книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
.pdfУпругие стержни на жестких опорах |
21 |
Одновременное действие сосредоточенных и распределенных сжимаю щих сил. Если к правым концам стержней в табл. 7 приложены дополнительные силы Р (на рисунках они не показаны), то значе ния Ркр определяются формулой (11) в зависимости от параметра л, представляющего собой отношение нагрузки ц1 к эйлеровому значе нию критической силы для данного стержня. Для схемы 1
( 18)
для схемы 2
„ = (?/ |
. |
(17) |
При больших значениях параметра п коэффициент г) может оказаться отрицательным. Это значит, что для устойчивости равновесия необхо дима растягивающая продольная сила Р.
7. Значения коэффициента т) в формуле (II)
А |
1 |
* |
2 |
|
|
|
\и --------- 1 |
*- |
* |
||||
|
« _________ 1_;__~ ^ |
|
||||
0 |
9,87 |
|
2,47 |
|
|
|
0,25 |
8,62 |
|
2,28 |
|
|
|
0,50 |
7,40 |
|
2,08 |
|
|
|
0,75 |
6,08 |
|
1,91 |
|
|
|
1,00 |
4,77 |
|
1,72 |
|
|
|
2,00 |
-0 ,6 6 |
|
0,96 |
|
|
|
3,00 |
— 4,94 |
|
0,15 |
|
|
|
4,00 |
— 9,87 |
|
— 0,69 |
|
|
|
5,00 |
— 14,80 |
|
—1,56 |
|
|
Стержни со ступенчатым изменением жесткости
Значения коэффициента т) для определения критической силы по формуле (11) в случае нагружения однопролетных стержней (рис. 2) приведены в табл. 8 и 9.
АЛ
га
а)
Рис. 2
Для консольного стержня, изображенного на рис. 3, критическая сила может быть определена по приближенной формуле
п аД/ |
Г/ — 6 |
|
У - Ь ) |
(18) |
Рпр = /2 |
Ч I |
+ |
I |
|
4 |
|
|
2 2 |
|
Устойчивость стержней |
|
|||||
6. Значения |
коэффициента |
11 |
для |
стержня; |
показанного на рис. 2, а |
|||
: ./ |
|
|
|
|
Т1 при а : 1 |
|
|
|
0,2 |
; |
о,4 |
|
0,6 |
| |
0,8 |
1,0 |
|
|
|
|||||||
0,01 |
0,153 |
0,270 |
0,598 |
|
2,26 |
я 4 |
||
0,10 |
1,47 |
2,40 |
|
4,50 |
|
8,59 |
я* |
|
0,20 |
2,80 |
4,22 |
|
6,69 |
|
9,33 |
я4 |
|
0,40 |
5,09 |
6,68 |
|
8,51 |
|
9,67 |
я4 |
|
0,60 |
6,98 |
8,19 |
|
9,24 |
|
9,78 |
я4 |
|
0,80 |
8,55 |
9,18 |
|
9,63 |
|
9,84 |
я4 |
|
1,00 |
Я4 |
|
Я» |
|
я* |
|
я4 |
|
9. Значения |
коэффициента 11 |
для |
стержня, |
показанного на рис. 2, б |
||||
3%'^ |
|
|
|
|
11 при сг:1 |
|
|
|
0,2 |
|
0,4 |
|
0,6 |
|
0,8 |
1,0 |
|
|
|
|
|
|||||
0,01 |
0,614 |
|
1,08 |
|
2,39 |
|
8,48 |
4Я4 |
0,10 |
5,87 |
|
9,48 |
|
15,5 |
|
17,1 |
4Л4 |
0,20 |
11,1 |
16,3 |
|
20,5 |
|
21,1 |
4Я4 |
|
0,40 |
20,2 |
24,9 |
|
26,3 |
|
27,5 |
4 я4 |
|
0,60 |
27,7 |
30,6 |
|
31,1 |
|
32,5 |
4я* |
|
0,80 |
34,0 |
35,3 |
|
35,4 |
|
36,4 |
4я* |
|
1 |
4Я* |
|
4я2 |
|
4Л8 |
|
4Л1 |
4Л2 |
(схема а) и по приближенной формуле |
|
|
|
|||||
_|ЛЕ/1.[7 |
|
|
(1-Ьг)Л( |
|
А - А |
(1-Ьй)*\ |
||
|
|
а ------------ё ~ ) |
\ — |
Т*---------- г*— / |
||||
(схема б). |
|
|
|
|
|
|
|
|
В табл. 10 и 11 даны значения коэффициента г) для |
двухопорных |
|||||||
стержней со ступенчатым изменением жесткости |
при продольной сжи- |
||||||
4 |
1 |
р |
| |
4 |
Л |
Зп |
Р |
|
|
||||||
-ь— |
4 |
|
|
— ьг~ 4 |
|
- |
|
7 |
* |
|
|
А |
|
|
|
|
а) |
|
|
яг , |
|
|
|
|
|
|
1- ------------V |
I |
|
|
|
б)
Рис. 3
мающей нагрузке, изменяющейся вдоль оси стержня по линейному за
кону симметрично относительно середины пролета. Критическую на грузку определяют по формуле
(20)
|
|
Упругие стержни на жестких опорах |
|
23 |
||||||
|
10. Значения коэффициента Т] |
|
