книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
.pdfУстойчивость пластинок в пределах упругости |
111 |
стинкн: 1 — защемление по обоим краям; 2 — шарнирное опирание по обоим краям; 8 — защемление по внешнему краю и свободное смеще ние, без поворота, по внутреннему; 4 — шарнирное закрепление по внешнему краю и свободное смещение, без поворота, по внутреннему.
На графики нанесены также числа т узловых диаметров, которым
а
соответствуют наименьшие напряжения при заданном отношении - г - .
о
Для первых двух случаев опираиия пластинки, при а 0 (сплошная
пластинка с подкрепленным центром), число узловых диаметров т = 1. При -^ -> 0 ,1 характер выпучивания различен: защемленная пла
стинка получает тем больше вмятин по окружности, чем больше отно-
а
шение — , шарнирно опертая пластинка выпучивается осесимметрично.
ПЛАСТИНКИ ДРУГИХ ФОРМ
Рассмотрим несколько конкретных случаев расчета пластинок, имеющих форму равностороннего треугольника и параллелограмма.
Если р а в н о с т о р о н н я я т р е у г о л ь н а я п л а с т и н к а , шарнирно опертая по всему контуру, подвергается равно
1
/ \
ттпттпт
Рис. 23
мерному сжатию со всех сторон (рис. 23) [3 ], то критическое напряжение будет
„ |
я *Е |
/ |
К \ 2 |
, . 0, |
°кр ~ 4 |
12 (1 — V2) |
( |
а ) |
(48* |
Для пластинки, имеющей форму п а р а л л е л о г р а м м а , |
шар |
|||
нирно опертой' по всем кромкам и равномерно сжатой в направлении,
параллельном двум сторонам |
(рис. |
24), |
имеем |
[4] |
|
|
с = Ь 5Ш *р; |
&— а 5ш <р. |
|
||||
Меньшую из величин с и й обозначим через /. Тогда |
|
|||||
„ |
п2Е |
( |
к |
\2 |
|
|
Чк р - К |
12 (1 — Vя) |
\ |
{ |
) |
*49) |
|
Значения коэффициента К приведены в табл. 11.
112 |
|
У с т о й ч и во ст ь |
п л а с т и н о к |
|
|
||
|
11. |
Значения |
коэффициента К в |
формуле |
(49) |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
ф° |
|
|
|
~Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
V* |
8/, |
1 |
2 |
3 |
00 |
90 |
1 |
1,56 |
2,08 |
4,0 |
4,00 |
4,0 |
4,0 |
60 |
1,31 |
1,95 |
2,60 |
4,99 |
4,54 |
4,13 |
4,0 |
45 |
1,86 |
2,48 |
3,20 |
5,96 |
5,0 |
4,25 |
4,0 |
30 |
2,71 |
3,28 |
3,90 |
6,68 |
5,30 |
4,35 |
4,0 |
В случае действия касательных усилий, равномерно распределен ных по всем кромкам, на приведенную выше пластинку, следует разли чать положительный сдвиг (рис. 25, а) и отрицательный сдвиг (рис. 25, б).
