книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений
..pdf§ 4] |
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ПОЛУГРУППЫ |
51 |
Пространства В ограниченных измеримых функций на X и V счетно-аддитивных функций множества на $ суть конечномерные линейные пространства размерности, рав ной числу элементов в X . Отождествим элементы В с век торами-столбцами, элементы V — с векторами-строками. Полугруппа Tt действует на векторы из В по формуле
Ttf = P(t)f.
Инфинитезимальный оператор А этой полугруппы опре делен на всем В и задается формулой
4 / = l i m ^ |
- / = <?/ |
|
ПО |
1 |
|
Сопряженная полугруппа |
Ut |
задается умножением на |
матрицу P(t) справа, и ее инфинитезимальный оператор задается умножением справа на матрицу Q. Легко дока зать, что эта матрица имеет по крайней мере один левый
собственный |
вектор т е V с собственным значением |
0: mQ = 0, |
с неотрицательными компонентами ть да |
ющими в сумме единицу. Каждый такой вектор задает стационарное распределение вероятностей для процесса с конечным числом состояний. Если все элементы матри цы Q отличны от нуля, стационарное распределение един ственно.
В т о р о й п р и м е р . Пусть v* — пуассоновский процесс, начинающийся в 0 (см. § 2). Совокупность про
цессов v? = х + vt, х е Д1, образует |
марковское |
семей |
ство относительно а-алгебр |
(в качестве |
фазо |
вого пространства берется числовая прямая Д1). Соответ
ствующая полугруппа |
Tt действует в пространстве огра |
ниченных измеримых функций на прямой по формуле |
|
W * ) = |
2 / (* + * ) « - “ ПЕГ* |
|
к= 0 |
а ее пнфитезимальный оператор А имеет вид
Af(x) = Uf(x + 1) — f(x)i
Наглядно пуассоновский процесс можно описать сле дующим образом. Если в какой-то момент траектория
52 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 1
находится в точке х, то она еще проведет в х случайное
время т, затем сделает скачок на 1 вправо — в |
точку |
х + 1? проведет в этом состоянии некоторое время, |
затем |
перескочит в х + 2 и т. д. Случайная величина т имеет показательное распределение: Р { т > £} = ехр {—Xt).
У пуассоновского процесса |
величина X — одна и та же |
для всех состояний, размер |
скачка — тоже фиксирован |
ный. Скачкообразный марковский процесс общего вида мы получим, если позволим величине X, задающей распре деление времени до выхода из состояния х, зависеть от этого состояния, и рассмотрим скачки, величина которых случайна, с распределением, зависящим, вообще говоря, от начального состояния. Такой скачкообразный процесс (причем его можно рассматривать не только на прямой, но и в г-мерном пространстве Rr) описывается инфините зимальным оператором
Л/ (х) = I (х) | [/ (х + и) — / (х)] цх (du).
Здесь интегрирование распространяется на все простран ство, кроме точки 0 ; Цх) характеризует распределение времени до выхода из точки х, мера \ix(du) задает распре деление величины скачка.
Широкий класс марковских процессов (марковских семейств) с непрерывными траекториями и соответству ющие инфинитезимальные операторы будут рассмотрены
вследующем параграфе.
§5. Диффузионные процессы
идифференциальные уравнения
Пусть Wt—i-мерный винеровский процесс, j f t — сг-ал- гебра, порожденная случайными величинами ws при s ^ t. Рассмотрим стохастическое дифференциальное урав нение в Rr
X t = b(Xt) + a(Xt)wt1 XQ=
Здесь b(x) = (^(x), . . Ъг(х)) — векторное поле в Rrf
о(х) = (а)(я)) — матрица, имеющая I столбцов и г строк. Под решением этого уравнения понимается случайный
§ 5) |
ПРОЦЕССЫ |
И УРАВНЕНИЯ |
53 |
процесс X t = X t(cо), который при каждом t ^ |
О с вероят |
||
ностью |
1 удовлетворяет |
соотношению |
|
|
t |
t |
|
|
X t — x = § b (Xs) ds + J a (X„) dw„. |
|
|
|
о |
о |
|
Обычно мы будем предполагать, что коэффициенты Ь{(х)г
о](х) |
|
удовлетворяют следующим условиям: |
||
1) |
2 |
1Ь* (х) — ь1{у) I + |
2 1aj (X) - а] (у) |< |
|
|
|
* |
|
i.j |
|
|
|
|
<АГ|« — у|; x ,y (= R \ |
2) |
2|ь*(*)1 + 2 к -(* ) 1 < £ ( М + 1)» |
|||
|
|
i |
t.j |
|
где |
\х\ — евклидова длина |
вектора х е i?r, К — некото |
||
рая |
положительная постоянная. |
|||
При этих условиях доказывается, что стохастическое дифференциальное уравнение имеет непрерывное с веро
ятностью 1 |
решение Х*(со), |
t ^ |
О, такое, |
что случайная |
величина Х*(ф) при каждом |
|
О измерима относительно |
||
|
ь |
|
|
|
a-алгебры j f x и J M |X*|2 |
dt <L оо для |
произвольных |
||
Ь> а ^ 0. |
а |
|
стохастического диффе |
|
Любые два решения |
||||
ренциального уравнения, обладающие этими свойствами,
совпадают при всех t ^ 0 |
для почти всех со ^ Q. |
Если воспользоваться |
независимостью приращений |
винеровского процесса и единственностью решения, то можно доказать (Д ы н к и н [2 ]), что совокупность про
цессов X* при всевозможных начальных точках х е Rr образует марковское семейство относительно системы a-алгебр Доказывается, что марковский процесс, соответствующий этому семейству* является строго мар ковским.