II. Значения коэффициента Т) |
|||||||
|
для стержня, показанного |
|
для стержня показанного |
|||||||
|
на рис. 4, д |
|
|
|
на |
рис. 4, б |
|
|||
|
Число участков с различными |
^x |
Число участков |
|||||||
|
моментами инерции |
|
с различными момен |
|||||||
|
|
|
|
|
|
У |
|
тами инерции |
||
|
2 |
3 |
4 |
5 |
10 |
2 |
| |
3 |
4 |
|
|
|
|||||||||
0,2 |
5.20 |
6,32 |
6.48 |
7,32 |
7,40 |
0.2 |
18,1 |
21,8 |
22,8 |
|
0.4 |
9,88 |
10,9 |
11,1 |
Н.2 |
11,2 |
о; 4 |
31,2 |
34,2 |
34.3 |
|
0,6 |
14,0 |
14.6 |
14.7 |
14,76 |
14,8 |
0,6 |
41,0 |
42.4 |
42.4 |
|
0,8 |
17.4 |
17.8 |
17.8 |
17,9 |
18,0 |
0,8 |
49,4 |
49.5 |
49.5 |
|
1.0 |
20,5 |
20,5 |
20,5 |
20,5 |
20,5 |
1,0 |
54,8 |
54,8 |
54,8 |
|
В |
таблицах |
через |
^ и |
^ 1 обозначены |
соответственно |
наибольшее |
||||
и наименьшее значения момента инерции поперечного сечения. При нято, что в пределах пролета имеется несколько участков равной длины, причем разности между моментами инерции двух соседних участков одинаковы.
Стержни с непрерывным изменением жесткости
В случаях непрерывного измене ния жесткости поперечных сечений стержня основное дифференциаль ное уравнение (1) становится урав нением с переменными коэффициен тами. При этом интегрируемые в зам кнутой форме случаи составляют редкое исключение (см. ниже табл. 12 и далее); как правило, для опреде
ления критических нагрузок приходится пользоваться приближенными способами. Из таких способов особенно часто применяют энергетиче ский метод.
Согласно энергетическому методу критическое состояние опреде ляется равенством У — XV = 0, в котором У — потенциальная энергия изгиба, соответствующая изогнутой форме оси стержня; № — работа заданных внешних сжимающих сил на перемещениях, определяющих переход из основной формы равновесия в смежную (возмущенную) форму равновесия. Для однопролетного стержня выражения У и №
имеют вид
I
причем функцией V = V (г), определяющей изогнутую форму оси стержня, задаются заранее с учетом тех или иных конкретных гранич ных условий.
24 |
Устойчивость стержней |
В простейшем варианте энергетического метода (метод Рэлея) форма изгиба задается с точностью до одного неопределенного пара метра, представляющего собой масштаб кривой (значение этого пара метра несущественно для окончательных результатов); соответственно формула Рэлея имеет вид
Р к р |
(23) |
Пример 4. Определим критическую силу для однопролетного шарнирно опертого сжатого стержня, поперечное сечение которого имеет переменный момент инерции
(У0 — момент инерции среднего сечения стержня). Принимая о качестве кривой изгиба функцию
Г I пг
» - М 1" — ,
удовлетворяющую граничным условиям задачи (/ — неопределенный пара метр), находим числитель формулы (23)
3/■ 1
и знаменатель той же формулы
I
|
, |
Л |
яг \2 |
йг = |
я* |
Г'\ |
[ |
— |
СОВ ' > |
4/ |
|||
I* |
|
|
|
|
|
|
отсюда находим критическую силу
Р3/2 •
Вместо выражения (21) для определения потенциальной энергии можно воспользоваться выражением
и = |
1 |
[ М Ы г |
(24) |
|
2 |
^ |
Е^ |
||
|
|
о |
|
|
(способ Тимошенко). Для однопролетного стержня, нагруженного на конце сжимающей силой Р,
М= — Р у,
иформула Тимошенко принимает вид
Упругие стержни на жестких опорах |
25 |
Пример б. Определим критическую силу для условий предыдущего при мера с помощью формулы Тимошенко.