Критическое напряжение
|
|
„ |
л2Е |
( к |
|
|
*кр |
^ 1 2 ( 1 |
— V3)' \ ~ Г ) |
(50) |
|
Значения коэффициента К принимают по табл. 12. |
|||||
|
12. Значения |
коэффициента |
К в формуле |
(50) |
|
Ь |
|
|
|
<Р° |
|
а |
90 |
75 |
со |
45 |
30 |
|
|||||
1,0 |
9,34 |
13,78 |
20,58 |
31,9 |
53,5 |
9,34 |
6,64 |
4,74 |
3,58 |
2,46 |
|
0,7 |
7,26 |
10,6 |
15,52 |
23,8 |
39,7 |
7,26 |
5,25 |
3,79 |
2,69 |
1,78 |
|
0,4 |
6,19 |
9,9 |
12,70 |
18.91 |
30,65 |
6,19 |
4,30 |
3,21 |
2,17 |
1,37 |
|
0 |
5,35 |
7,61 |
10,9 |
16,1 |
25,9 |
5,35 |
3,78 |
2,63 |
1,79 |
1,11 |
|
П р |
и м е ч а н и е . В числителе указаны значения коэффициен |
та К при |
положительном сдвиге, в знаменахеле — при отрицательном. |
Прямоугольные пластинки за пределами упругости |
113 |
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНКИ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
Приводимые ниже соотношения и формулы применяют в случаях, когда интенсивность напряжений
а1 = }/Г°2х — <*хау + |
+ Зт3 |
(51) |
превосходит предел пропорциональности материала |
|
|
а/ > Опц. |
|
(52) |
В зависимости оттого, какая теория пластичности положена в основу
исследования, |
различают несколько методов расчета на устойчивость |
за пределами |
упругости. |
1. Метод, основанный на применении теории малых упруго-пла стических деформации (теории деформаций) с учетом эффекта раз грузки. Применение теории деформаций равнозначно рассмотрению пластинки в пластической стадии как нелинейно-упругого тела. Теория деформаций без учета эффекта разгрузки в случае сжатого стержня сводится к теории «двух модулей».
2. Расчет по теории деформаций без учета эффекта разгрузки. В применении к стержням этот метод соответствует случаю, когда имеет место возрастание сжимающей нагрузки при выпучивании стержня (расчет сжатых стержней по касательно-модульной нагрузке).
3. Применение теории течения, устанавливающей зависимости между напряжениями и приращениями пластических деформаций (скоростями изменения деформаций).
Значения критических напряжений, определяемые в имеющихся решениях по теории деформаций, лежат ближе к экспериментальным данным, чем вычисленные по теории течения.
Ниже приведены расчетные данные, полученные по теории деформа ций без учета эффекта разгрузки. Входящие в эти формулы величины Фс1 Ф/с, * и г определяют по диаграмме, связывающей интенсивность напряжений о/ с интенсивностью деформаций щ. Для случая плоского напряженного состояния будет
| / е ’ + е хеу + е’ + ^ - у 2. |
(53) |
Если считать коэффициент Пуассона V = 0,5, то диаграмма <т* (Е/) совпадает с диаграммой а (е), полученной для одноосного растяжения (или сжатия) образцов из данного материала. Обозначим через Ес секущий модуль, Ек — касательный модуль, Т — приведенный модуль. Тогда с учетом указанного выше допущения имеем
____ 4ЕЕК____
(54)
114 |
У с т о й ч и во с т ь п л а с т и н о к |
Величины <рС| ф*, |
/ и г буду г |
(56) Значения расчетных параметров фс, Ф«, ( и г, соответствующие при
мерной диаграмме а (г) |
для дуралюмина Д16Т (Б = 7,5- 10в дан!см2; |
|
оПи — 2000 дан/см2), приведены в табл. |
13, а для стали Ст.З (Е = |
|
= 2,1 • 10е дан!см2, оПц = |
2000 дан!см2, сТ = |
2400 дан!см2) — в табл. 14. |
Выразим критическое напряжение акр в упруго-пластической об ласти через критическое напряжение окр, э. определяемое по известным формулам и графикам, относящимся к упругой области, и поправочный коэффициент к):
Окр = 1\окр. э. |
<57) |
Аналогично для касательных напряжений
^кр — Лткр. э |
(58) |
Значение коэффициента 1) находят по формулам табл. 15 [1]. Формулы, приведенные в табл. 15, относящиеся к случаям сжатия
удлиненных пластинок, в практических расчетах можно использовать и для пластинок с иным отношением сторон.