Таким образом, стохастическое дифференциальное уравнение определяет некоторый строго марковский про цесс. Этот процесс называется диффузионным случайным процессом.
Изучим инфинитезимальный оператор диффузионного процесса. Пусть функция и(х)1 х е Rrt HMeejr непрерыв
54 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ I
ные ограниченные производные до второго порядка вклю чительно. По формуле К. Ито получим
t |
t |
и (X ?) - и (X) = \( v « (х?), о (х ?) dws) + |
j Lu (Х.*) ds. |
0 |
0 |
Здесь yu(x) —- градиент функции u{x), под знаком первого интеграла в правой части стоит евклидово скалярное про
изведение |
векторов |
уи{Х*) |
и |
o(Xxs)dws; |
дифференциаль |
ный оператор L имеет вид |
|
|
|
||
|
г |
|
|
г |
|
Lu (х) = 1 _ 2 |
aU (х) ^ |
7 |
<*> + 2 |
<*) £ i W* |
|
где а(х) = |
(аП(я)) = |
о{х)о*(х) — квадратная матрица по |
|||
рядка г. Из приведенного выражения для и(Х*) — н(х) вытекает, что и(х) е DA и
|
Мхм(А7) — и(х) |
t |
|
|
Ли (я) = П т |
lim-j- Гм Lu (Х*) |
= |
||
- |
||||
п о |
|
tiO * J |
|
|
|
|
= |
Lu (я). |
При этом мы воспользовались непрерывностью функции Lu(z) и тем, что математическое ожидание стохастического интеграла равно нулю.
Итак, инфитезимальный оператор диффузионного процесса на гладких функциях определен и совпадает с L. Оператор L иногда называют производящим дифференци альным оператором диффузионного процесса; функции а^(х) называют коэффициентами диффузии, Ь(х) — век тором переноса. Легко видеть, что матрица (aif(x)) коэф
фициентов диффузии неотрицательно определена, |
т. е. |
г |
|
2 aii(x)'ki'kj ^ 0 при любых вещественных |
. . . |
г,?=1 |
|
. . ., ХГ. Наоборот, если имеется неотрицательно опреде ленная матрица (а^(х)) и вектор Ь(х) с достаточно гладкими элементами, то можно построить диффузионный процесс с коэффициентами диффузии а^{х) и переносом Ь(х). Это можно сделать2 например2 с помощью стохастических диф-
8 51 ПРОЦЕССЫ t! УРАВНЕНИЙ 55
ференцпальных уравнений: если матрица в(х) такова,
что а(£)а*(я) = (а^(х)), то |
решения уравнения X t = |
= b(Xt) + o ( X t)wt образуют |
диффузионный процесс |
с коэффициентами диффузии а^(х) и переносом Ь(х). Для существования и единственности решений стохастического дифференциального уравнения нужно, чтобы коэффици енты о(х) и Ь(х) удовлетворяли некоторым требованиям регулярности. Например, как уже указывалось, достаточ но, чтобы а(я) и Ъ{х) удовлетворяли условию Липшица. Представление матрицы (а{>(х)) в виде (а^(х)) = а(я)а*(.г)
с элементами- а)(я), удовлетворяющими условию Липши ца, возможно всегда, когда функции aVj(x) дважды непре рывно дифференцируемы (Ф р е й д л и н [5]); если det (а^(х)) Ф 0 , то для такого представления достаточно, чтобы функции а^(х) удовлетворяли условию Липшица.
Таким образом, каждому оператору
ail и d x 'b x J |
+2 ь' и ^ |
|
i=l |
с неотрицательно определенной матрицей (а^(х)) и доста точно гладкими коэффициентами соответствует некоторый диффузионный процесс. Этот диффузионный процесс сво им производящим дифференциальным оператором опреде ляется по существу однозначно: любые два процесса, имеющие общий производящий дифференциальный опе ратор, индуцируют одинаковые распределения в простран стве траекторий. Во всяком случае это так, если коэффи циенты а^(х) и Ы(рс) удовлетворяют небольшим требовани ям регулярности, которые в наших рассмотрениях всегда выполняются.
