книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
.pdfЦилиндрические оболочки за пределами упругости |
201 |
деформаций. Из этого графика, а также из графика рис. 51 следует, что
при сравнительно малых значениях ( при < 25 для дуралюмино-
вых оболочек), когда пластические деформации значительны, можно вести практические расчеты лишь па устойчивость в малом. При слабо развитых пластических деформациях расчетные разрушающие напряже ния должны составлять некоторую долю от рв.
З а м к н у т а я к р у г о в а я о б о л о ч к а п р и в н е ш н е м д а в л е н и и . Решение задачи по деформационной теории без учета эффекта разгрузки приводит к следующему выражению для безразмер
ного параметра нагрузки д:
здесь
Я=
авеличины б и г\ определяются в виде
|
|
|
б = |
тпК |
|
, |
п2Н |
|
|
|
|
||
|
|
|
~ 1 П Г ’ |
|
К |
|
• |
|
|
|
|||
Для оболочек средней длины примем, как и в задаче, относящейся |
|||||||||||||
к упругой области, т = 1, б2 < |
|
1; это приводит к выражению |
|||||||||||
_____я |
/ |
1 . |
з |
<рк \ |
|
|
|
|
& |
|
|
||
<р„ |
9 |
I |
4 + |
4 |
фс ) |
^ |
( |
3 |
, |
1 |
фс |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 \ |
4 |
г |
4 |
Фл. ) |
|
<7 |
Фс + |
зфк |
п2и |
|
|
|
|
# |
# |
|
V |
(305) |
|
Фс “ |
|
36фс |
Я |
^ |
Зф« + |
У с |
п 2Н |
\ п 1 |
) |
||||
|
|
||||||||||||
Минимизируя |
формулу |
(305) |
по и2, находим верхнее критическое* |
||||||||||
давление |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"(•*■ |
)’ |
,эм| |
|
Принимая |
ф/сг= ф с = 1. находим |
|
|
^ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
~ |
4 |
|
пК |
( |
Н \ |
2 |
|
|
|
|
202 Устойчивость оболочек
что соответствует формуле (71) при V = 0,5. В случае внешнего давле ния при слабо развитых пластических деформациях может происходить потеря устойчивости в большом. Поэтому в практических расчетах сле дует пользоваться формулой (306), уменьшая значение верхнего крити ческого давления на поправочный коэффициент а = 0,7.
К р у г о в а я з а м к н у т а я о б о л о ч к а п р и к р у ч е - 11 и и. Касательные напряжения 5 выражают через крутящий момент по формуле (79).
Решение задачи по теории деформации без учета эффекта разгрузки
для оболочки средней длины, |
шарнирно опертой по торцам, приводит |
||||
|
|
|
к выражению (81) для верхнего |
||
|
|
|
критического напряжения. При |
||
|
|
|
нимая в этой формуле V = |
0,5 и |
|
|
|
|
вводя Ес вместо Е, получим для |
||
|
|
|
рассматриваемого случая |
|
|
|
|
|
|
_ _5_ |
|
|
|
|
за =0,74(0,75) |
8 Ес X |
|
|
|
|
_1_ |
|
-> |
|
|
|
№Г(х)‘4 |
||
Зависимость |
для |
дуралюминовых оболочек |
показана на |
||
А |
^ П |
|
|
|
сле- |
рис. 53, здесь ва — - р -.—. В практических расчетах к величине |
|||||
|
Ьп |
|
|
|
|
дует вводить поправочный коэффициент ф & 0,75. |
|
|
|||
Решение задачи для оболочек большой длины приводит к формуле, |
|||||
аналогичной (86): |
|
_ |
_з_ |
|
|
|
|
|
|
||
|
= 0,272-0.75 |
4 Ес |
|
(308) |
К р у г о в а я ц и л и н д р и ч е с к а я п а н е л ь с о с т о р о н а м и а, 6, с ж а т а я в д о л ь о б р а з у ю щ е й р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е н н ы м и у с и л и я м и р. В результате исследо вания устойчивости в малом с применением теории деформаций полу чаем следующее выражение для сжимающего усилия [1]:
(309)
где Я — радиус срединной поверхности панели;
1х = а |
I |
ь |
п _ Ф* |
здесь т и п — числа полуволн вдоль образующей и по дуге.