Зависимости |
для сжатых в одном направлении пластИ' |
нок из дуралюмина Д16Т при различных граничных условиях показана на рис. 26. Аналогичные графики для пластинок из стали Ст.З даны на рис. 27; штриховыми линиями нанесены участки, лежащие выше предела текучести. В практических расчетах для этих участков можно принять
Окр~ °т-
|
Прямоугольные пластинки за пределами упругости |
115 |
||||||
|
13. Расчетные параметры для дуралюмина Д16Т |
|
||||||
о |
“ I |
и |
и |
? 5 |
% |
|
1 |
|
|
»• |
|
|
|
|
|
|
|
0) |
0<Т5 |
«и! |
Л |
|
|
|
|
|
2,67 |
2000 |
7,5 |
7.5 |
7.50 |
1 |
1 |
1 |
0 |
3.0 |
2200 |
7,33 |
5,96 |
6,65 |
0,98 |
0,79 |
0,88 |
0,01 |
3.5 |
2460 |
7.03 |
4,34 |
5.50 |
0,94 |
0,58 |
0,73 |
0,03 |
4.0 |
2640 |
6,55 |
3,72 |
4,97 |
0,87 |
0,50 |
0,66 |
0,067 |
4.5 |
2780 |
6,18 |
2,55 |
3,81 |
0,82 |
0,34 |
0,51 |
0,10 |
5.0 |
2900 |
5,80 |
2.05 |
3,22 |
0,77 |
0,27 |
0,43 |
0,13 |
6.0 |
3080 |
5,13 |
1,50 |
2.50 |
0,68 |
0,20 |
0,33 |
0,19 |
7.0 |
3200 |
4,57 |
1,17 |
2,03 |
0,61 |
0,16 |
0,27 |
0,24 |
8.0 |
3320 |
4,15 |
0,97 |
1,72 |
0,55 |
0,13 |
0,23 |
0,29 |
9,0 |
3400 |
3,78 |
0,82 |
1.48 |
0,49 |
0,11 |
0,20 |
0,33 |
10,0 |
3450 |
3,48 |
0,82 |
1.48 |
0,46 |
0,11 |
0,20 |
0,35 |
11,0 |
3560 |
3,24 |
0,82 |
1.48 |
0,43 |
0,11 |
0,20 |
0,38 |
12,0 |
3640 |
3.03 |
0,82 |
1.48 |
0,40 |
0,11 |
0,20 |
0,40 |
3
О
со Ь'Ъ
14. Расчетные параметры дл? стали Ст.З
сЕ-1° 0 адн / с м 2 |
со |
2 * |
|
|
н |
|
( |
||
|
© 3 |
Т 5 |
<Рс |
|
|
|
|
|
0,95 |
2000 |
2,10 |
2,10 |
2,10 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1,0 |
2100 |
2,08 |
1,42 |
1,72 |
0,99 |
0,68 |
0,82 |
0,005 |
1.1 |
2200 |
2,00 |
0,99 |
1,39 |
0,95 |
0,47 |
0,66 |
0,025 |
1.2 |
2280 |
1,90 |
0,67 |
1,05 |
0,90 |
0,32 |
0,50 |
0,052 |
1,3 |
2340 |
1,80 |
0,46 |
0,85 |
0,86 |
0,22 |
0,41 |
0,075 |
1.4 |
2380 |
1,70 |
0,26 |
0,54 |
0,81 |
0,12 |
0,26 |
0,11 |
1,5 |
2390 |
1,60 |
0,13 |
0,33 |
0,76 |
0,062 |
0,16 |
0,15 |
1,6 |
2400 |
1,50 |
0,06 |
0,19 |
0,71 |
0,029 |
0,094 |
0,19 |
1.8 |
2400 |
1,33 |
0 |
0 |
0,63 |
0 |
0 |
0,33 |
2,0 |
2400 |
1,20 |
0 |
0 |
0,57 |
0 |
0 |
0,43 |
2,5 |
2400 |
0,96 |
0 |
0 |
0,46 |
0 |
0 |
0,54 |
3,0 |
2400 |
0,80 |
0 |
0 |
0,38 |
0 |
0 |
0,62 |
3,5 |
2400 |
0,69 |
0 |
0 |
0,33 |
0 |
0 |
0,68 |
4,0 |
2400 |
0,60 |
0 |
0 |
0,25 |
0 |
0 |
0,71 |
4,5 |
2410 |
0,54 |
0,02 |
0,07 |
0,26 |
0,010 |
0,033 |
0,61 |
5,0 |
2420 |
0,48 |
0,04 |
0,13 |
0,23 |
0,019 |
0,062 |
0,60 |
6,0 |
2470 |
0,41 |
0,05 |
0,15 |
0,20 |
0,024 |
0,071 |
0,63 |
7,0 |
2520 |
0,36 |
0,05 |
0,15 |
0,17 |
0,024 |
0,071 |
0,65 |
8,0 |
2575 |
0,32 |
0 05 |
0,15 |
0,15 |
0,024 |
0,071 |
0,68 |
9,0 |
2630 |
0,29 |
О;05 |
0,15 |
0,14 |
0,024 |
0,071 |
0,70 |
10,0 |
2685 |
0,27 |
0,05 |
0,15 |
0,13 |
0,024 |
0,071 |
0,71 |
П.О |
2740 |
0,25 |
0,05 |
0,15 |
0,12 |
0,024 |
0,071 |
0,73 |
12,0 |
2800 |
0,23 |
0,05 |
0,15 |
0,11 |
0,024 |
0,071 |
0,74 |
15. Значения коэффицментоп г) п формулах (57) и (58)
пластинок Устойчивость
