСТИ

153

теми же свойствами будет обладать и S-окрестпость D при

достаточно малом 8 >

0. Будем считать 8 меньшим,

чем

ности D и не заходят в /2(0). При x ^ D

функции из

мно­

жества

ФХ{А) = {ср: ср0 = х, *!?ОТо(ф) ^

А) за время

от 0

до TQдостигают ^а/г{0) или выходят за пределы

8-окрест­

ности

области D\ траектории процесса

X*, для

которых

Р * { £ « > Г о } < е * р

{ —е~2(/1 -

Y)>.

Далее пользуемся марковским свойством:

Р *{£ «> (« + 1 ) ? ’»} = мл|£«> «Л»; р д.,г

а * > Г0}| <

< Р лК «> и ^ }* 8 и р Р Л 5 «> ?’о};

по индукции получаем

P H fe a > n < P 3e{se > [ | - ] r 0} ’

«ирРи{?а > TJ 1Г/Г.1 <

ye=D

< exp

е-2

— 1j (Л — Y)J;

такая, что для любых х

и у е

ПТ существует гладкая

функция ср*, ср0 — х, Фг =

у, Т = \х — у |,

для которой

^от(ф) < L -\х — у |.

Действительно, можно положить Ф* = х +

~r-~'x t t.

I у — хI

Переходим непосредственно к доказательству теоремы.

Пусть 8 > 0. Обозначим

d = miu{F(0, у): у е дО, |у -

у01> 8} -

V(0, у0).

154

ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

[ГЛ. 4

Раз

I/Q — единственная точка минимума

функции

F, то

d > 0 .

положительное

число ц <

d!bL

так, чтобы

Выберем

сфера Г этого радиуса с центром в О лежала

внутри

D

(L — константа из леммы 2.3).

малых

г

Л е м м а

2.4.

При достаточно

Рx{Zt <= £ £ >}> exp { —8“2(F(0,

y0) +

0,45d)}

для всех x e

у* (Напомним, что у — сфера радиуса р/2

с

центром О.)

Выберем

точку

г/х

вне

Д о к а з а т е л ь с т в о .

D [jdD на расстоянии не более ц/2 от г/(). Существует Т >

0

такое, что для любой точки х е

у найдется функция ф?,

0 <

* <

Г,

ср5 = я, Фг = Уь

^0т(фх) <

Уо) +

0,4d.

Действительно,

прежде

всего выберем функцию ф*1*,

0 <

t <

Гх,

ф(оП=

О, фг? =

г/„

такую,

что

5 0Т1(ф(г>) <

V(0 ,y0)-|-0,ld. «Отрежем»

ее

начало до точки xt = ф^

последнего пересечения ф^

с Г, т. е. введем новую

функ­

‘5'ог2(ф(2)) = ‘5'(1г1(ф(1)) < ЩО, Уо) +

0,Id.

Далее,

по

лем­

ме 2.3 выбираем функции ф((3), 0

£ <1 Г3 =

р,

ф(03>

= О,

фт,' =

X lt

SOT,(<P{3))<0,2d; Ф(4), 0 < г < 7 ’4, Фо4>= !/о. Фг.)==

= г/j,

SoTt (ф(4>) ^ 0, Id. Наконец,

но той же лемме

для

любого х е у

выбираем зависящую от х функцию

фх5),

0 < t

<

Ть =

р/2, ф(05) =

х,

ф^ =

О,

S0Tl (Ф(5)) <

0,Id.

Функцию

ф?

составляем

из

кусков ф(5>, ф(3), ф(2> и

ф<4>:

ф? = Ф(,5) при

0 < t <

Т ъ;

= фi-T, при Г6<г < ^ 5

+ Г3;

=Ф(—т,—г, при

Ть+

Ть +

Г3+

Z,*;=V<—г,—г,—г,

при Г5 +

Г3+ Г 2< « < 7 ’8 +

Гз +

г,2 +

7’4

(рис. 5).

Выберем положительное б' меньше, чем ц/4 и чем рас­

стояние от точки ух до dD, и воспользуемся

теоремой 1.1.

т

ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

ГГЛ. 4

В силу леммы 2.2 для любого с^> О найдется такое

7\

что PX{T(V U9£)) > Т) < ехр { —8~2с} для всех х е

Г

п

^

У(0,

у0) + 0,65d.

Берем по лемме 2.3 функции

ф*1^

О <

t <7-!. ф^0 = О, Фу> = ф 0, с 5оГ,(ф('))<0,2^ и ф<2),

о <

<

< <

Т* Ф(о2) = ф,„

фг2) е= d D \ gb(y0), с £ 0г. (ф<2>) <

0,Id

=Ф((° при 0 <17 <1 7V, =

ф(-т,

при

7\ <

г <

7\ -f 7t;

= ф(-r .-i, при fj+ fi <

t <!

7\ +

гх +

Тг. При этом фо= 0,

^T i+ tj+ r^

dD\&t,(yo),

а

^от.+^+тДф) ^

0,2d

+ V(0,

Уи) + 0,Id +

0,65(7. Это

меньше

нижней

грани

V(0, у)

по у е= dDXg’biijn), чего не

может быть.

