книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Аппроксимируем прогиб выражением

Первый член в формуле (270) отвечает решению осесимметричной линейной задачи для защемленной пластинки, а второй — отображает изгиб по п волнам вдоль дуги с равными амплитудами к центру кри­ визны; эти два члена во взаимном сочетании характеризуют образова­ ние ряда вмятин, преимущественно направленных к центру кривизны.

В результате подстановки выражения (270) в правую часть уравне­ ния (268) находим

где # 0, /?Л — функции р, содер­ жащие параметры /ь / 2- Интег­ рирование равенства (271) про­ водим с учетом того, что в центре панели при р = 0 величина сгг должна быть ограниченной; при этом приходим к следующей за­ висимости:

А - ф = ф 0 -\- ф п соз Лф -|-

где Ф0, Фл, Ф2П — новые функции р, / ь / 2. Интегрируя, далее, уравне­ ние (267) по методу Бубнова-Галер кина, получим

здесь введены параметры

Коэффициенты С*, . . С6 и В1г . . Вв зависят от числа волн п. Исключая | из системы (273)—(274), определяем зависимость параметра поперечной нагрузки <7* от безразмерной величины Ё, характеризующей прогиб центра панели. Случай п = 0 соответствует осесимметричной форме прогиба.

Зависимость <7* (0 для -|г- = 100 при а = 0,1 и /1 = 0 (сплошная

линия) приведена на рис. 44. Кривые для п Ф 0 до 5 = 7,5 распола­ гаются выше кривой, отвечающей осесимметричной форме равновесия, а при I, > 7,5 — ниже этой кривой. На рис. 44 для примера приведена штриховая линия, соответствующая несимметричной форме выпучива­ ния при п = 10. Следовательно, несимметричная форма должна иметь место при прогибе в центре, равном 7,5 толщинам оболочки. В

приведенном примере Гпри-“ = 100^ огибающая семейства кривых,

Ниже приведены окончательные результаты решений, полученных с помощью электронных цифровых машин. Данные, относящиеся копределению верхней критической нагрузки ?в». показаны на рис. 46. Кри­

вая 1 соответствует жесткому защемлению по контуру» кривая 2 — шар­ нирному закреплению с несмещающдмися в плане точками контура, кривая 3 — случаю шарнирного, опирання со свободно смещающимся в плане контуром. По оси абсцисс отложена величина

здесь <7* — значение верхнего критического давления для полной сферы, определяемое по формуле (220); обозначим его через д0,в. Тогда будет

ие. в кам кривых, показанных на рис. 46 штриховой линией, сходился

настолько медленно, что относящиеся к указанным участкам значения нельзя считать оконча­

разования сферических панелей различной кри­ визны по данным экспе­

риментов, проведенных над оболочками, изготовленными из магниевого сплава и жестко защемленными по контуру, показаны на рис. 47. Про­ гиб, максимальный в центре и монотонно уменьшающийся по направ­ лению к краю (рис. 47, а), имел место при малых р. При р > 20 макси­ мальный прогиб не в центре (рис. 47, б); в случае развитой вмятины максимум прогиба будет уже на расстоянии половины радиуса от центра. При р ;> 55 появлялся новый пик в центре (рис. 47, в).

При 15<Зр<*30 величина <7« при шарнирном закреплении (кри­ вая 2 рис. 46) лежит выше, чем при защемлении панели по контуру. Это объясняется, возможно, различным влиянием изгибных напряже­ ний, образующихся у края. В остальной области изменения р случаю шарнирно закрепленной оболочки соответствуют значения г|*. меньшие, чем для защемленной. Сильно падает значение Т1в при свободно смеща­ ющемся в плане контуре (кривая 3, рис. 46).

Выпучивание реальных оболочек происходит при нагрузке, лежащей, как правило, значительно ниже дв. Поэтому данные для расчета можно

получить лишь после исследования других участков кривой д (0 и определения нижнего критического давления. Окончательные резуль­ таты вычислений с помощью электронных цифровых машин даны на рис. 48. Здесь показаны зависимости между параметром нагрузки ф —

— дЯЧЕ№ н безразмерной стрелой прогиба в центре ^ == ■- ™-ах для

п

панелей различной начальной кривизны, жестко защемленных по кон­

туру. На графике отмечены значения верхнего и нижнего критических давлении.