Устойчивость пластинок при высоких температурах |
117 |
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК ПРИ в ы с о к и х ТЕМПЕРАТУРАХ
Общие сведения
Расчет упругих систем на устойчивость при повышенных температурах важен прежде всего для авиационных конструкций. Аэродинами ческий нагрев обшивки летательных аппаратов, имеющих сверхзвуко вую скорость полета, приводит к неравномерному распределению температур в конструкции; появляющиеся при этом термические сжи мающие напряжения могут вызвать потерю устойчивости элементов обшивки.
Данные о закритической деформации пластинок при наличии темпе ратурных воздействий необходимы для определения влияния высоких температур на редукционные коэффициенты, а также для учета влияния волнообразования обшивки на аэродинамические характеристики кон струкции.
При высоких температурах проявляется ползучесть конструк ционных материалов, и это приводит к потере устойчивости сжатых элемеЕпов конструкции при напряжениях, лежащих ниже крити ческих.
Приведем некоторые данные, относящиеся к поведению пластинок при высоких температурах.
Пластинки в неравномерном температурном поле
Основные уравнения теории гибких пластинок приведены в гл. 17 т. 1. Дополним эти соотношения в предположении, что температура изменяется как в срединной поверхности, так и по толщине пла стинки.
Деформация |
на расстоянии |
г от срединной поверхности будет |
|
|
= -^Г) (4г) - |
^ Ч Ч + “<°<г). |
(59) |
где а^2), а^2) — напряжения в этом слое пластинки; I (2) — темпера тура в °С в этом слое; а — коэффициент линейного расширения мате риала.
Значения модуля упругости Е{2) и коэффициента Пуассона V*2) будем считать постоянными по толщине пластинки и равными значе ниям Е й V, соответствующим температуре срединного слоя. Учитывая соотношение
|
4 г , =< |
|
~с№~’ |
(60) |
|
|
|
||
где е х |
— деформация в срединной |
поверхности, вместо |
равенства (59) |
|
можем |
написать |
|
|
|
|
д*ш |
(г) |
— VО^г ,) |
(61) |
|
вл ~ г дх8 |
х |
||
118 |
У ст о й ч и во ст ь |
п л а с т и н о к |
|
Аналогично |
получаем зависимость |
|
|
еу ~ г 1% Г'= - Г ( ° Г |
~ ^ г>) + а,0<г>- |
(62) |
|
|
|||
Умножим все члены выражений (61) и (62) на г и проинтегрируем по толщине пластинки; из получившихся при этом соотношений найдем изгибающие моменты
|
|
д2ш |
1 |
|
|
|
12(1 — V) а0; |
(63) |
|
|
|
дх2 |
|
V |
) |
||||
|
|
а2ш |
I |
V |
|
' |
ЕН2 |
а 0; |
(64) |
|
|
ду2 |
^ |
|
а*» >) + |
12(1 — V) |
|
||
здесь |
0 — приведенная |
величина |
«температурного момента», |
|
|||||
|
|
- |
1 |
|
1 |
* » .* . |
|
(65) |
|
Вместо дифференциального уравнения (14) |
[см. т. 1 гл. 18] |
получим |
|||||||
|
— у 4а> = |
Ь (к>,Ф) - |
|
|
ЕНа |
|
(66) |
||
|
|
12(1 — V) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где у 4 = VйV3! причем у 2 |
аз |
|
, |
а3 |
|
|
|
||
а*2 + |
ду2* |
|
|
|
|||||
В |
уравнение совместности |
деформаций |
[см. т. 1 |
гл. 18 |
уравне |
||||
ние (12) ] подставим следующие выражения для деформаций в срединной поверхности, вытекающие из зависимостей (61) и (62):
