книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

§31 СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ 41

стохастический интеграл Ито J / (■s, со)dwa. Заметим, что

а

так как траектории винеровского процесса имеют беско­ нечную вариацию на любом интервале, то этот интеграл нельзя определить как интеграл Стилтьеса. Первоначаль­ но интеграл Ито определяется для ступенчатых функ­

Доказывается, что замыкание множества ступенчатых

J f(si сo)dw9. Перечислим основные свойства стохастиче­

делен с точностью до событий вероятности нуль, то в опре­ делении левой части имеется некоторый произвол. Дока­ зывается, что можно так определить при каждом t правые части, что стохастический интеграл слева будет при почти всех со непрерывной функцией верхнего преде­ ла. Всегда, когда в этой книге рассматриваются стохасти­ ческие интегралы с переменным верхним пределом, то имеется в виду непрерывный с вероятностью 1 вариант.

Из перечисленных свойств стохастического интегра-

*

Для таких мартингалов справедливо обобщенное неравен етво Колмогорова

> с

;^ -м j /ч * . со) * л*а

Иногда приходится рассматривать стохастический ин­ теграл со случайным моментом времени в качестве верх­ него предела. Пусть т — марковский момент относительно

цесс; Jf х— сг-алгебра2 порожденная случайными величи­ нами w8 при s ^ t. Стохастический интеграл

ь

j 0 (s, со)dwt

а

естественным образом определяется для матрично­ значных функций Ф($, о) с элементами, принадлежащими

Н1Ь. Именно, если процесс wt понимать как г-мерный

вектор-столбец и матрица Ф($, со) = (Ф^($, со)) имеет г

ъ

столбцов и Z CTpoKj то J Ф(s, со)div8 — это Z-мерная слу-

а

чайная величина1 Z-я компонента которой равна сумме

гЬ

J J c M s , w) dw{.

3 а

Рассмотрим Z-мерный случайный процесс

аа

Здесь первое слагаемое — только что описанный интеграл по г-мерному винеровскому процессу, во втором слагаемом ¥(5, со) = {ф*($, со)} — Z-мерный интегрируемый случай­ ный процесс. СоотношениеА определяющее процесс Хц иногда записывают в виде

прерывную первую производную по / и вторые непрерыв­ ные производные по пространственным неременным. В теории стохастического интеграла важную роль играет формула Ито2 дающая выражение для стохастического

всех перечисленных и ряда других свойств стохастическо­ го интеграла можно найти в книгах Г и х м а н а и С к о ­ р о х о д а [1 ], М а к к и н а [1 ].

Как уже говорилось, с помощью стохастического ин­ теграла можно получить представление некоторых клас­ сов случайных процессов через винеровский процесс. Остановимся подробнее на таком представлении для гаус­ совских процессов. Получим представление для гауссов­ ского процесса с нулевым средним и корреляционной функцией R(s, t), которую мы считаем непрерывной при s, t е [О, Г]. Корреляционный оператор А такого про­

цесса, если его рассматривать в пространстве Lo,r> вполне непрерывен, неотрицательно определен, симметричен и

[1]), что ядро такого оператора можно представить в виде

Из конечности следа оператора А вытекает, что этот ряд

считая, что левая часть определяет правую. В частности формулу, определяющую процесс Х и можно записать в виде

т

о

и считать, что гауссовский процесс X t есть результат при­ менения интегрального оператора с ядром G(s, t) (это ядро иногда называют импульсной характеристикой оператора) к процессу белого шума.

Представление в виде стохастического интеграла по винеровскому процессу допускает широкий класс непре­ рывных по времени мартингалов. В § 5, отправляясь от винеровского процесса, мы построим диффузионные про­ цессы.

§ 4. Марковские процессы и полугруппы

Пусть (Xt, Рх) — марковский процесс на фазовом про­ странстве (X, i$), P(t,x, Г) — его переходная функция. Обозначим В банахово пространство ограниченных $ - измеримых функций на X с нормой ||/|| = sup \f{x) |.

