книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

давления <7, равномерно распределенного по боковой поверхности, и кручения парами Мк, приложенными по торцам, расчетные формулы имеют вид

где <7о, о* Яо. н — верхнее и нижнее критические давления в случае дей­ ствия только внешнего давления; 50, в и 50> н — верхнее и нижнее крити­ ческие напряжения при простом кручении.

С о в м е с т н о е д е й с т в и е о с е в о г о с ж а т и я , в н е ш ­ н е г о д а в л е н и я и к р у ч е н и я . Комбинируя выражения (97) и (99), получим формулы для определения верхних и нижних кри­ тических напряжений

(100)

З а м к н у т а я о б о л о ч к а , п о д в е р г а ю щ а я с я с о в ­ м е с т н о м у д е й с т в и ю в н е ш н е г о д а в л е н и я , к р у ­ ч е н и я и и з г и б а. При решении задачи об устойчивости оболочки при поперечном изгибе отмечалось, что при сравнительно большой длине ( / . > 4 #) основное значение имеет потеря устойчивости типа сжатия с образованием мелких вмятин в сжатой зоне. Поэтому при рас­ чете на комбинированную нагрузку можно исходить из формул типа (100), подставляя вместо р величину максимального напряжения рг при изгибе. В случае оболочки малой длины (Ь < 4/?) должно произойти выпучивание типа кручения с концентрацией вмятин в центральной зоне, при этом необходимо использовать формулу (99), подставляя вместо 5 величину, равную сумме касательных усилий, вызванных кру­ чением, и максимальных касательных усилий от изгиба.

З а м к н у т а я о б о л о ч к а п р и с о в м е с т н о м д е й ­ с т в и и о с е в о г о с ж а т и я и в н у т р е н н е г о д а в л е - н и я. Дополнительное внутреннее давление по линейной теории не влияет на величину критического напряжения; значение рй и в этом случае определяют по формуле (43). Решение задачи с позиций нелиней­ ной теории приводит к другому выводу. Потеря устойчивости в большом в случае простого сжатия оболочки сопровождается образованием глу­ боких вмятин, обращенных к центру кривизны. Но при наличии вну­ треннего давления образование таких вмятин будет затруднено, поэтому характер волнообразования должен измениться, что подтверждается экспериментами. При малом внутреннем давлении получаются вмятины, вытянутые вдоль дуги. По мере увеличения интенсивности давления эффект удлинения вмятин вдоль дуги усиливается; при значительном внутреннем давлении образуются сплошные кольцевые складки, что соответствует осесимметричной форме потери устойчивости. Но при этом эффект нелинейности не окажет существенного влияния и крити­ ческое напряжение можно определять по формуле (43). Этот вывод подтверждает и теоретическое исследование. Нижние критические на­ грузки при совместном действии осевого сжатия н внутреннего давле­ ния определяют по графику на рис. 16, где по оси ординат отложено

отношение параметра рн =* рн — - нижнего критического напряжения

сжатия при наличии внутреннего давления к параметру р 0>в верхнего критического напряжения для простого сжатия, определяемого по

формуле (52), по оси абсцисс — параметр внутреннего давления д =

что отвечает решению нелинейной задачи по методу Ритца во втором приближении для случая простого сжатия. На этом же графике дано значение величины Ф, определяющей отношение длины вмятины 1у вдоль дуги к размеру вмятины 1Х

вдоль образующей.

З а м к н у т а я о б о л о ч к а п р и с о в м е с т н о м д е й ­ с т в и и в н у т р е н н е г о д а в л е н и я и к р у ч е н и я . Верх­ ние критические нагрузки для оболочек средней длины определяют по графику на рис. 17. Указанные на графике величины вычисляют по

формулам: — (83); </ — (65); 50] в — (82); в — (72).

Расчетной является сплошная линия, штриховая линия соответ­ ствует приближенной параболической зависимости

относящейся лишь к большим значениям ц. График показывает, что при

увеличении внутреннего давления щпроисходит некоторое возрастание

верхнего критического напряжения кручения $<,. На графике нанесены экспериментальные точки (черный кружок относится к стальному об­ разцу, остальные — к дуралюминовым). По графику можно вести прак­ тические расчеты, вводя поправочный коэффициент а, несколько более высокий, чем при простом кручении (см. стр. 148), например а = 0,85

при -5 - ^ 2 5 0 .

