книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Коэффициент Сх берут по графику на рис. 29.

Формулы (194), (195), (198) применимы, если угол а не близок ни

лг

кнулю, ни к - у [в этом предположении получены исходные уравнения

(186)—(188)]. Как показывают эксперименты, этими формулами можно

Впрактических расчетах можно использовать формулы (195) и

(198)для верхнего критического давления; при этом следует вводить поправочные коэффициенты, аналогично тому, как это рекомендова­ лось для цилиндрических оболочек при действии внешнего давления.

Кручение

Приведем результаты решения задачи об устойчивости в малом усе­ ченной, свободно опертой конической оболочки, нагруженной равно­ мерно распределенными по торцовым сечениям сдвигающими усилиями. Координату 5 по-прежнему отсчитываем по образующей от вершины конуса; соответствующие расстояния от вершины до меньшего и боль­ шего оснований обозначим через /0 и /х, длину оболочки по образую­ щей — через /. Сдвигающее усилие на единицу длины контура в пло­

Приближенная формула для критического сдвигающего усилия имеет вид [1]

ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ

Сферические оболочки

Во многих областях техники применяют сферические оболочки

в виде сегментов, закрепленных по краю. Следует различать сегменты

сбольшим углом охвата, стрела подъема Н которых сравнима с радиу­ сом кривизны срединной поверхности К (рис. 32), и пологие панели, для которых Н < Будем рассматривать устойчивость сегментов большого подъема. При потере устойчивости такого сегмента образуются сравнительно мелкие вмятины, и критические нагрузки для него будут темн же, что и для полной сферической оболочки. Поэтому будем опре­ делять критические нагрузки для полной сферической оболочки, на­

ходящейся под действием внешнего равномерного давления 7.

Примем, что в пределах первич­ ной вмятины оболочка является по­ логой. Исходные уравнения линей­ ной задачи имеют вид [1]

Е1г

(212)

Найдем величину дг. Если внешнее давление <7, то нормальные усилия во всех нормальных сечениях оболочки

Сжимающие усилия N и напряжения о считают положительными, тогда

Обозначим через до0 радиальное перемещение всех точек срединной поверхности, соответствующее начальным напряжениям а. Деформа­

ция укорочения вдоль дуги любого нормального сечения будет е =

отсюда находим

(214)

В дальнейшем через до будем обозначать дополнительный прогиб, имеющий место при выпучивании оболочки. Величина в уравне­ ниях (211), (212): дг= —/кту2до. Уравнение (212) принимает вид

О2

— V*® + У2'*' = 0. (215)

Примем, что решение уравнения (215) должно удовлетворять соот­

Далее, по формуле (217) определяем величину верхнего критиче­

Формула (219) для верхнего критического напряжения для сфери­ ческой оболочки в точности совпадает с выражением (43) для верхнего критического напряжения, отвечающим случаю осевого сжатия цилин­ дрической оболочки.

Определяя верхнюю критическую нагрузку, мы не рассматривали форму выпучивания оболочки. Исследование формы изогнутой поверх­ ности, проведенное в линейной постановке, показывает, что в случае, если выпучивание является осесимметричным, потеря устойчивости должна сопровождаться появлением одной сравнительно глубокой вмя­ тины и ряда кольцевых складок, размельчающихся по мере удаления от центра основной вмятины [1].

Реальные сферические оболочки оказываются такими же чувстви­ тельными к начальным несовершенствам в форме срединной поверхно­ сти, как и сжатые вдоль оси цилиндрические оболочки. Выпучивание сферических оболочек, как правило, сопровождается хлопком, и истин­ ные значения критических усилий лежат обычно гораздо ниже значе­ ний, найденных по линейной теории. Как показывают испытания сфери­ ческих сегментов, особенность процесса выпучивания сферических

Найдем выражение для радиального перемещения и точек срединной поверхности. При этом используем следующую формулу для деформации удлинения в кольцевом направлении:

Рассмотрим результаты различных решений нелинейной задачи, основанные на исследовании изменения стрелы прогиба одной вмятины, образующейся в полной сферической оболочке, в зависимости от давле­ ния. Трудность задачи состоит в установлении граничных условий на контуре вмятины, так как остальная часть оболочки также подвергается деформации. В одном из вариантов решения по методу Ритца в качестве первого приближения принималось, что на контуре вмятины (рис. 33) выполняется условие полного защемления:

где с — радиус вмятины. Предполагалось, далее, что по краю вмятины отсутствуют радиальные перемещения:

В полюсе при г -> 0 радиальные напряжения должны быть огра­ ничены по величине; отсюда из формул (226) вытекает четвертое гранич­

зуют метод Ритца: определяют полную энергию системы и полученное выражение для полной энергии варьи­ руют по двум параметрам. В окончательном результате решения нахо­

Полученное значение ан почти в 4 раза меньше верхнего критического напряжения ств.

В результате другого, уточненного решения задачи по методу Ритца нижнее критическое напряжение оказалось

0,193

0,203.

Граничные условия, принятые при получении формулы (234), не вполне соответствуют истинному характеру сопряжения зоны вмя­ тины с остальной частью оболочки: защемление по контуру вмятины надо считать не жестким, а упругим. Решение задачи в таком предполо­ жении по методу Бубнова-Галеркина в первом приближении приводит