С марковским процессом (или с переходной функцией) можно связать семейство операторов Tt, t ^ 0А действу­ ющих в пространстве В по формуле

(Г tf) (*) = Мж/ (Xt) = j / (у) Р (t, xt dy). X

Так как P(t, х, Г) — вероятностная мера по Г, то опера­ торы Tt сохраняют неотрицательность и не увеличивают

ют полугруппу: TtTs = Tt+S. Таким образом, с каждым марковским процессом (Xt, Рх) связывается полугруппа сжимающих неотрицательных операторов Tt, действу­ ющая в пространстве В ограниченных измеримых функций на фазовом пространстве.

Полугруппа операторов связывается, разумеется, и

с марковским семейством X* (определенным на вероятно­ стном пространстве {Q, ЗГл Р}, не зависящем от я):

в банаховом пространстве V конечных счетно-аддитивных функций множества на (X, Ш) с нормой ||р||*, определя­ емой как полная вариация функции множества р:

(Ut\i){T) - х, Г) |i (dx); t i e V , Г е £

X

Операторы Tt и Ut, как легко проверить, сопряжены друг другу в том смысле, что

f Ttf (*) И (dx) = f / (x) (UJH) (dx); f (= В, ц е Г .

Полугруппа Ut описывает эволюцию одномерных рас­ пределений марковского процесса. А именно, если рас­ сматривать марковский процесс, начинающийся не в фик­ сированной точке х е= X, а в случайной точке Х 0 с рас­ пределением р,: Р {Х 0 е Г } = |1(Г), то распределение через время t будет как раз Ut\i:

Р {X t <= Г} = J Р {Х 0 6= dx} Р (tt хгГ) = (U(|.i) (Г), Г е й .

X

Мера р на (X, 9&) называется инвариантной мерой мар­ ковского процесса, если Ut\i = р при всех t ^ 0. Ясно, что совокупность инвариантных мер образует конус

впространстве V . Если р(Х) = 1, то инвариантную меру

рназывают также стационарным распределением вероят­ ностей.

Инфинитезимальный оператор А полугруппы Tt (он же инфинитезимальный оператор марковского процесса

(X t, Рх) или марковского семейства X* с данной переход­

Сходимость здесь понимается как сходимость по норме,

на всех элементах пространства В. Область определения этого оператора есть линейное многообразие, которое обо­

финитезимальныи оператор определяет полугруппу Tt однозначно. Если переходная функция стохастически непрерывна, то полугруппа Тt, рассматриваемая только на В0 (а значит, и инфинитезимальный оператор Л), одно­ значно определяет переходную функцию и все конечно­ мерные распределения марковского процесса (марков­

Решение этой задачи единственно во всяком случае в клас­ се ограниченных функций.

Аналогично определяется инфинитезимальный опера­ тор Л* полугруппы Uf Функция Ft(r) = i7*p,(r), Г е ^ , для р, принадлежащего области определения оператора A*i также является решением соответствующей задачи

50 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 1

Коши. В частности, легко проверяется, что каждая ин­ вариантная мера ц принадлежит области определения опе­ ратора А*, и Л*|х = 0 .

Подробное изложение полугрупповой теории марков­ ских процессов можно найти в книге Д ы н к и н а [2].

Рассмотрим некоторые примеры марковских процессов

иих инфинитезимальных операторов.

Пе р в ы й п р и м е р . Пусть X — конечное множе­ ство, $ — совокупность всех его подмножеств. Марков­ ский процесс с таким фазовым пространством называется

марковским процессом с конечным числом состояний. С каждым таким процессом связывается набор функций

Переходная функция процесса выражается через функ­

Мы будем рассматривать только стохастически непре­ рывные процессы с конечным числом состояний. Для та­ ких процессов функции Pij{t) удовлетворяют дополни­ тельно условию

5)lim pu {t)^ ри (0).

по

При выполнении условий 1)—5) доказывается, что су­ ществуют правые производные в нуле qtj = р'ц(0). Введем

марковского процесса, а также инфинитезимальный опе­ ратор А* сопряженной полугруппы операторов Ut.