Устойчивость оболочек при высоких температурах |
203 |
|||
Во втором члене выражения (309) заменим ЗХ — 1 рй 2, в результате |
||||
получим |
/ я2Л3 |
|
Я. \ |
|
„ |
|
|
||
р = |
М ~ |
У 1+* * ч ) ; |
(310> |
|
где |
|
|
|
|
VI = |
1 +ЗА |
2 |
С |
|
4/? |
4- — + — |
|
||
|
у |
у |
|
Будем считать, что для панели большой кривизны волнообразование осуществляется -свободно; из условия минимизации р по находим для .этого случая величину
и верхнее критическое напряжение
р , = - | - / а д - | - . ( З П )
Выражение (311) совпадает с формулой (295а) для круговой замкну
той оболочки. |
малой |
кривизны следует принять п = 1; заменяя |
||
Для панели |
||||
в формуле (309) |
1У на |
Ь,-получим выражение для |
этого случая. Для |
|
квадратной панели |
условно будем считать т = п = 1, тогда получим |
|||
|
|
|
|
4 \ |
Ре = Е<рс |
|
|
|
1 + 15Х ] • (312) |
|
|
|
|
|
УСТОЙЧИВОСТЬ |
ОБОЛОЧЕК ПРИ ВЫСОКИХ |
ТЕМПЕРАТУРАХ |
||
|
|
|
Основные зависимости |
|
Задачи об устойчивости оболочек при повышенных температурах представляют особый интерес для расчета тонкостенных конструкций: термическое выпучивание оболочки, часто сопровождающееся хлоп ками, ведет к появлению остаточных деформаций и снижению жестко сти конструкции. Кроме того,, температурные напряжения, даже не значительные по величине, могут служить тем возмущающим фактором, который в соединении с основными усилиями вызывает потерю устой чивости оболочки в большом.
Приведем основные соотношения теории гибких пологих оболоч
с учетом изменения температуры. |
|
|
|
||
О б о з н а ч е н и я : |
в* — деформации |
вдоль линий кривизны |
|||
х. у на расстоянии г от срединной поверхности; о* |
|
и о* — напряжения |
|||
в этом же слое оболочки; |
Л |
2 — температура в |
С в данном слое; Ег |
||
и V2 — модуль упругости и коэффициент Пуассона, зависящие, вообще |
|||||
говоря, от температуры; |
а — коэффициент |
линейного расширения |
|||
материала. |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
«*= -^ г |
+ а'°'г- |
(313) |
|||
|
204 |
Устойчивость оболочек |
Будем считать |
Ег = Е и V* = |
V |
постоянными по толщине, |
|
ными температуре |
срединного слоя. |
|
||
С другой стороны, |
имеем |
|
|
|
|
|
б; = вг — г |
дх2 ’ |
|
где вЛ— деформация |
в срединной |
поверхности. |
Сравнивая выражения (313) и (314), находим
рав
(314)
= - 2 тдх2э т |
= 4 - К |
— ™1) + |
г. |
(315) |
|
Аналогично получим |
|
|
|
|
|
д2т |
1 |
/ 2 |
2\ I |
; |
(316) |
*!>~г ~ д р '= ~Ё К |
“ ™ .г)+ а < |
|
|||
|
|
||||
По формулам (315) и (316) находим |
|
|
|||
е* = |
~1г (аЛ — VII,,) + аТ; |
|
(317) |
||
|
|
|
+ аТ, |
|
(318) |
где под Т понимают величину |
|
|
|
|
|
г |
= - Г |
/ |
^ |
|
(319) |
|
|
Умножим все члены выражений (315), (316) на 2 и проинтегрируем по^толщине оболочки; исходя из полученных при этом выражений,
найдем изгибающие моменты |
|
|
|
|
|
|
|
М; |
|
Е |
» . . |
|
|
|
(320) |
|
С |
12 |
|
|
|
|
|
|
= - ° { - к Г + '- 1 й г ) + Е |
|
|
|
|
|
|
АТ |
|
Е ^ ~ . |
|
1 |
аб; |
(321) |
|
|
|
* |
12 |
1 — V |
|
|
|
здесь 6 — приведенная величина |
«температурного |
момента», |
|
||||
|
|
, л |
|
|
|
|
|
|
9= - ж |
1 |
|
|
|
|
(322) |
|
|
|
|
|
|
Устойчивость оболочек при высоких температурах |