З а м к н у т а я о б о л о ч к а п р и с о в м е с т н о м д е н с т в и и в н у т р е н н е г о д а в л е н и я и и з г и б а . В этом случае предварительно определяют, какие напряжения (нормальные или касательные) являются решающими. Приведенный ранее расчет устойчивости замкнутой оболочки в условиях поперечного изгиба по

сательным напряжениям применяют при Ь < 4Я. При комбинирован­ ном нагружении, относящемся к первому случаю, нижние критические значения максимального напряжения изгиба можно определять по

графику на рис. 16, повышая рн (при ? < 0,5) примерно на 25%. Во вто­ ром случае при расчете следует пользоваться графиком на рис. 17, исходя из рекомендаций для случая совместного действия кручения и внутреннего давления.

Устойчивость круговых замкнутых подкрепленных оболочек. При определении критических нагрузок и несущей способности подкреплен­ ных оболочек и выборе оптимальных соотношений между размерами обшивки и подкрепляющих элементов возможны два подхода. Если ребра находятся на большом расстоянии одно от другого, то их рассма­ тривают как дискретные элементы; в этом случае задача об устойчивости оболочки рассматривается в строгой постановке с учетом взаимодей­ ствия между оболочкой и подкреплениями. Если ребра расположены достаточно часто, то используют другую расчетную схему, когда путем «размазывания» жесткости ребер переходят к модели конструктивно анизотропной оболочки. При определении расчетной схемы часто исходят из соотношения между длиной волны, образующейся при выпучивании подкрепленной оболочки, и шагом ребер. Полагают, что в тех случаях, когда шаг ребер в несколько раз меньше длины волны, может быть принят второй путь, основанный на переходе к модели ани­ зотропной оболочки. Но, по-видимому, такой критерий является недо­ статочным. Его необходимо дополнить требованием, чтобы критическая нагрузка, соответствующая местной потере устойчивости обшивки, была больше величины критической нагрузки при общем выпучивании подкрепленной оболочки. Если геометрические параметры оболочки и подкрепляющих ребер таковы, что местная потеря устойчивости предшествует общей, то даже в случае образования значительных по своим размерам вмятин, захватывающих несколько ребер, замена подкрепленной оболочки анизотропной моделью может привести к су­ щественной погрешности.

В качестве примера использования первого подхода к задаче укажем на работу [4], в которой исследована в линейной постановке устойчи­ вость оболочки, подкрепленной дискретными ребрами, при действии внешнего давления. Теоретическое и экспериментальное исследования нелинейной задачи об устойчивости цилиндрической оболочки, под­ крепленной редко расставленными ребрами, подвергающейся осевому сжатию, приведены в работе [6 ].

Рассмотрим устойчивость конструктивно анизотропных оболочек. Примем, что главные направления жесткости ортотропной цилиндри­ ческой оболочки х, у совпадают с образующей и дугой поперечного сечения. Упругие свойства ортотропиых оболочек характеризуются четырьмя независимыми величинами: модулями упругости Ех и Ег по направлениям х, у, модулем сдвига О и коэффициентом Пуассона ух, отвечающим поперечной деформации вдоль дуги. Второй коэффициент V.,, соответствующий поперечной деформации по направлению х, связан

ссоотношением

156 Устойчивость оболочек

Энергия деформации в срединной поверхности и энергия изгиба

где Р = 2лЯЬ — площадь поверхности оболочки. Рассмотрим решения конкретных задач.

У с т о й ч и в о с т ь о р т о ­ т р о п но и о б о л о ч к и пр и

р а с п р е д е л е н н ы м и по т о р ц а м о б о л о ч к и . При­ нимаем следующее аппроксими­ рующее выражение для прогиба:

где /Л-, 1у — длины полуволн вдоль образующей и по дуге; а, Ь и й — постоянные величины. Рассмотрим нелинейную задачу (решение линей­ ной задачи получается как предельный случай). Выражение (117) подставляют во второе из уравнений (ИЗ); в результате интегрирова­ ния его определяют функцию ср. Далее вычисляют полную энергию системы; минимизация энергии по пяти параметрам приводит к системе пяти нелинейных уравнений. Результаты вычислений с помощью элек­ тронных цифровых машин показаны на рис. 18 П ]. На графике (рис. 18) обозначено:

е0, в — критическая деформация кольцевого выпучивания; у — харак­ теристика ортотропности оболочки»

при относительно сильных стрингерах величина у значительна, при сильных шпангоутах — мала; N а — верхнее критическое усилие сжа­ тия, отвечающее случаю осесимметричного кольцевого выпучивания; N — верхнее критическое усилие, соответствующее тому случа!

