Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2023

Размер:

24.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 5717 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Устойчивость оболочек в пределах упругости	161
где р* к — по формулам (132); р* — по выражению (135); ^ =	~ —

безразмерный прогиб. Из условия минимизации р* по ^ определяют

нижнее критическое напряжение (при С = 0,14к)
200	/г2.	(140)
Рн=Рв — 9л°

Значение рн по формуле (140) лежит несколько ниже критического

напряжения для плоской панели, равного - 3 ( 1 - V 2) йЗ,6. На рис. 22

приведена зависимость р* ((;) по формуле (139) (кривая 2) в сравнении с уточненным решением (кривая /), полученным в конечных разностях

с помощью электронной				цифровой машины в предположении, что кром
ки панели остаются прямолинейными. Кри
вые относятся к случаю квадратной панели
при к =	12. Судя по этим				данным,		общий
характер	изменения р* описывается прибли
женным	решением удовлетворительно,						но ве
личина рн по формуле				(140)		лежит	ниже
уточненного		значения.
В более общем решении задачи, для пане
ли произвольной			кривизны		при	а=[= Ь, про
гиб был	принят		в виде
		с .	Ш Л А '		п п	у
IV	=	[ I 5 1 П	-------------------	5111	--------- г^ — +
					ь
	,	, .	* Ш Л А '	а п п у			(1 4 1 )
		/ 2 5 1 П - -------------		5111

Решение задачи подробно рассмотрено в работе [1 ]. Нижнее крити ческое напряжение при 6 > 20 оказалось равным р* = 0,26^. По-ви

димому, при более точном решении теоретическое значение рн должно упасть и приблизиться к значению 0,18/г, полученному для замкнутой цилиндрической оболочки. В то же время для пологой панели (при

к20) величина рн мало отличается от критического напряжения

для плоской панели. Следовательно, при проведении практических расчетов верхнее критическое напряжение нужно определять по фор мулам (133) и (135), а для нижнего критического напряжения прини

мать (в случае тщательно изготовленных оболочек): р* = 3,6 при

к 20; р* = 0,18/г при Л > 20. Для панелей, имеющих значительную начальную погибь, сравнимую с толщиной оболочки, следует прини мать р* = 0,12& при к > 20.

Цилиндрическая панель при сдвиге. Панель с шарнирно опертыми краями подвергается действию касательных усилий а, равномерно рас пределенных по всему контуру (рис. 23). В линейной задаче исполь зуют уравнения (20) и (18):

а2Ф	9	(142)
дх*	18 дхду	(142)
дх*	18 дхду	;
1	д'2и)	(143)
		(143)

- г ? ‘ ф =

162	Устойчивость	оболочек.
Выражение для прогиба представим в виде ряда
„ =	^ /ю 8 \| „	^ 5ЙЖ .	Ц44)

тп

Подставляя выражение (144) в уравнение (143), определяем функ цию напряжений в срединной поверхности

Ф = ■я2а2/?

				у1V /.				* X
								* X
					( - г - + - 5 - )
				.	т и х	п л у	,	зху.
				X 51П--- -----51П		- у -	4-	зху.
Составим уравнение Бубнова-Галеркина
Шр	1)	.	1 д2Ф	д*и> \	. 1 л х .	/л у
Шр	—	ч т - - к - - ь ё		+ 2а- Ш ? )	%т—

и подставим в него выражения для ши Ф; после интегрирования получим

аЬ

тАЕ

, л*й

{ т2

п1 \ 2

,тп

« [

«*(«*_+*.)*

л'8*

(та -

<•) и

- *

здесь учитывают лишь те члены, для

которых суммы /п +

/ и п + /

нечетны.

Вводя

обозначения

аЬ

(145)

получаем

уравнения

типа

АтпГта —

1‘1 (т а _

‘/

ттт- = 0,

(146)

р ) (яа — /г)

где

„

я2

( т 2 + л Ч 2)2

А2

4/л3Х2

тл

3(1 — V2) '

т пР

л2 ‘ (та+лг^ )-л ;

1285*

(И7)

Р —

здесь к — параметр

кривизны

по формуле

(132).