Числитель в формуле (25)
оК |
с л |
С05 |
Лг \2 |
<1г |
= |
я8/3 |
I — |
1 ) |
2/ ' |
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Знаменатель в той же формуле находим в виде
I
2//а .
йг = яЕ^0 *
отсюда находим критическую силу
Важное значение имеет теорема Рэлея, согласно которой полученные по формулам (23) или (25) результаты всегда выше истинного значения критической силы (при условии, что принятая форма изгиба удовлетво ряет всем геометрическим граничным условиям задачи). Поэтому из нескольких результатов, полученных путем использования различных функций V (г), ближе к истинному наименьший. Метод Ритца дает возможность получать уточненные решения с любой желательной сте пенью точности. Согласно этому методу кривую изгиба оси стержня задают в виде суммы ряда функций, каждая из которых удовлетворяет всем граничным условиям задачи, и вводят в выражение изогнутой оси с неопределенным множителем
о = № 1 (г) + |
(г) Н------+ /л^л (г). |
(26) |
Выражение (26) подставляют в формулу полной потенциальной энергии стержня
и уравнение для определения критической силы получают из условий
дЭ |
дЭ |
(28) |
0; |
0. |
|
дк |
дГп |
|
Пример 6. Определим методом Ритца критическую силу для консольного стержня постоянного сечения, нагруженного на свободном конце сжимаю щей силой (пример поясняет применение метода Рнтца, которым можно поль зоваться н в случае переменного сечения).
Задаемся формой изгиба оси
о =
Независимо от значений параметров и (2 каждый из членов этого выра
жения удовлетворяет геометрическим |
граничным |
условиям, т. е. условиям |
на защемленном конце |
0 при 2 = |
0. |
о = 0, х/ = |
Составляем выражение полной энергии (27):
э = 2 е л (/; + 4и ы * +-^- |
{ ± /; +4 ы . + 4 /*/■). |
26 |
Устойчивость стержней |
Образуя затем обе частные производные -щ— н -щ— и приравнивая их нулю, придем к следующей однородной системе двух .алгебраических уравне
ний относительно параметров |
и |
Для того чтобы оба параметра одновременно не обращались в нуль, необ ходимо, чтобы нулю равнялся определитель, составленный из'коэффициентов полученной системы:
Е ^ - |
Р1г |
2ЕЛ* — |
2Р11 |
|
|
|
3 |
|
Б |
0. |
|
Е ^ - |
Р12 |
18 ЕЛ* |
2Р1* |
||
|
|||||
|
5 |
|
7 |
|
Развертывая этот определитель, приходим к квадратному уравнению для критической силы
Наименьший корень этого уравнения
= 2,50 Iя
всего на 1,2% отличается от известного точного значения критической силы. При учете трех членов ряда
V= / 12>+ Тгг* + Л»г°
ошибка оказывается равной всего 0,4%.
Для определения критической нагрузки можно также использо вать интегральные уравнения, приведенные в работе [1].
Ниже приведены некоторые частные результаты, полученные путем точного интегрирования дифференциального уравнения задачи.
В табл. 12—16 приведены значения коэффициента т] Для определения критической силы по формуле (И) для стержней переменной жесткости,
которая изменяется вдоль оси по |
закону |
|
^ (г) = / 0 |
(а + Ьг)п. |
(29) |
В таблицах обозначено: ^ — наибольший момент инерции попереч ного сечения; — наименьший момент инерции поперечного сечения. Оба момента инерции определяют относительно оси, перпендикулярной к плоскости потери устойчивости.
Показатель степени п принят равным целым числам.