потери устойчивости, когда выпученная поверхность делится на прямо­

диаграмма имеет за точкой бифуркации обычный падающий участок.

няющаяся участком снижения величины сжимающих усилий, и оказы­ вается возможным определить нижнее критическое напряжение. Повидимому, при испытаниях реальных оболочек переход от одной ветви к другой будет осуществляться в процессе хлопков.

На рис. 19 показано изменение отношения нижнего критического усилия к верхнему в зависимости от у при ас = 4 и аи = 0,5. Эффект нелинейности оказывается наибольшим для изотропных оболочек. Этот эффект несколько ослабевает в случае оболочки, усиленной в про­ дольном направлении, и резко падает для оболочек, имеющих попереч­ ные подкрепления.

П о д к р е п л е н н а я о б о л о ч к а п о д в е р г а е т с я о д ­

158 Устойчивость оболочек.

На графике (рис. 20) изображена зависимость между сжимающим

усилием N и величиной приведенной деформации 7 +

Диаграммы относятся к оболочке, усиленной в осевом направлении. Сверху график ограничен линией, соответствующей случаю осесим­

метричного выпучивания. С увеличением д возрастает не только нижнее, но и верхнее критическое усилие; этим ортотропная оболочка отличается

от изотропной. В зависимости от параметра <7меняется и вид начального

участка закритической диаграммы. При малых значениях ц начальному участку диаграммы соответствует падающая характеристика. При зна­ чительном <7 получаются восходящие участки, при <7 = 4 начальный участок

получает форму петли. Можно сделать вывод,

что при наличии значи­ тельного внутреннего дав­ ления более эффективным оказывается усиление обо­ лочки в продольном на­ правлении: в этом случае величины Ыв и Ын оказы­ ваются относительно вы­ ше, чем для оболочек, уси­ ленных в дуговом направ­ лении.

При проектировании подкрепленных оболочек необходимо выбирать рациональное значение параметров, характеризующих подкрепления. Требованию наименьшего веса отвечает оболочка вафельного типа с весьма часто расставленными продольными и кольцевыми ребрами. Конструкция должна быть рассчитана так, чтобы в пределах каждой вмятины было расположено несколько подкрепляющих ребер; лишь тогда критическое напряжение может значительно возрасти по сравне­ нию со случаем неподкрепленной оболочки. Как показывают исследо­ вания, в вафельных оболочках, предназначенных для восприятия осевой сжимающей нагрузки, вес подкреплений целесообразно распределять примерно поровну между кольцевыми и продольными ребрами.

Круговые панели

Цилиндрическая панель при сжатии вдоль образующей. Рассмотрим задачу об устойчивости панели — незамкнутой цилиндрической обо­ лочки — при действии сжимающих усилий р, равномерно распределен­ ных вдоль криволинейных кромок (рис. 21). Через а и Ь обозначены размеры панели по образующей и вдоль дуги. Координату х отсчитывают, вдоль образующей; у — по дуге; К — радиус срединной поверхности. Панель шарнирно оперта по всем кромкам. Решая линейную задачу, исходим из уравнения (21); для рассматриваемого случая оно прини­ мает вид

Выражение для прогиба в соответствии с принятыми граничным условиями представим в виде

где т и п — числа полуволн вдоль образующей и по дуге. Подставляя это выражение в уравнение (122), нахо­ дим

Минимизируя р по ф, находим

Подставляя формулу (126) в равенство (124), определяем верхнее

Такая же формула (43) была получена для замкнутой оболочки, сжатой вдоль образующей. Формула (127) применима только к панели, охватывающей сравнительно большой центральный угол. Для весьма

пологой панели следует в формуле (125) принять л = 1, т = - | - ; при

этом будет ф = 2. Формулы (127), (128) справедливы при условии

т. е. если охватываемый панелью центральный угол отвечает нера­ венству

При меньших значениях угла 0, в случае, если отношение сторон панели оа является целым числом, критическое напряжение будет

нения (34) и (35). Приведем результаты решения нелинейной задачи для шарнирно опертой квадратной панели {а = Ь), полученные в предпо­ ложении, что ненагруженные кромки сближаются свободно, оставаясь прямолинейными. В первом приближении принимаем выражение для прогиба т в виде формулы (123); считаем при этом, что в обоих направ­

кромки лишь в среднем. Далее составляем уравнение Бубнова-Галер- кина

о о

(138) Сюда подставляем выражения для ш, Ф и выполняем интегрирова­