книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

При решении задач устойчивости в уравнение (17) нужно подставить

вместо ц фиктивную поперечную нагрузку <Д равную сумме дополни­ тельных проекций основных усилий рх»/?«/, 5 на направление нормали (усилие рх действует вдоль оси х, усилие ру — вдоль касательной к ли­ нии (/, усилия 5 — касательные):

Положительными считают усилия, способствующие увеличению параметров кривизны; в отношении рх и ру положительными считают усилия сжатия. Подставляя выражение (19) в формулу (17), получим

+МЙ-)-«: 0. (21)

Приведем другой вариант уравнений линейной теории оболочек, относящийся к случаю слабо выраженного волнообразования по длине оболочки. В этом варианте срединную поверхность принимают не­ растяжимой в дуговом направлении (еу = 0); считают, что сдвиги в сре­ динной поверхности отсутствуют (у = 0). Поперечные силы и изгиба­ ющие моменты в осевом направлении, а также крутящие моменты пола­

Приходящуюся на единицу площади внешнюю нагрузку вдо#ь оси х, касательной к линии у и оси г, обозначим через Яу> Яг. Тогда урав­ нения равновесия запишутся

Исключая ах и используя выражение (25) для Му, получаем, после

исключения оператора + 1 )• следующее дифференциальное урав­

нение для решения задач устойчивости:

(29)

Уравнением (29) следует пользоваться при исследовании устойчи­ вости оболочек средней и особенно большой длины в случае слабо вы­ раженного волнообразования по длине оболочки.

Линейная теория дает возможность исследовать устойчивость обо­ лочки в малом. Полное решение задачи, включающее исследование потери устойчивости оболочки в большом, может быть дано с позиций нелинейной теории. Приведем соотношения, относящиеся к оболочке большого прогиба. Будем исходить из того варианта теории, в котором оболочка считается пологой, по крайней мере, в пределах отдельной вмятины.

Рассмотрим вариант решения задачи в допущении, что поверхность оболочки после выпучивания не является осесимметричной. Для про­ гиба и) принимают следующее выражение, удовлетворяющее гранич­ ным условиям:

где т — число полуволн по образующей оболочки; п — число полных волн вдоль окружности. Исходим из дифференциального уравнения (40); подставляя в это уравнение выражение (47), получим (1]

Из условия минимизации р по к находим к2 — е1/2л2 (п2— 1)/(1 — у2)1/2 и величину

ческого» значения, определяемого по формуле (43). При /1 = 3 верхнее критическое напряжение составляет 0,8 от «классического» значения.

Следовательно, для весьма длинных оболочек получаются понижен­ ные, по сравнению с формулой (43), значения критического напряжения.

Характер выпучивания реальных оболочек средней длины не со­ ответствует ни одному из этих вариантов. В действительности, вместо вмятин прямоугольного очертания, расположенных в шахматном по­ рядке и обращенных к центру и от центра кривизны, образуются ромбо­ видные вмятины, глубина которых уже в первоначальный момент

задачи. Решение по методу Ритца состоит в выборе аппроксимирующего выражения для прогиба до, содержащего несколько варьируемых пара­ метров, и подстановке этого выражения в уравнение (39). В результате

где 1!с — потенциальная энергия деформации срединной поверхности;

где р = 2я/?/, — площадь поверхности оболочки. Далее полную энер­ гию системы варьируют по параметрам прогиба и находят диаграмму равновесных форм оболочки. В процессе выпучивания оболочки число н размеры вмятин являются переменными, поэтому диаграмма равно­ весных форм представляет собой огибающую серии кривых, отвечающих

тем или иным числам воли. Из сопоставления различных вариантов

диаграммы находят наименьшую величину р — нижнее критическое

значение рн. Подобно тому, как реальные оболочки резко реагируют на малые возмущения, что приводит к большому разбросу эксперимен­ тальных значений критических напряжений (см. ниже), результаты ре­ шения по методу Ритца сильно меняются при незначительном изменении принимаемого выражения для прогиба. Данные различных решений

по методу Ритца приводят к значениям параметра рн, лежащим в пре­ делах 0,182—0,334; позднее получены более низкие значения, доходя­

чины реальных критических напряжений. Это подтверждается также результатами статистической обработки экспериментальных данных. Если, например, определять нижнюю границу критических напряже­ ний, исходя из условия, чтобы вероятность попадания эксперимен­ тальной точки в вышележащую область составляла 90 или 99%,