Устойчивость оболочек в пределах упругости	163
Решая задачу в первом приближении, примем числа т, п,	/ рав

ными 1 и 2. Тогда получим следующую систему уравнений типа (146):

А ц[ц	4	^ 22/аа	1
	д~Р^2		д"Р/п = 0»
•^12^12 Н	2	^21/21 Ч	2
	д“ Р^21 =		д" Р/12 = О-

Условие нетривиального решения этой системы имеет вид

^11		4
^11	—	Г *
	—	Г *
1		Ак
г р		Ак
г р
о		О
		-9 -Р
о		О
		“Г *

Это уравнение распадается на два:

^11	4		^12	2
	“ Г р	— о-		т	р

1			2		= 0;
	А22
- — р			" Г р		А 21

первое из этих уравнений соответствует четной сумме индексов т Ч- п, второе — нечетной. Отсюда определяют два корня для р:

Р1 = ~2~V АцАгъ Рг= ~2~ V А^Ац

и значения верхнего касательного напряжения

»	9л2 л/~	,	♦ _	9я2 л/~
1	256 У Л11Лз2 >		2 ”	256 У Л12л 21 *	(148)

Для квадратной панели (X = 1) получим

Зл4	1 /" Г, , 3(1 — у2) ,2
32(1	1 Ч-	4л4

(149)

Во втором приближении учитывают всевозможные комбинации индексов, равных 1, 2, 3. Для случая четных сумм индексов получаем следующее выражение [I]:

•	л2 1 Г ^н^ггЛз^81^зз.	1150)
51“	Т28" V

164	Устойчивость оболочек.
где
1*1 =	Лц А ю ^ 0 2 5 ^ 8 1	■+■	^ 3 3	^ *+■ Л31Л33 ^"75" ^11 +	^ 1 3 ^ .
Для	нечетных сумм	т +	п
	„*_	я3	1 /"	Льз-^зг-^гзЛзз	(151)
	*2 _ !Ж		V	ц	(151)
	*2 _ !Ж		V	ц
где	36	4		_4_
	36	4		_4_
	625	81		75

Верхнее критическое напряжение 5в, как правило, определяется величинами, относящимися к четным суммам индексов. Исключение

составляют	удлиненные		панели	.
(Х^З) малой	кривизны		(Л < 7 ).	5"=,5\|л*
				35
				30
				25
				20
				15
				10
				5
О	1 2	3	Т
	Рис.	24

Рассмотрим результаты решения нелинейной задачи. Используем

уравнения (34) и (35). Выражение для						прогиба		принимаем в виде
ш	. .	пх	.	пу	. ,	.	2пх	. 2пу	.	,, ГЛ.
	51П —		51П	-2 -	+	51Л		51П		(152)
Решаем методом		Бубнова-Галеркина.					Зависимости		5* (0,	полу

ченные для плоской панели (к = 0) и цилиндрических панелей с кри визной к — 12 и к = 24, показаны на рис. 24; во всех случаях принято

Х = 1. Нижнее критическое напряжение $* снижается по сравнению

с 5* примерно на 30% для к = 12 и на 50% для к = 24.

Для практических расчетов следует пользоваться графиком рис. 25, составленным с учетом экспериментальных данных.

КОНИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ

Исходные зависимости линейной теории для круговых оболочек

Расположим оси координат так, как показано на рис. 26, а. Начало координат совпадает с вершиной конуса. Положение точки К средин ной поверхности определяется радиусом-вектором /*, проведенным

Устойчивость оболочек в пределах упругости

165

из вершины конуса О, и углом 0 между осевой плоскостью, проходящей через рассматриваемую точку, и некоторой неподвижной осевой пло скостью.

