книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
.pdfКолебания линейных систем с одной степенью свободы |
241 |
и (х), ф (х). У (*)> т- е- функции, удовлетворяющие геометрическим граничным условиям конкретной задачи; в двухразмерных задачах (схемы 4—6 табл. 9) задаются подходящими функциями обеих простран ственных координат. Масштаб принимаемых форм роли не играет и может быть любым, т. е. перемещения, соответствующие любой форме, могут быть увеличены или уменьшены в произвольное число раз; это не влияет на окончательное значение частоты. Полученные по способу Рэлея формулы для собственных частот приведены в табл. И.
Получаемые по формулам табл. 11 значения собственных частот не ниже истинных значений; если функции и (х), <р (х), V (х) соответствуют точным решениям, то и формулы дают точные результаты. В случае изгибных колебании иногда в качестве функции у (х) принимают кривую статического изгиба от действия заданно# нагрузки, тогда формула для квадрата собственной частоты принимает вид
I |
|
|
|
|
|
то йх |
2 |
т&< |
|
Р1 = 8~ [------------------------ |
(14) |
|||
] |
т о 2 йх + |
2 |
тЛ |
|
0 |
|
|
|
|
и всегда дает завышенные значения р2. |
|
энергетического |
соотноше |
|
Вариантом использования |
основного |
|||
ния (10) является способ приведения масс. Согласно этому способу за данную распределенную массу т (х), а также, возможно, имеющиеся сосредоточенные массы гщ приводят к одной точке системы и заменяют одной сосредоточенной (приведенной) массой, определяемой по фор
мулам: |
колебаний |
|
|
|
в случае продольных |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
^ ти2 йх |
2 |
т1 и] |
|
т0 = ------------- 2----------- I |
<15) |
|||
в случае изгибных колебаний |
“о |
|
|
|
|
|
|
||
|
I |
|
|
|
|
^ то2 йх |
V т.о] |
|
|
В формулах (15)—(16) |
функции |
и (х) |
и о (х) — перемещения |
(со |
ответственно продольное и поперечное), вызываемые сосредоточенной силой, статически действующей в точке приведения массы; и0 и у0 — перемещения этой точки. Соответственно, в случае крутильных коле
баний приведенный момент инерции |
составляет |
^ 'Ф2 |
+ 2 |
(17)
242 |
Основы теории колебаний механических систем |
После вычисления значения т0и / 0 собственная частота приведенной одномассовой системы определяется формулой (8) (результаты всегда получаются завышенными).
Пример 2. Определить собственную частоту нзгнбных колебаний кон сольной балки постоянного сечення (см. схему 10 табл. 5). Полагая
Пример 3. Определить приведенную массу стержня постоянного сечения, совершающего продольные колебания (см. схему / табл. 9). Принимая
и
в пользуясь табл. 1 1 , находим
/ |
Г («')*</* |
__ |
|
т ---------------- |
|
I ти* йх
Несколько большую точность дает формула Граммеля; для случая изгибных колебаний она имеет вид
^ то2 Ах
р2 =■
Ах
(18)
В е Г
здесь Ми =* Ми (*) — изгибающий момент, вызываемый нагрузкой то.
Заниженные значения частоты дает приближенная формула Донкерлея
Ра = - ----- |
---------, |
(19) |
Г |
т (х) Ах |
|
Л |
с(х) |
|
о |
|
|
в которой с (дс) — изгибная жесткость, соответствующая приложению сосредоточенной силы в сечении с абсциссой х.
Колебания линейных систем с одной степенью свободы |
243 |
Системы с вязким сопротивлением. Дифференциальное уравнение движения приводится к виду
ту + ку + су = 0 или у + 2пу + р2у = 0, |
(20) |
где п = — коэффициент, зависящий от вязких свойств системы.
Обычно п значительно меньше р (кроме случаев, когда система содер жит специальные демпферы).
Решение уравнения (20) при п < р |
|
у = ае~л 1зЗп (К р 5"= ’п®1 + ср) |
(21) |
представляет собой затухающие колебания (закон движения показан на рис. 6, а; фазовая траектория — на рис. 6, б).