Случай п = 1 соответствует сплошному |
стержню прямоугольного |
||
поперечного сечения |
постоянной |
высоты; |
ширина сечения меняется |
по линейному закону. |
Случай я = |
2 с достаточной точностью соответ |
|
ствует пирамидальному стержню, составленному из четырех угловых поясов, соединенных решеткой (или обшитых тонкими листами). Случай
п= 3 соответствует стержню прямоугольного сечения постоянной ширины, когда высота сечения меняется по линейному закону. Случай
п= 4 соответствует сплошному пирамидальному (коническому) стержню.
|
|
Упругие стержни на жестких опорах |
|
27 |
|||||||
|
|
|
|
12. |
Значения |
коэффициента |
т] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Показатель степени п |
||||
|
|
Схема |
|
|
|
|
|
в формуле (29) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
1 4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
3,07 |
0,25 |
|
__ |
— |
ч-ь |
|
|
|
|
0,1 |
4,67 |
3,59 |
|
3,24 |
3,12 |
|
Шарнирно опертый |
0,2 |
5,41 |
4,73 |
|
4,52 |
4,41 |
|||||
1 |
4 |
0,4 |
6,78 |
6,39 |
|
6,28 |
6,24 |
||||
стержень, состоящий |
|
||||||||||
1 |
-1 |
из одного |
участка |
0,6 |
7,78 |
7,70 |
|
7,64 |
7,64 |
||
1и |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0,8 |
8,85 |
8,83 |
|
8,83 |
8,83 |
||
|
|
|
|
|
|
1,0 |
я 2 |
я 2 |
|
я 2 |
я* |
ч |
|
|
|
|
|
0,1 |
_ |
14,39 |
|
13,70 |
13,30 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г |
Стержень, |
симметрич |
0,2 |
20,35 |
18,93 |
|
18,49 |
18,23 |
|||
|
0,4 |
26,16 |
25,54 |
|
25,34 |
25,23 |
|||||
|
1 |
ный |
относительно |
|
|||||||
]- |
середины, |
заделан |
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
ный на |
концах |
|
0,6 |
31,03 |
30,79 |
|
30,71 |
30,68 |
||
«иггд'• |
|
|
|
|
0,8 |
35,42 |
35,35 |
|
35,33 |
35,32 |
|
|
|
|
|
1,0 |
4л* |
4л* |
|
4Я2 |
4л2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
13. |
Значения коэффициента Т1 для симметричного относительно |
|
||||||||
середины шарнирно |
опертого стержни, состоящего |
из двух |
участков |
||||||||
|
|
|
|
|
Показатель степени п в формуле (29) |
||||||
|
Схема |
|
^ 1 . ^ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
|
3,0 |
4,0 |
|
|
|
|
0 |
|
5,78 |
|
1,00 |
|
|
|
|
л Й |
|
0,1 |
7,86 |
6,48 |
5,78 |
5,40 |
|
5,01 |
4,81 |
|
|
|
0,2 |
7,97 |
7,01 |
6,58 |
6,37 |
|
6,14 |
6,02 |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
0,4 |
8,31 |
7,87 |
7,69 |
7,61 |
|
7,52 |
7,48 |
|
|
|
0,6 |
8,76 |
8,61 |
8,54 |
8,51 |
|
8,50 |
8,47 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0,8 |
9,30 |
9,27 |
9,25 |
9,24 |
|
9,23 |
9,23 |
|
|
|
|
1 |
я 2 |
Я2 |
Я2 |
Я2 |
|
Я* |
я 2 |
28 |
Усиюйчивусть стержней |
|
|
|||
И. Значения |
коэффициента |
я для стержня, |
показанного на |
рис. б |
||
^ х : ^ |
|
а : 1 |
|
|
|
|
0,2 |
0.4 |
0,6 |
0.8 |
п |
||
0 |
||||||
Шарнирно опертый стержень (рис. б1, а)
0 |
5,78 |
7,04 |
8,35 |
9,36 |
9,80 |
1 |
|
1,00 |
1,56 |
2,78 |
6,25 |
9,59 |
2 |
0,01 |
5,87 |
7,11 |
8,40 |
9,40 |
9,80 |
2 |
3,45 |
4,73 |
6,58 |
8,61 |
9,71 |
||
|
2,55 |
3,65 |
5,42 |
7,99 |
9,63 |
3 |
|
2,15 |
3,13 |
4,84 |
7,53 |
9,56 |
4 |
|
6,48 |
7,58 |