Длину вектора г обозначим через 5, угол наклона образующей к основанию — через а. Проекции г на оси координат


	х = $ 5И1 а;		у = з со$ а*со$ 0;		г = в соз а- з т 0.	(153)
Вектор г можно разложить по о]					I Ь\
г = 5 (/ з т		а 4 - У сое а «саз 0 +
	4-Лсо5а.51П 0).			(154)
Радиусы		кривизны	срединной
поверхности		(рис. 26, б)
/?,	= со;			(155)
Выпишем выражения для дефор
маций в срединной поверхности и
параметров		изменения		кривизн.
Обозначим через и, о,			ш смещения
точек срединной поверхности соот
ветственно в направлении				образую
щей, вдоль параллельного круга (по
окружности, получающейся при пе
ресечении	срединной		поверхности

с плоскостью, перпендикулярной к ос и оболочки) и по внутренней нор-

мали	к поверхности. Удлинения и сдвиг			в срединной поверхности
будут	(1)
	«1	ди_'
	«1	дз 9
	1	дн	и		(156)
	5 со$ а *	60	5	5>	(156)
	5 со$ а *	60	5	5>
	1	ди .д о		±
	зсоза*	60	~*"б5	5 ’

где е1 и е2 — деформации удлинения соответственно вдоль образующей

ивдоль дуги параллельного круга; у — деформация сдвига. Изменения кривизн и кручение определяют по формулам

д2ьу

		= — дз2 ;
_____ 1		д2ш _	а	до____1^ ды)		(157)
1—	52 соз3 а	60*	з3соз а	60	5 дз *	(157)
1/	а до_2	а	2	д2ш____ 2		6иЛ
2\ з	дз	з3	5 соз а	6з60	5? соза	60/

166	Устойчивость оболочек
В упрощенном	варианте,	пренебрегая			в	выражениях для		и х
членами, зависящими от перемещения V, получим приближенные вы
ражения
		1	д2хл)		1	дш
	" 53 СОЗ3 а		"	д 0 2		5дз	*	(158)
	1	д2ш		,	1	ди)		(158)
	1	д2ш		,	1	ди)
X е	- я соз а	дз дВ + Я2 соз а					00

Усилия и моменты, действующие на элемент оболочки, показаны на рис. 27. Через Ы1г Т12 обозначены погонные нормальные и каса тельные усилия, М 1} М 2, Н12— изгибающие и крутящий мо-

менты.

Уравнения равновесия эле мента оболочки и уравнение сов местности деформаций для безмоментного основного состояния (до потерн устойчивости) сво дятся к системе следующих упро щенных уравнении [1]:

Оу4ш — _,2_ — ч = 0 ;

(159)

у 4ф +

= О,

ГАе

12(1 — V*) ; Н— толщина оболочки; ц — фиктивная попереч-

ная

нагрузка,

Я — N

Т12%;

(160)

ср— функция

усилий. Подставим

формулу (160)

выражения (157)

и (158); при Т12 = 0 получим

д*и)

(

дгш

дхы \

(161)

дз2

2 \ 5 соз а

д02

з * сШ/ ’

Операторы

у 2 и у^. имеют

вид

^ = 7с5г [-Я- ( 5 6050 ж ) + ж ( теЬ

■ж ) ] ;

„2

д2 .

Ук~

' да? >

отсюда

находим

д2ш

две

д2ви ш

у 21

(162)

дз2

дз

52 соз2 а * дб2 *

Устойчивость оболочек в пределах упругости

167

и далее

? « » =

V 2 ( —

+ —

■—

+ ____-_____—

)

х/

да +

соз3 о

аез

[

(

52ц)

дш

д*ьи \"|

5 соз а |

дз

08 а

дз

дз2

дз

з2 соз2 а '

502 / ]

52ш

[ д н о

52а> \

1 )

дЭ

[. з соз а ’

дз2

‘

’

дз

з2 соз3 а

503”) ] |

д*ш

5аау

52до

дш

дз*

‘

5з3

дз2

"Н~

‘ 5 Г +

д*&

53ш

+ ■з2 соз2 а

дз2502

з3 соз3 а

дз 502■+

+ з4 соз2 а

д2и)

д*и>

(164)

502

з4 соз4а

504

Подставляя

выражения

(163) и (164)

уравнения

(159),

полу

чаем следующие окончательные уравнения линейной теории:

■О / 54ш

а%

д*ш

К "^4"

з2 соз2 а

5з3 503

з* соз4 а

504

53и»

53оу

з3 соз2 а

* дз 502

з4 соз2 а

502

"533

_1_

д2и)

5ш \ .