205 |
Уравнения (245), (246) теории пологих оболочек, дополненные чле
нами, учитывающими температурный эффект, получают |
вид |
|
||||||
о |
д |
|
. |
. э2ф |
, . |
а2Ф |
|
|
— |
V4“' = Ь (Ю. ®) + |
~дуГ + кУ ' дх2 |
|
|
||||
|
|
|
|
ЕНа |
у2в; |
|
|
(323) |
|
+ |
Л |
12(1 - V ) |
|
|
|||
у*Ф = |
----- Мдо, |
^0 — |
|
д2до |
, |
д2до |
у 2Г. |
(324) |
|
^ 2 |
- ^ - ^ |
г - а |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая в уравнениях (323), (324) кх = |
ку = 0, приходим к |
урав |
||||||
нениям (66), (69) гл. 2. |
(324) следует, что при |
71 и 0, |
остающихся |
|||||
Из соотношений (323), |
постоянными вдоль линий х, у или изменяющихся по линейному закону, основные дифференциальные уравнения будут такими же, как и для «холодной» конструкции. Однако влияние температурного воздействия в некоторых случаях может вызвать напряжения. Например, если об шивка подкрепленной конструкции нагревается быстрее, чем подкреп ляющие ребра, температурная деформация обшивки будет стеснена и в обшивке могут возникнуть значительные сжимающие напряжения, приводящие к выпучиванию.
Если исследуют малые прогибы оболочки с учетом заданных усилий
в срединной поверхности, основные уравнения |
(323), |
(324) |
переходят |
||||||||||
в следующие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
. |
|
д2до |
|
|
д2ш |
п |
д2до |
|
|
|
||
— V‘и = - Р х - П Г - Р » |
|
|
|
|
Ч - + |
||||||||
|
, с |
Э2Ф |
, |
ь |
0гФ |
|
ЕНа |
|
_м . |
|
(325) |
||
|
+ |
ду3 |
+ |
ки дх2 |
|
12(1— V) |
у 0 , |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
и |
д 2до |
- |
. |
д 2до |
|
ву*Г; |
„ „ |
(326) |
||
|
— |
V*®------кх- ^ |
к у — |
- |
|
||||||||
здесь рх, |
Ру — нормальные |
|
усилия |
(положительные |
|
при |
сжатии); |
5 — касательные усилия.
Соотношения (325), (326) приводятся к следующему уравнению от носительно до (при постоянных кх и ку)\
(327)
206 |
Устойчивость оболочек |
При исследовании деформации тонких оболочек можно принять ли
лейный закон изменения температуры / ’г вдоль толщины оболочки. Тогда будет
Т = Среду е = - Д / ° |
(328) |
Величина Д/° характеризует перепад температур 1*анеш и 10нутр
между внешней |
^ г --------и внутренней |
поверхно |
стями оболочки, а 1°сред~- среднюю температуру: |
|
|
М = |
^анеш *внутр |
(329) |
^сред — ' |
Устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки
Рассмотрим случай равномерно нагретой круговой цилиндрической оболочки, скрепленной на торцах с «холодными» шпангоутами (рис. 54). Предполагаем, что торцы свободно смещаются в осевом направлении один относительно другого. Пусть разность температур оболочки и шпангоутов равна Т. «Холодный» шпангоут препятствует температурному удлинению оболочки в окружном направлении, вследствие чего в оболочке возникают кольцевые сжимаю щие напряжения. Величина этих напря жений падает по мере удаления рассмат риваемой точки от шпангоута, следова тельно, оболочка получает напряженное состояние типа краевого эффекта. В тот момент, когда сжимающие напряжения достигают критического значения, вблизи шпангоута возникают выпучины, и осевая симметрия оболочки нарушается. Найдем критическую температуру, при которой
происходит такое выпучивание оболочки в малом.