Это означает, что все функции из [}

Фх (F (О, уо)+0,65(7)

проходят на расстоянии не менее ц/2 от дО \$>ь(у0).

Поль­

зуемся теоремой 1.1;

получаем

для

достаточно

малых

е и всех х е

Г:

Р* {т (у U dZ))< Т,

Ar®(VU9D) s dD\g>6(г/0)] <

< Р* {рог (А 8, Фх (V (О, у0) +

0,65d)) > |х/2) <

<

ехр ( -

е“ 2 (V (О, Уа) + 0,65d - 0,05(7)),

Р* (A^vuaD)e= 9D\&o (г/о)! < Рх {т (у U dD) > Т } +

+ Р* {* (Y U <№) ^

Т’Дцтиэо) е

dD\gb («/„)]<

<

ехр I -

e-2

(F (О, у0) + (7)) +

для достаточно малых е и всех х е

у. Обозначим через v

наименьшее га,

при котором Zn е

dD. Пользуясь строго

марковским свойством, находим для х е у

Р* { |К* ~ У* |>

6} e Р* (2v s

d D \ g6 (у0)} =

оо

— 2

(v = ni

dD\<g6 (у0)} =»

П=1

оо

П—1

P zn -J Z x ^ 3Z)}]-exp {— г~2-0,Ы\ =

—

2 P*{v— п) ехР I-

е

2•0,1с?] = ехр {— е

2-0,lcf}

0

П=1

при

8

0.

Таким образом,

теорема доказана для х е

у.

Если

о: — произвольная

точка

области

то

Р, { IГ?-

».| > 6} < р , [X;(vuaD) е

dD] +

+

Р* {^?(vuaD)е V’ |

|^

158

ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

[ГЛ. 4

Т Аи*(*> + 2 ъ1(*>

И = °i * е

UB(x)=g(x),

X<=:dD.

X 8(Z), ср(t) вместо Xf, cpt и т.

п.

Мы определили

У(0, у)

как нижнюю грань SoT (ф)

по всем функциям

ф(£), 0 ^

t ^ Г, ведущим из точки О

ществует функция ф(/),— оо ^

7\ такая, чтоф(—оо)=*

= О, ф(Г) = г/,

о,т (ф) = У(0,

у).

Не будем

этого

доказывать, а введем в качестве условия в теорему,

кото­

рую мы собираемся

сформулировать.

(Утверждение со­

когда ф(£) находится на dG: QQG(ф)

= sup

ф* s 3G}.

Если при этом для некоторого а >

0 при t е

[0эс(ф) —

§ 21

ЗАДАЧА О ВЫХОДЕ ИЗ ОБЛАСТИ

159

вдв{ф)) функция ф(t)

принимает значения внутри G, бу­

дем говорить,

что ф(t) выходит из G неособым

образом.

Т е о р е м а 2.3. Пусть выполнены условия

теоремы

2.1, и пусть

существует единственная с точностью до

сдвига экстремаль ф(£), —оо <

t ^ Т, ведущая

из О на

dG {а именно, в точку у0, рис.

6). Продолжим ф{t) произ­

вольным непрерывным

образом

на

значения t ^

Т.

некоторая

Пусть G a D —

окрестность

положения равнове­

сия, с гладкой границей, причем эк­

до выхода на

dD: 0*JG = max {t <

< те: Xе (t) е

dG}• Тогда для любо­

го 8 >

О и х е D

П т Р Л

шах

|XB(t) —ф (t —

е->0 )

.

е

—

0вс(ф))|< б|= 1.

Рис. 6.

всех сдвигов экстремали, Si)T(ф) ^

V(0, у0) +

d, где

d — положительная константа. Затем выбираем \х^

d/5L Д

Дб/2, сферы у и Г. Функции ф(£),

Т, начинающиеся

ф(0 и такие, чго £ог(ф) <1 V(0,

у0) +0,65 d, не достигают

р/2 -окрестности множества dD.

Отсюда1 так же как при

160

ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

[ГЛ. 4

доказательстве теоремы 2.1, выводим, что

Р, 1т {у U dD)

< Т, X е (т (у U

dD)) е 3D,

max

|X е (t) — ср {t —

(ф)) 1^ 6) ^

e^G« < тЕ

<

ехр [ — е~2 (V (О, у0) +

0,6J)}

для

всех х е

Г,

Рх (X е (т (у U

3D) ее 3D,

max |Хв (£) —

-

Ф (f - 0*G + 00G (ф)) |>

6] < Рх (X8 (т (Y и

dD)) s

е dZ)} exp 1—

в

2 • 0,1с?}

для х е V, откуда получаем утверждение теоремы для этих

ж, а затем и для всех х е

D.

Если динамическая система (1.1) имеет в Z) более одного

этом области D.

На границе 3D области!)

предполагает­

ся выполненным

прежнее условие

(Ь(х),

тг(д:)) < 0 .

Квазипотенциалом системы (1.1)

относительно цикла

II назовем функцию

V (П, х) = inf {.Sr,Г, (ф): Фг, е

II, <рг, = *}•