52ф

, а;

52ш

з2"~д&

• - ^ Г + ^ 1

ЛГ ( .___ 1_____\

= 0;

дз

)

(165)

52 соз2а

502

5*ф

54ф

54Ф

5з4

з2соз2а

дз1

й + '

з4 соз4а

' 504

502

53ф

<Ру_

з3 соз2 а

дз 502

з4 соз3и

502

5з3

_1_

ду

, рА *еа

У»

(166)

яа

а$3

яз

дядз

аз8

168	Устойчивость оболочек
	Устойчивость при осевом сжатии
Рассмотрим	решение линейной задачи для круговой конической

оболочки, сжатой вдоль оси. Если предположить, что изогнутая поверх ность оболочки после выпучивания остается осесимметричной, то и) =

= ш (а); ф = ф (а) и уравнения (165), (166) приведутся							к виду
,	2	йз2	1	с12и>)
+	Т	йз2	а2	йз2
		ййи)		42<	= 0;		(167)
+ АГ1 <1з2 +			а	йз1	= 0;		(167)
й4ф	г_	_^ф	1		1	йз	+
Iи4 +	; “	си3	52 (1з~		53	йз	+
	+ Е Н -		й2ю	= 0,			(168)
			йз2
ЕЛ3						наклона обра
где О — -^2*^-----Н— толщина оболочки; а — угол						наклона обра

зующей к основанию. Уравнения (167) и (168) можно записать в сле дующей форме:

+	^2ф	4 - Л/х	сГ2ш>	= 0;			(169)
+	5 * <1$2	4 - Л/х	йз2	= 0;			(169)
				а	д.2и>	= 0.	(170)
					йз2	= 0.	(170)

Если считать, что при потере устойчивости образуется большое число волн и длина каждой волны будет невелика, величину а в преде лах одной волны можно считать постоянной. Рассмотрим волну, при

мыкающую к большому основанию конуса. Положив а = 11г где								—
расстояние по образующей от вершины до большего основания, и								=
= —	где N4 — сжимающее усилие по окружности большего основа
ния, из уравнений (169) и (170) получим
	„	„о	42ш	,	а	й2<	п,
	(1&*	1	Й52	’’	1Х '	й$2	1	(171)
								(171)
Решение этих уравнений			ищем	в форме
	01	=	А 8Ю		(5 — /,);			(172)
								(172)

ф = В 81П — (5— /,),

Устойчивость оболочек в пределах упругости

169

где К — длина волны. Подставляя выражения (172) в уравнения (171)

и приравнивая к нулю определитель			получающейся при	этом си
стемы уравнений, находим
		ЕИ_	*б2а	(173)
	(V? = ср* +			(173)
		Р3
где р =	. Минимизируя	по р2, получ
	Р2		*б2 а	(174)
	Р2		Ч	(174)
			Ч
В результате подстановки выражения (174) в формулу (173) полу
чаем значение верхнего критического усилия
		(б		(175)
			— V2;	(175)
			— V2;
При V =	0,3	Р7.2	Г/,2
	Л] = 0,605	Р7.2	Г/,2	(176)
	Л] = 0,605	м	0,605	(176)
		м	*\0
где	д — радиус кривизны срединной поверхности			у боль

шего основания.

При исследовании случая, когда выпучивание оболочки неосесим метричное, в уравнения (165), (166) подставляют следующие функции

прогиба и	усилий:	(177)
	ю = щ С08 п 0; <р = фх соз лО,	(177)
где ш1=	(в); фх = ф! ($); п — число волн по параллельному	кругу.