Примем, что в осевом направлении оболочка деформируется сво бодно и что по торцам имеет место защемление. Определяя напряжение в докритическом состоянии, исходим из уравнения (325). Для осесим
метричной задачи при |
равномерном |
распределении температур будет |
|||
|
Р |
__ ау _ |
Е |
(330) |
|
|
Н * 4х* |
“ |
Я “ |
# |
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
Л |
4х* |
|
аТ — |
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда получим |
|
|
|
|
|
|
|
ё*аи |
до |
|
Устойчивость оболочек при вьшоких температурах |
207 |
|||
Граничные |
условия |
имеют |
вид |
|
|
до = 0, |
-^г- |
= 0 при х = 0, х = Ь. |
|
|
|
йх |
|
|
Интегрируя выражение (331) с учетом этих условий, находим |
||||
до = |
а КТ {1 — е—'20* (Л, соз 2$х + Аг з т 2$х) — |
|
||
— (НЮ (1--0 [Лг соз20 (1 — х) + Аг $ т 20 (1 — /),]} |
(332) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
I 2 |
|
|
: = |
Р = 4 ^ 3 ( 1 - * ) ] / - ЯЛ |
|
Через А х и А а обозначены некоторые функции величины Р, характери зующей относительную длину оболочки. Используя равенство (330), находим по формуле (332) кольцевые напряжения ау. Зависимость величины
от х при различных значениях Р
соответствует зависимости
о,, |
= соз2лх, |
(333) |
ЕаТ |
отвечающей приблизительно параметру
Р = 2.
Для примера будем исходить из зависимости (333). Используем уравне ние (327). В данном случае оно при нимает вид
I) а , 1 ЛНю |
1 4 / |
а2до |
|
- V |
|||
|
|
ду>2 |
) |
здесь до — дополнительный прогиб; принимая
, |
. , |
п |
. пу |
|
До = I |
ЗШ2 |
—у— 81п —5 |
“ |
|
|
|
ь |
к |
|
и пользуясь методом Бубнова-Галеркина, получим следующее выраже ние для критической температуры:
ТКР = |
Н |
|
|
(1 |
|
Яа |
4ргЧ>* [ ' |
+ |
1+ |
||
/ 3 ( 1 — V2) |
|||||
|
+ |
. 2 8 ^ 1 } . |
|
(334) |
гдеф = • Число волн п, фигурирующее вформуле (334), определяют
из условия минимума Ткр.
208 |
Устойчивость оболочек |
Приведем формулы, полученные другим путем для длинных оболо чек при р > 5. Прн защемлении по торцу критическая температура будет
М 1 А
^ -уЛ зТ П Г ^Г ) ой * |
(333) |
Соответствующее кольцевое напряжение вблизи шпангоутов
3,88ЕН
° кр — в •
При шарнирном опирании по торцу |
|
12,21 |
(336) |
Тк1>= - |
|
1 ^3 (1 — V2) |
о й ’ |
а соответствующее кольцевое напряжение 7,4ЕН
а кР =
Я *
Следовательно, величина Ткр получается для шарнирно опертой оболочки выше, чем для защемленной, что объясняется большей подат
ливостью шарнирно опертой оболочки при нагреве. «Термическое выпу-
р
чивание защемленных по торцам дуралюминовых оболочек при
1500 будет происходить уже за пределами упругости.
Если торцы оболочки не могут смещаться одна относительно дру гой, при возрастании температуры в оболочке возникнут осевые сжима ющие напряжения. При этом следует ожидать выпучивания, показан ного на рис. 56, а, в пределах упругости и на рис. 56, б — в упруго пластической области.
Значительный интерес представляют задачи о выпучивании ци линдрических оболочек при температуре, изменяющейся вдоль окруж ности. На рис. 57, а показана оболочка, частично наполненная жид костью. Предположим, что зона оболочки, соприкасающаяся с жид костью, имеет температуру, более низкую, чем остальная часть обо лочки; пусть разность температур равна Т (рис. 57, б). В области по вышенных температур возникнут участки со сжимающими напряже ниями и здесь может произойти выпучивание. Как показывают экспери менты, вмятины имеют форму ромба и располагаются в средней части оболочки подлине; появление вмятин обычно сопровождается хлопками.
Устойчивость оболочек при высоких температурах |
209 |
При решении подобной задачи сначала определяют эпюру распреде ления начальных напряжений, решающее значение имеют осевые напряжения аА. Вид эпюры зависит от соотношения между размерами нагретой и холодной зон. При исследовании задачи об устойчивости
в малом используют уравнение (327) при кх = 0, 6р = Практиче
ские расчеты можно производить, как в случае выпучивания оболочки при изгибе, по наибольшему напряжению сжатия, сравнивая его с ве-
. 0,60бДЛ личинои ----- =----- .