Рис. б
Амплитуду колебании а и начальную фазу ср определяют из началь ных условий
|
(?о + пу0у* |
|
а = * |/# о + р3 — ла » |
(22) |
|
Ф = агс^ |
Уо Ур2— п? |
(23) |
|
о0 + пу0 |
|
Круговая частота колебаний составляет У р2 — п2 и в большинстве случаев весьма близка к собственной частоте р недемпфированной си
стемы. Произведение ае~‘п* представляет верхнюю огибающую кривой затухающих колебаний. Отношение любых двух последовательных амплитуд остается неизменным в течение всего процесса:
<4 |
ае п'' |
пТ |
(24) |
|
ае-п (*1 + т) |
||
|
|
||
где Т — период колебаний *, |
2л |
|
|
Т — |
|
(25) |
|
|
*=»----- |
||
|
|
Р |
|
• В данном случае термин применен в условном смысле, поскольку процесс вообще не является периодическим.
244 |
О сновы т ео р и и к о леб а н и й |
м ех а н и ч еск и х |
си ст ем |
Величина |
|
|
|
|
6 = л Т = |
1п— |
(26) |
|
|
аи1 |
|
характеризует темп затухания и называется логарифмическим декре ментом колебаний (или, просто, логарифмическим декрементом).
При не слишком быстром процессе затухания, когда уменьшение амплитуды Да за цикл значительно меньше самой амплитуды а,
6 = 1 п - ^ = 1п |
01 |
— Дщ |
= 1п |
1 |
(27) |
а /+1 |
1 |
Аа' |
|
||
|
|
|
|
т
т. е. логарифмический декремент равен отношению уменьшения ампли туды за один цикл к значению амплитуды этого цикла. В момент вре
мени, когда перемещение системы достигает максимума, ее полная энергия равна потенциальной энергии
са}
|
77т ах — |
2 |
* |
|
Потеря энергии за один цикл |
|
|
|
|
ДН-1 |
с |
Д*+1) (а* — Д/+1) * ссц Да*. |
(28) |
|
2— |
*=“2" (°* + |
|||
Относительное рассеяние энергии |
|
2 Аа* |
|
|
|
Д/7 |
|
(29) |
|
|
|
|
а* |
|
|
|
|
|
|
называют коэффициентом |
поглощения; |
сравнивая выражения |
(27) |
|
и (29), видим, что коэффициент поглощения вдвое больше логарифмиче
ского декремента |
колебаний. |
|
р) решение уравнения (20) |
|
При сильном демпфировании (когда п > |
||||
имеет вид |
|
|
|
|
у = |
е-">1(Ае |
+ В<Г |
) , |
(30) |
и движение носит апериодический характер. Постоянные А и В опреде ляются начальными условиями. Закон движения и фазовая траектория показаны соответственно на рис. 7, а и б.
При критическом демпфировании (п = р) решение дифференциаль ного уравнения (20) имеет вид
У= (пуц + »,<) е~п1. |
(31) |
246 |
О сновы т е о р и и к о л е б а н и й м ех а н и ч еск и х с и с т е м |
где уст— перемещение, вызываемое статически действующей силой Р0,
Уст |
• |
09) |
В случае, когда возмущающая сила задана законом
Р = Я0с<, |
(40) |
движение описывается зависимостью
у------- |
(СО$ <й(—С08 р(). |
(41) |
Выражения (38) и (41) относятся к случаю нулевых начальных условий. В действительности, из-за неучтенных при выводе неупругих сопротивлений вторые слагаемые в скобках в формулах (38) и (41)
с течением времени быстро исчезают (рис. 9). Поэтому |
амплитуда |
|
стационарной части решений (38) и (41) будет |
|
|
а |
Уст= р-Уст* |
(42) |
причем |
|
|
|
|
(43) |
называют коэффициентом динамичности (рис. 10).
Отношение амплитуды силы, передаваемой при колебаниях основа нию через упругую связь, к амплитуде Р 0 возмущающей силы называют коэффициентом передачи. В рассматриваемом случае он совладает с коэффициентом динамичности (43).