Верхнее критическое напряжение в этом варианте решения, как и при осесимметричном выпучивании, определяют по формуле (176) [1]. Как видим, выражение для верхнего критического усилия получается таким же, как в случае осевого сжатия цилиндрической оболочки ра диуса /?0. Формула (176) справедлива при условии, что число волн вдоль образующей достаточно велико. Можно считать, что это условие

выполняется при а > 30°.

Реальные конические оболочки, сжатые вдоль оси, выпучиваются хлопком по ромбической форме с образованием двух или нескольких поясов выпучин у большего основания. Поэтому необходимо рассмо треть устойчивость оболочки в большом. Можно принять, что нижнее критическое усилие может быть определено, как и для цилиндрической

оболочки, по формуле
N,,„ = 0,18Е -% -.	(178)
Ло

Формулами (176), (178) можно пользоваться при проведении практи ческих расчетов, принимая во внимание рекомендации, относящиеся к случаю осевого сжатия цилиндрической оболочки.

170		Устойчивость оболочек
Значения	полной	осевой сжимающей силы		определяют, исходя
из формул (176) и (178):
	Рв = 0.605Е		3x7-1 зш 2а;
		*М)			(179)
					(179)
Рн =	0,18Е	п1х 51п 2а =	0,18^Л2л	а зш 2а.
	Ко
	Действие внешнего давления
Коническая оболочка, замкнутая			в вершине. Функции ш и (р пред
ставим в виде		ш = ф (з) а соз /10;		. )
		ш = ф (з) а соз /10;			( 180)
	Ф =	Х\ (5)	*б2 о соз п0,		( 180)
	Ф =	Х\ (5)	*б2 о соз п0,
			.

где п — число волн, образующихся по параллельной окружности при

потере устойчивости; в — величина, определяемая			по формуле
/г	с!еп	..н	(Ш)
\| /	1^12(1- V - )	' '1 ’

/1 — длина образующей от вершины до большего основания; а — угол

наклона	образующей к		основанию; Л — толщина				оболочки.
Усилия докритического напряженного состояния при равномерном
нешнем	давлении <?
		Я, =	- ^ г	г	5 ;	Ъ = ------ ®-		(182)
						1§ а
Вводя	безразмерные		параметры
			0/х		. „	ЕЛ3		(183)
		» = Ш		й с[* о:		р =		(183)
		» = Ш		й с[* о:		р =
и безразмерную координату
					ТГ’			(184)
					ТГ’
приводим формулы (182) к				виду
			-------- 2~			*62 а;		(185)
								(185)
		N2 = — хце3ЕН				а.
Уравнениям		(165), (166),		с	учетом выражений		(180),	(183)—(185)
и пренебрегая		некоторыми членами				[1], можно придать		следующую
упрощенную форму:
		<*2Х1			Рхъ	= 0;		(186)
		с1х-			Рхъ	= 0;		(186)
		с1х-

	(1Ц	(187)
	№ + Х5- * 1 = 0 -	(187)
	№ + Х5- * 1 = 0 -

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 5717 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.5 Mб5Прочность и разрушение материалов..pdf
#
12.11.20233.07 Mб0Прочность и устойчивость статически неопределимых рам..pdf
#
12.11.202311.03 Mб4Прочность конструкций при малоцикловом нагружении..pdf
#
12.11.20239.81 Mб0Прочность легких и ячеистых бетонов при сложных напряженных состояниях..pdf
#
12.11.202315.87 Mб4Прочность сварных соединений при переменных нагрузках..pdf
#
13.11.202324.79 Mб5Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3.pdf
#
12.11.20233.68 Mб1Прощай, Россия! Суждение научного инженера наедине с собой..pdf
#
12.11.202317.75 Mб9Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения..pdf
#
13.11.202324.47 Mб2Психоаналитические теории личности. Зигмунд Фрейд и постфрейдисты.pdf
#
12.11.2023642.14 Кб0Психология безопасности труда..pdf
#
20.11.20231.99 Mб1Психология делового общения.-1.pdf