В большинстве теоретико-вероятностных задач инте рес представляют те свойства случайного процесса, кото рые определяются соответствующим распределением в пространстве траекторий и не зависят от конкретного задания процесса. В связи с этим мы будем нередко гово рить: «Рассмотрим диффузионный процесс, соответству ющий дифференциальному оператору L», не уточняя более подробно, как этот процесс задан.
Диффузионный процесс, соответствующий оператору Lxможно построить и не обращаясь к стохастическим диф
56 |
СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЙ |
(ГЛ. 1 |
ференциальным уравнениям. Например, если матрица диффузии не вырождается, соответствующий процесс можно построить, отправляясь от теорем существования
решений для параболического уравнения = Lu(t, х).
На основе результатов из теории дифференциальных урав нений можно установить ряд важных свойств диффузион ных процессов, например указать условия, при которых переходная функция имеет плотность. Во многих задачах, тем или иным способом связанных с вырождениями, более удобным представляется использование стохастических дифференциальных уравнений.
Отметим некоторые частные случаи. Если а^(х) == О при всех г, / = 1, 2, . . ., г, то оператор L превращается в оператор первого порядка
i=i дх
Стохастические дифференциальные уравнения в этом слу чае переходят в систему обыкновенных дифференциальных уравнений
хх = b(xt), х0 = х.
Таким образом, дифференциальному оператору первого порядка соответствует марковский процесс, который пред ставляет собой детерминированное движение вдоль реше ний обыкновенного дифференциального уравнения. В тео рии дифференциальных уравнений это обыкновенное урав нение называется уравнением характеристик, а его реше ния — характеристиками оператора L.
Другой частный случай: все коэффициенты переноса ty(x) =з 0 , а коэффициенты диффузии образуют единичную матрицу: а^(х) = 6 ^. В этом случае L = Д/2, А — опе ратор Лапласа. Здесь соответствующее марковское семей ство имеет вид
W* = х + и>и
т. е. оператору Д/2 соответствует семейство процессов* которые получаются сдвигом винеровского процесса на
§ 5] ПРОЦЕССЫ И УРАВНЕНИЯ 57
вектор х е= Rr. Марковский процесс (wu Р^.), связанный с этим семейством, мы будем для краткости тоже называть винеровским процессом. При этом индекс х у вероят ности или у математического ожидания будет указывать
на то, что рассматривается траектория |
ш* = х + wt. |
Так, например, Рx{wt е Г} = Р { х + wt е |
T}1Mxf{wt) =* |
=Mf(x + wt). |
|
Легко видеть, что если все коэффициенты оператора L постоянны, то соответствующее марковское семейство со
стоит |
из гауссовских процессов вида X* = х + owt + |
+ bt. |
Диффузионный процесс будет гауссовским и тогда, |
когда коэффициенты диффузии постоянны, а перенос ли нейно зависит от х.
Итак, пусть (X t, Рх) — диффузионный процесс, А — инфинитезимальный оператор процесса, L — соответствую щий дифференциальный оператор.Рассмотрим задачу Коши
*t£-2. = Lu(t,x); |
«(0, х) = / ( * ) , |
х е Rr, |
t > 0 . |
Обобщенным решением этой задачи назовем решение аб страктной задачи Коши
ди.
S T = Аи" и° = f-
Оператор А является расширением оператора L, так что это определение корректно. Как объяснялось в § 3, реше ние абстрактной задачи Коши существует, во всяком слу
чае, если / |
е DAf |
и записывается в |
виде ut(x) = |
= МJ (X t) = |
Ttf(x). |
Если классическое решение u(t, х) |
|
задачи Коши |
существует, то, так как Аи = |
Ьи для глад |
|
ких и = u(t, х), функция u(t, х) является также решением абстрактной задачи Коши, и в силу единственности реше ния абстрактной задачи u(t, х) = Ttf(x). Такое представ ление можно распространить и на решения задачи Коши с любой ограниченной непрерывной начальной функци ей, а не только с начальной функцией из DA. Это следует из принципа максимума для параболических уравнений.