8,63 |
9,46 |
9,82 |
1 |
0,10 |
5,40 |
6,67 |
8,08 |
9,25 |
9,79 |
2 |
5,01 |
6,32 |
7,84 |
9,14 |
9,77 |
3 |
|
|
4,81 |
6,11 |
7,68 |
9,10 |
9,77 |
4 |
0,20 |
7,01 |
7,99 |
8,90 |
9,73 |
9,82 |
1 |
6,37 |
7,49 |
8,61 |
9,44 |
9,81 |
2 |
|
|
6,14 |
7,31 |
8,49 |
9,39 |
9,81 |
3 |
|
6,02 |
7,20 |
8,42 |
9,38 |
9,80 |
4 |
0,40 |
7,87 |
8,59 |
9,19 |
9,70 |
9,85 |
1 |
7,61 |
8,42 |
9,15 |
9,63 |
9,84 |
2 |
|
|
7,52 |
8,38 |
9,10 |
9,62 |
9,84 |
3 |
|
7,48 |
8,33 |
9,10 |
9,62 |
9,84 |
4 |
0,60 |
8,61 |
9,12 |
9,55 |
9,76 |
9,85 |
1 |
8,51 |
9,04 |
9,48 |
9,74 |
9,85 |
2 |
|
|
8,50 |
9,02 |
9,46 |
9,74 |
9,85 |
3 |
|
8,47 |
9,01 |
9,45 |
9,74 |
9,83 |
4 |
|
9,27 |
9,53 |
9,69 |
9,82 |
9,86 |
1 |
0,80 |
9,24 |
9,50 |
9,69 |
9,82 |
9,86 |
2 |
9,23 |
9,50 |
9,69 |
9,81 |
9,86 |
3 |
|
|
9,23 |
9,49 |
9,69 |
9,81 |
9,86 |
4 |
Стержень с заделанными концами (рнс . 5, б)
|
20,36 |
22,36 |
23,42 |
25,55 |
29,00 |
1 |
0,2 |
18,94 |
22,25 |
22,91 |
24,29 |
27,67 |
2 |
18,48 |
20,88 |
22,64 |
23,96 |
27,24 |
3 |
|
|
18,23 |
20,71 |
22,49 |
23,80 |
27,03 |
4 |
|
26,16 |
27,80 |
28,96 |
30,20 |
33,08 |
1 |
0,4 |
25,54 |
27,35 |
28,52 |
29,69 |
32,59 |
2 |
25,32 |
27,20 |
28,40 |
29,52 |
32,44 |
3 |
|
|
25,23 |
27,13 |
28,33 |
29,46 |
32,35 |
4 |
|
31,04 |
32,20 |
32,92 |
33,80 |
35,80 |
, |
0,60 |
30,79 |
32,02 |
32,77 |
33,63 |
35,64 |
2 |
30,72 |
31,96 |
32,72 |
33,56 |
35,60 |
3 |
|
|
30,68 |
31,94 |
32,69 |
33,54 |
35,56 |
4 |
|
35,40 |
36,00 |
36,36 |
36,84 |
37,84 |
1 |
0,80 |
35,35 |
35,97 |
36,34 |
36,80 |
37,81 |
2 |
35,33 |
35,96 |
36,32 |
36,80 |
37,80 |
3 |
|
|
35,32 |
35,96 |
36,32 |
36,78 |
37,80 |
4 |
Упругие стержни на жестких опорах |
29 |
Коэффициенты г\ для нагружения стержня, состоящего из трех участков (рис. 5), приведены в табл. 14; участок стержня имеет постоян-
Ьтт П |
|
|
|
,__р |
и ■* |
1 |
о. |
7777 |
|
I й- |
г* |
И |
||
--------------------- |
г — ----------------- |
|
г — |
|
|
о) |
|
6) |
|
|
Рис. 5 |
|
|
|
ное поперечное сечение с моментом инерции |
|
а два остальных участка |
||
симметричны и имеют переменное поперечное сечение, момент инер ции которого меняется по закону (29).
Стержни с непрерывным изменением жесткости под действием распределенной нагрузки
Консольный стержень переменной жесткости, когда момент инерции меняется по закону
(30)
где У о — момент инерции сечения в заделке, рассчитывают в следующем порядке. Принято, что интенсивность осевой продольной нагрузки следует зависимости
Ч= <?о ( |
* У . |
(30а) |
причем <70 — интенсивность нагрузки в сечешш 2 = 0. Показатель степени к принимают к = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (рис. 6). Критическое значение суммарной нагрузки определяют по формуле
I
Ркр= | ЧкрАг = *] |
(31> |
о
Значения коэффициента т| приведены в табл. 16.
Многопролетные стержни (неразрезные балки)
Критическую силу определяют по формуле
п _ |
Я-’^пИп |
’ |
(32) |
кр~ |
|
||
|
|
где — длина одного из пролетов стержня; коэффициент р берут по графикам на рис. 7—16, предварительно вычислив вспомогательные параметры по формулам табл. 16.
30 |
Устойчивость стержней |
I
Рис. 7
Рис. 8