книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Закритическая деформация подкрепленных пластинок

Подкрепленные пластинки, подвергающиеся сжатию. Редукционные коэффициенты. Для пластинки, подкрепленной по краям достаточно жесткими ребрами и подвергающейся сжатию, потеря устойчивости не означает потери несущей способности: пластинка и после выпучива­ ния продолжает воспринимать возрастающую нагрузку. В послекритической стадии нагру­ жения происходит углубление выпучин, при­ чем прогибы становятся сравнимыми с тол­ щиной; поэтому исследование закритнческой деформации пластинок должно быть прове­ дено на основе уравнений теории гибких пла­ стинок [см. т. 1, гл. 18, уравнения (17), (18)].

При продолжающемся сжатии после потерн устойчивости напряжения по ширине пла­

стинки распределяются неравномерно: возрастающая нагрузка воспри­

{де Ь — ширина пластинки; Н— толщина; ор — напряжение в краевом волокне пластинки.

Редукционный коэффициент равен отношению приведенной ши­ рины Ьпр к ширине пластинки Ь:

(28)

причем Ьпр — суммарная ширина краевых полос, которые условно считают работающими совместно с подкрепляющими ребрами.

Если известно выражение для напряжения ох о произвольной точке пластинки по ширине, то среднее напряжение о по ширине будет

ь

и

и нагрузка, передающаяся пластинке, определится через среднее на­ пряжение в виде

Сравнивая выражения (27) и (30), получим

Следовательно, редукционный коэффициент равен отношению сред­ него напряжения по ширине пластинки к напряжению в краевом волокне.

Т. Карман получил простую формулу для редукционного коэффи­ циента, исходя из следующих рассуждений. Представим себе «приведен­ ную пластинку» шириной Ъпр, полученную в результате сочленения «работающих» краевых полос. Считая, что нормальные напряжения равномерно распределены по ширине Ьпр, имеем критическое значе­ ние ор для приведенной пластинки:

Для квадратной пластинки, защемленной по краям при свободно

смещающихся продольных кромках, редукционный коэффициент опре­ деляют по формуле

В случае, если удлиненная пластинка (а > Ь) подвергается по всем

чивости пластинки происходит как бы гоф­ рирование пластинки по направлению глав­ ного сжимающего напряжения. Если края

пластинки остаются в первоначальной плоскости, то и здесь выпучи­ вание ведет к образованию напряжений в срединной поверхности. В слу­ чае сдвига волокна пластинки, параллельные складкам, могут нести значительные растягивающие усилия, передающиеся на продольные

ребра. Реакции от продольных ребер воспринимают, в свою очередь, поперечные элементы; последние оказываются сжатыми. Следовательно, создается система наклонных растягивающих усилий, уравновешенных реакциями поперечных ребер (стоек). Такая упрощенная модель распре­ деления напряжений в срединной поверхности и напряжений изгиба носит название модели диагонально растянутого поля.

Указанный подход к задаче приводит к следующей формуле для растягивающего напряжения [1 ]:

где а — угол между направлением складок и длинной стороной пла­ стинки. Угол а близок к 40°. Сжимающими напряжениями а 2 можно пренебречь.

К в а д р а т н а я п л а с т и н к а с о с т о р о н о й а, ш а р ­ н и р н о о п е р т а я по к р а я м , и с п ы т ы в а е т д е й с т в и е

тельно развитой закритической деформации пластинки. В случае, если критическое напряжение сдвига превышено незначительно, ис­ следование должно основываться на теории гибких пластинок. Ре­ зультаты решения задачи, основанного на теории гибких пластинок и выполненного с помощью электронной цифровой машины, приведены на рис. 18 [1 ]. Здесь принят параметр нагрузки

—_ иив

При потере устойчивости круглых пластинок могут иметь место случаи осесимметричного и несимметричного выпучивания. При осе­ симметричном выпучивании срединная поверхность пластинки пере­ ходит в поверхность вращения. Несимметричная форма потери устой­ чивости возникает, например, в случае подкрепленной пластинки при радиальном сжатии, либо пластинки, воспринимающей поперечное давление и имеЕощей большие прогибы [1 ]; в последнем случае при достаточно больших прогибах у контура пластинки появляются зна­ чительные сжимающие напряжения, что и ведет к потере устойчивости. При несимметричном выпучивании образуется ряд вмятин как в радиаль­ ном, так и в окружном направлениях.

При исследовании осесимметричной деформации сплошной пла­ стинки исходят из дифференциального уравнения

здесь О — цилиндрическая жесткость пластинки; 0 = — ; ад —

прогиб; г — радиальная координата; Н— толщина пластинки.

Если интенсивность радиальных сжимающих усилий, равномерно распределенных по контуру пластинки, равна р, то в уравнении (44) следует принять <тг — —р.

В случае кольцевой пластинки и осевой симметрии изогнутой по­ верхности дифференциальное уравнение имеет вид

Ниже приведены решения отдельных задач.

К р у г л а я п л а с т и н к а ш а р ­ н и р н о з а к р е п л е н а по к о н т у ­ р у и п о д в е р г а е т с я д е й с т в и ю р а д и а л ь н ы х с ж и м а ю щ и х у с и ­ л ий р, равномерно распределенных вдоль контура.

и,

Р и с . 20

При шарнирном закреплении краев (рис. 19) и защемлении (рис. 20) по контуру критическое напряжение будет

Для случая, показанного на рис. 19, К = 4,2; для случая на рис. 20

н о м е р н о р а с п р е д е л е н н ы м и п о в н у т р е н н е м у и