** = -]Г (Ох — чоу) + о.Т\
(67)
ьу = (оу — усг*) + аТ,
где Ох и оу — напряжения в срединной поверхности, а величина
Г = -± - | И»йж. |
(68) |
_н_
2
Тогда придем к следующему уравнению [1 ]:
-1 - у 4ф |
-----(ш, |
— а у 2Г. |
(69) |
Устойчивость пластинок при высоких температурах |
119 |
С помощью уравнений (66) и (69) решают задачи о закритическом термическом выпучивании пластинок. Если считать т = 0, то урав нение (69) принимает вид
4 - у 4Ф = — ау 27\ |
(70) |
Приведем результаты решения задачи о выпучивании подкрепленной пластинки (рис. 28) при неравномерном нагреве [1 ]. Пластинка шар нирно скреплена по краям с жесткими на изгиб ребрами, при этом
края не смещаются ни в плоскости пластинки, ни в поперечном направ лении. Температура вдоль осей х и у изменяется по закону
г - п + Г ф - ( ^ ) ’ ] [ , _ ( * - > ) • ]
и по толщине пластинки является постоянной. Требуется определить критические значения величин Т 0 и Г1( при которых произойдет выпу чивание пластинки.
Решение уравнения (70) принимают в виде |
|
Ф = ^ Л'«С05 |
Вп соз - П*у -+ |
гл |
п |
+ 2 |
2 ^ 0 0 3 ^ 0 0 ^ - |
С71) |
т |
п |
|
здесь рх и р у — сжимающие напряжения вдоль х и у\ |
чины |
|
определяют из заданных граничных условий. |
|
|
Для решения задачи используют метод Ритца, причем выражение
для прогиба выбирают в виде |
|
|
|
|
Ю = |
с |
пшх |
лл// |
(72) |
2 Ъ 1тя 5,п ~ г 5Ш~т~ • |
||||
120 |
Устойчивость пластинок |
Далее минимизируют полную энергию системы по ртп и получают систему линейных уравнений относительно / пт• Для нахождения кри тических условий определитель этой системы приравнивают нулю. Результаты решения, полученного с учетом четырех членов ряда при V=0132, показаны на рис. 29. По оси ординат отложены значения коэффициента кТ\ критический перепад температур Тг, кр выражается через величину ктформулой
|
^ 1 , к р — 1 — V2* |
|
|
|
|
(73) |
Штриховые |
линии соответствуют результатам |
приближенного ре |
||||
шения, в котором температура принята равномерной и |
равной неко |
|||||
торому среднему значению между Т 0 |
и |
Тг. Графики |
|
показывают, |
||
гр |
о |
|
|
|
|
|
что при -=г- < 2 эффект неравномерного |
распределения |
температур |
||||
‘ 1 |
|
|
|
т |
|
|
является существенным, в то время как |
при |
2 |
результаты |
|||
уточненного и |
приближенного решений |
совпадают. |
|
|
||
Если деформация пластинки является менее стесненной (случай упругих подкрепляющих ребер), влияние неравномерности темпе ратурного поля будет еще более значительным.
Выпучивание пластинок при ползучести
Диаграмма прогиб — время, характерная для пластинки с началь ной погибью при ползучести, показана на рис. 30.
Прогибы пластинки сначала увеличиваются ускоренно, затем скорость возрастания прогибов падает. Особенность выпучивания
что при прогибах, сравнимых с толщиной пластинки, сказывается эффект цепных напряжений.
Для идеальных пластинок и оболочек предложена в качестве кри терия выпучивания при ползучести критическая деформация. Например,