Максимальное значение -^-на рис. 48 составляет 4, что соответствует

ных состояний оболочки, не связанных между собой. Одни из этих вет­ вей соответствуют, по-видимому, устойчивым, а другие — неустойчи­ вым формам равновесия. На рис. 49 по оси ординат отложен параметр

и дн к величине дов для полной сферы. Кривая для г)в почти совпадает с кривой 1 (рис. 46), полученной другими методами. На рис. 50 нане­ сены также данные экспериментов; ромбы соответствуют нагружению оболочки маслом, остальные — нагружению воздухом. Можно считать, что в первом случае выпучивание происходило при постоянном объеме, а во втором -—при постоянном давлении. Наиболее резкий хлопок на­ блюдался во втором случае; падение нагрузки в опытах показано стрелками. Экспериментальные значения т] лежат в вилке, образуемой г\в и Т1я. В практических расчетах можно пользоваться графиком на рис. 50, для тщательно изготовленных оболочек значения т)н определяют непосредственно по графику, а при относительно большой начальной погиби необходимо уменьшать Т|Л приблизительно на 40%. Для случая шарнирного закрепления оболочки можно получить ориентировочные данные, сравнивая графики рис. 46 и 50.

Формулой (43) для верхнего критического напряжения рв при осевом сжатии круговой цилиндрической оболочки можно пользоваться при условии, что величина рв не превышает предела пропорциональности

Ниже приведены результаты решений задач о выпучивании оболочек за пределами упругости, полученные при рассмотрении устойчивости в малом. В практических расчетах следует пользоваться этими реше­ ниями с учетом экспериментальных данных. Эксперименты показывают, что при слабо развитых пластических деформациях необходимо так же, как и в пределах упругости, отличать устойчивость оболочек в малом н в большом. Поэтому рекомендуется при проведении расчетов исполь­ зовать верхние критические значения нагрузок, умноженные на попра­ вочные коэффициенты, учитывающие возможность выпучивания в боль­ шом. Когда пластические деформации значительны, можно вести рас­ четы лишь на устойчивость в малом.

Рассмотрим конкретные случаи. Используемые ниже величины Ес, Ек, фс, Фи определяют по формулам (54), (55) гл. 2; значения этих ве­

о п е р т а я по т о р ц а м , с ж а т а я в д о л ь о б р а з у ю щ е й у с и л и я м и р. Решение задачи по теории деформаций без учета эффекта разгрузки приводит к следующему выражению для безразмер­

(293)

что вытекает из формулы (43), полученной для упругой области, если принять V = 0,5.

По теории секущего модуля

_ 2 _ Н

(297)

р' ~ 3 Ес К •

Сравнение выражений (295а) и (297) показывает, что по теории де­ формаций без учета эффекта разгрузки получается более низкое значе­ ние для рв.

Применение теории течения приводит к формуле

(298) Обратимся к более общему случаю несимметричной формы потери

деформаций должно происходить по осесимметричной форме, следова­ тельно, при проведении практических расчетов следует пользоваться формулой (295а).

Обратимся к экспериментальным данным, относящимся к устойчи­ вости дуралюминовых оболочек, характеризующихся отношением длины

к радиусу = 2. Значение изменялось в пределах 20—130. По-

теря устойчивости при слабо развитых пластических деформациях со­ провождалась хлопком; при этом вмятины имели ромбовидное очерта­

ние, как в упругой области. С уменьшением число волн по окруж­

ности падало. В случаях, когда пластическая деформация до потери устойчивости была значительной, эффект хлопка при выпучивании исче­ зал, причем оболочки теряли устойчивость по осесимметричной форме.

На рис. 51 сплошная линия отвечает теории деформаций, штрихпунктирная — теории течения. Теоретические кривые мало отличаются одна от другой. Штриховая линия соответствует решению в упругой области (V = 0,5). Область экспериментальных точек ограничена тон­ кими линиями.

Результаты экспериментов в виде зависимости коэффициента а =