Выпучивание оболочек при ползучести
Особенность выпучивания пластинок и оболочек состоит в том, что при прогибах, сравнимых с толщиной, проявляется эффект цепных напряжений. В гл. 2 отмечалось, что для пластинок это влияние сводится
к тому, что процесс выпучивания пластинки |
|
|||||||||
«тормозится» и нарастание |
прогибов |
затухает. |
|
|||||||
Выпучивание оболочек при ползучести про |
|
|||||||||
исходит в процессе хлопка. |
Поэтому |
описание |
|
|||||||
этого |
явления |
будет |
достаточно |
полным |
лишь |
|
||||
в том |
случае, |
если оно проводится |
с |
позиций |
|
|||||
устойчивости в большом. Зависимость стрелы |
|
|||||||||
прогиба С от времени /, характерная для обо |
|
|||||||||
лочки с начальной погибыо при |
|
ползучести, |
|
|||||||
показана на рис. 58; как |
видим, |
монотонное |
|
|||||||
увеличение |
прогибов |
оболочки |
завершается |
|
||||||
хлопком. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для приближенных расчетов на выпучивание |
Рис. 58 |
|||||||||
оболочек при |
ползучести |
рекомендуется, |
как |
деформацией. При |
||||||
и в случае |
пластинок, |
пользоваться |
критической |
этом будет найден момент времени, соответствующий хлопку оболочки.
В качестве исходной надо принимать деформацию, найденную на основе нижнего критического напряжения. Например, для сжатой кру говой цилиндрической оболочки будет
Е/ср. н =0,18 -щ- .
210 |
У ст ой ч и вост ь оболочек |
Остановимся на применении критерия начальных несовершенств. Исследуем случай шарнирно опертой пологой круговой цилиндриче ской панели, сжатой вдоль образующей усилиями р (рис. 59), предпола гая, что ненагруженные кромки оболочки сближаются свободно и остаются прямолинейными. Будем считать, что начальные и дополни тельные прогибы сравнимы с толщиной оболочки. Основные уравне ния [см. формулы (38)—(39)]:
|
|
|
|
— ш0)=Ци>, Ф) + |
|
ааФ |
|
(337) |
|||||
|
|
|
|
|
дх2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А - у 4ф = |
4 _ 1 ^ (к'«> |
— |
Ш)1— |
|
|
|
Шо) |
(338) |
|||||
здесь IV — полный |
прогиб. |
аппроксимирующие |
выражения |
|
|||||||||
Примем |
для |
прогибов |
|
||||||||||
|
|
Л . |
пх . |
|
пу |
|
, . |
|
пх |
пи |
|
(339) |
|
IV |
= |
Г |
31П -----51П |
~Ъ~ |
Щ = |
/ о 5 1 П |
— |
3 1 П 4 ^ - - |
|||||
|
|
' |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
выражения |
(339) |
в уравнение |
(338), |
найдем |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ - м г ~ о п & ? - » - ' • > “ |
|
|
|
|
|
(340) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Напряжения |
в |
срединной поверхности будут |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
а2Ф |
|
|
д2Ф |
|
|
|
д2Ф |
|
(341) |
|
|
|
|
ду2 |
|
Оу = - дх2 |
» |
|
|
дхду |
|
||
Напряжения |
изгиба, |
наибольшие по толщине оболочки, будут |
|||||||||||
|
|
|
|
ЕИг |
|
Г д2 (Ш— Ш„) |
|
д2 (IV |
— Щ) |
1 . |
|
||
0 Л , Ц |
= |
-+- |
2(1 — V2) [ |
дх2 |
■+ V |
|
ду2 |
\> |
|
||||
|
|
+ |
|
ЕН |
|
Г д2 (IV — 10о) |
■Н~ у ' |
д2(до — ш«) |
1 . |
(342) |
|||
° У , и |
= |
2 (1 — V2) [_ |
ду2 |
дх2 |
|
||||||||
|
|
|
|
с 1+ |
§ |
д2 (IV - |
- “'о) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак минус относится к точкам, лежащим у нижней поверхности оболочки ^2 = - ^ -^ , знак плюс — к точкам у верхней поверхности
Обозначим полные напряжения через ох,п. <*у, п- Интенсивность напряжений от* в каждой из точек с координатами г = ±
°1 = V ° 1 . п + <& а ~ ° х . |
п • |