Если матрица (а^(х)) не вырождается и коэффициенты оператора L достаточно регулярны (например* удовлет
58 |
СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ |
1ГЛ. 1 |
воряют условию Липшица), уравнение |
= La имеет |
фундаментальное решение p(t, х1у), т. е. решение задачи Коши с начальной функцией 8 (.г — у). Это фундаменталь ное решение, как легко видеть, является плотностью переходной функции
Р (t, X, Г) = f р {t, X, у) dy.
|
Г |
|
|
Уравнение |
= Lu называют обратным |
уравнением |
|
Колмогорова для диффузионного процесса (X*, Рл). |
|||
Пусть с(х) — равномерно |
непрерывная ограниченная |
||
функция в Лг. Рассмотрим семейство операторов |
|||
f tf(x) = |
Mxf (X t) ехр |
c(Xs) efcj, |
0 , |
|
|
I |
|
в пространстве ограниченных измеримых функции на /?\
Операторы |
Tt |
образуют |
полугруппу |
(см., |
напри |
||||||
мер, |
Д ын к и н |
|
[2]). |
Принимая |
во |
внимание, |
что |
||||
ехр ||c(X s) |
= |
1 |
+ f |
c(X$)ds -f o(t) |
при |
t J |
0, |
не- |
|||
|
U |
J |
|
о |
|
DA и коэффициенты опера |
|||||
трудно доказать, что если / е |
|||||||||||
тора |
L равномерно |
в Rr ограничены, |
то / |
принадлежит |
|||||||
области определения инфинитезимального оператора А полугруппы Ти и Af(x) = Af(x) + c(x)f(x), где А — ин финитезимальный оператор полугруппы Ttf(x) = = Мxf(Xt). Используя это замечание, можно доказать, что решение задачи Коши
■d-v{g't х) = Lv (t, х) + с (х) v («, x)t |
t > 0 , |
КО. х) = f{x)
для непрерывных ограниченных f(x) представимо в виде t
v (*, x) = Ttf (х) = МJ (X ,) ехр с (Xs) ds1
9 Г
ПРОЦЕССЫ И УРАВНЕНИЯ |
59 |
Представление в виде среднего значения некоторого функционала от траекторий соответствующего процесса можно дать и для решения неоднородного уравнения: если
= Lw + с (х) w + g (х)х w (0, х) = 0^
то
Вероятностное представление для решений уравнения с коэффициентами, зависящими от t и от х1 дается через среднее значение функционалов от траекторий процесса, определяемого неоднородным стохастическим дифферен циальным уравнением
X t = b(t, X t) + а (t, X t) wtf Xu = x.
Решения этого уравнения существуют при любых х е Rrf tо^ 0 , если коэффициенты непрерывны по t и х и удовлет воряют условию Липшица по х с постоянной, не завися
щей от t (Г и х м а н |
и С к о р о х о д |
[1 ]). Совокуп |
||
ность |
процессов Х|0,лпри всевозможных |
t0^ |
Оия е Rr |
|
образует неоднородное |
марковское семейство |
(см. Дын- |
||
кин |
[1 ]). |
|
|
|
Пусть в фазовом пространстве Rr диффузионного про |
||||
цесса |
(X t, Рх) задана |
ограниченная область D с гладкой |
||
границей дГ). Обозначим т первый момент выхода про цесса из области D: т = т(со) = inf {t: X t ф D}. Во мно гих задачах интерес представляют средние значения
функционалов, зависящих |
от поведения |
процесса на |
|
отрезке времени от 0 до |
т, например выражения |
вида |
|
|
и им |
подобные. |
Эти |
выражения как функции начальной |
точки х являются |
|
решениями некоторых краевых задач |
|
для производяще |
го дифференциального оператора L |
процесса (Х и Рл). |
|
60 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 1
Рассмотрим в области D задачу Дирихле |
|
||||||
|
Lu(x) 4- с(х)и(х) = |
f(x), |
х е |
D; |
|||
|
|
Ф |
) \xedD |
= |
ф(я). |
|
|
Предполагается, |
что |
с(х), |
f(x) |
при |
I G |
F и ф(.г) при |
|
х е |
6D — непрерывные ограниченные функции, с(х) ^ 0. |
||||||
Относительно оператора L предположим, что он равномер |
|||||||
но не вырождается в D U dD, т. е. |
(x)%{kj^k'2j'k |
||||||
к > |
0, и все коэффициенты удовлетворяют условию Лип |
||||||
шица. При этих условиях функция |
|
|
|||||
и(х) = — Мx j f |
(Xt) exp Ij c (Xs) d$] dt + |
|
|||||
оio
является единственным решением рассматриваемой зада чи Дирихле.
Чтобы доказать это, предположим сначала, что реше ние задачи Дирихле и(х) можно продолжить с сохранени ем гладкости на все пространство Rr. Обозначим У*=»
Г |
|
Y, |
* |
\c (Xs)ds и применим формулу Ито к функции u(Xt) е |
|
||
t |
|
|
|
u(Xt)e° |
— и(х)=з |
|
|
о |
о |
|
|
+ jt |
[Lu (Xa) - / (X,)] ds + Jt и (Xs) eY°c (X,) ds. |
||
0 |
0 |
|
|
Это равенство выполняется при всех |
Ос вероятностью 1. |
||
Подставим |
теперь вместо t случайную |
величину т. |
|
При s < т |
траектория Xg не выходит из |
области Dt по |
|