книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
.pdfОсновные понятия |
23.1 |
232 Основы теории колебаний механических систем
Схема
Число степе ней свободы
Продолжение табл. 6
Обобщенные Особенности координаты системы
Н ф |
^ |
ф |
Относительны |
Стержни |
абсо |
|
|
|
3 |
лютно |
жесткие. |
||
|
|
углы поворота |
Пружины |
|
массой |
|
Плоские |
колебания |
|
не обладают |
|
||
|
|
|
|
|||
2
Колебания системы диск—груз
2
Колебания системы диск—груз
Угловые переме |
См. |
особенности |
|||
щения |
Ф, <0 |
(ди |
схемы |
9 |
табл. 5. |
ска) |
И |
фя (*) |
Кроме |
того, стер |
|
(стержня а) |
|
жень |
а |
абсолютно |
|
|
|
|
жесткий |
|
|
та |
Угол |
поворо |
Качение не со |
ф, |
относитель |
провождается сколь |
|
ное смещение гру |
жением |
||
за |
у вдоль радиуса |
|
|
|
|
|
|
Форма |
изогну |
|
|
|
|
|
той оси балки зада |
||
|
|
|
|
на с |
точностью до |
|
|
|
|
|
нескольких параме |
||
|
|
|
|
тров |
и удовлетво |
|
'' |
|
|
|
ряет |
условиям за |
|
|
Параметры |
ах, |
крепления; |
напри |
||
1_ — - г |
- |
мер, |
|
|
||
. . ., ап |
|
|
|
|||
|
|
|
|
у = 2] а‘I 1 - |
||
|
|
|
|
|
1=1 |
1лх \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
С°5— ) |
|
|
Основные понятия |
233 |
|
7. Динамические системы с несколькими степенями свободы |
|||
Заданная механическая |
Динамическая расчетная схема |
Число |
|
система |
|
степеней |
|
|
|
|
свободы |
|
|
Простейшая |
|
Ковочный молот |
{про |
Уточненная |
2 |
дольные колебания) |
|
||
Автомобиль (плоские колебания)
1 Махобик
!
мЛ
_ 1Т - 1 |
г - Т № |
] |
4 •'//////У |
У/////У////////'/* '///>/> |
|
—с,*
Двигатель-генератор
Г^ 1
Простейшая
Уточненная
Упрощенная
ь
/7
/, и
и 0, и |
- с , - |
Уточненная
234Основы теории колебаний механических систем
&.Число степеней свободы при наличии элементов трения
|
|
Основные понятия |
235 |
|
9. Примеры непрерывно деформируемых систем |
||
|
__________ с распределенной массой__________ |
||
|
Схема |
Функции, определяющие конфигурацию |
|
|
|
системы |
|
1 |
Г - |
|
|
ф = Е = ^
Продольные колебания
| с ~ -------- |
7?------- |
Ъ -*- |
Крутильные колебания
*
I V
Изгибные колебания
Изгиб н кручение полосы
Общий случай изгиба пла стинки
С ё н
Продольные перемещения * (х, 0
Углы закручивания
Ч \х, *)
Поперечные перемещенля о ( х, 1)
Прогибы V (X, /).
Углы закручивания ф (л, /)
Прогибы
ш = и/ (г, а , ().
Прогибы
сг = ю (л:, у , /)
Прогибы
и)=и) {г, /)
Осесимметричный изгиб пла__стинки
236 Основы теории колебаний механических систем
КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Свободные колебания
Свободными называют колебания, происходящие после некоторого начального нарушения состояния равновесия механической системы, которая затем остается предоставленной самой себе и движется под действием восстанавливающих сил и, возможно, сил трения. В системах с одной степенью свободы это нарушение состояния равновесия харак теризуется начальным смещением у 0 и начальной скоростью о0.
Системы без трения. Независимо от конструкции системы диффе ренциальное уравнение движения при водится к виду
ту + су = 0 или у 4- р2у = 0, |
(4) |
|
в котором у — у (0—обобщенная коор |
||
дината; /и—инерционный коэффициент |
||
(обобщенная |
масса); с — коэффициент |
|
жесткости, представляющий собой ста |
||
тическую силу, способную вызвать пе- |
||
ремещение, |
ч |
с |
равное единице; р2= — |
||
Решение дифференциального уравнения |
(4): |
|
У= а 51П (р/ 4- ф) |
|
(5) |
описывает гармонические колебания с амплитудой а и круговой часто
той р. Закон движения |
показан на рис. 1, а, а фазовая диаграмма — |
|
на рис. 4. |
|
|
Амплитуду колебаний а и начальную фазу ф определяют по формулам |
||
« = ] / |
»о + - ^ - ; |
Ф = агс1ё ^ . |
Соответственно решение (5) может быть записано в виде |
||
У= УоСОЗ рх |
5Ш р1. |
|
Круговая частота колебаний определяется инерционны выми свойствами системы
и называется собственной частотой колебаний. Для одномассовых систем (подобных схемам /, 3, 4 табл. 5) в формуле (6) т — масса груза; с — коэффициент жесткости упругой связи. Для систем типа 3, 4 табл. 5 вместо формулы (6) можно пользоваться формулой
где !ст — статическое смещение груза под действием силы тяжести.
Колебания линейных систем с одной степенью свободы |
237 |
Для систем, совершающих угловые колебания (подобных схемам 5 и 9 табл. 5), инерционным коэффициентом служит момент инерции / груза относительно оси вращения; в этом случае формулу (6) записывают в виде
р = У - т > |
(8> |
причем коэффициент жесткости с вычисляют как момент статически при ложенной пары, способной вызвать угол поворота, равный единице.
Собственные частоты колебаний систем с одной степенью свободы
приведены в |
табл. 10. |
с п о с о б о п р е д е л е н и я |
с о б |
Э н е р г е т и ч е с к и й |
|||
с т в е н н о й |
ч а с т о т ы . |
Упругие механические системы |
без тре |
ния обладают свойством консервативности: полная энергия такой системы остается постоянной в течение всего процесса колебаний, т. е.
-^■(П + Т) = 0 , |
(9) |
где П — потенциальная энергия системы; |
Т — кинетическая энергия |
системы. Из соотношения (9) следует, что максимальная кинетическая энергия равна максимальной потенциальной энергии
Лгшах = 71тах (Ю)
(потенциальную энергию в положении равновесия принимают равной нулю).
Равенство (10) позволяет найти собственную частоту механической системы без составления дифференциального уравнения движения. Для этого нужно:
1)выразить максимальную потенциальную энергию Я,тах через амплитуду а обобщенной координаты;
2)выразить максимальную кинетическую энергию ^тах через
амплитуду ар обобщенной скорости; 3) подставить выражения Ятах и
Ттах в равенство (10) и найти собст венную частоту.
Пример |
1. |
Определить |
собственную |
|
|
||||
частоту плоских малых колебаний цилинд |
|
|
|||||||
ра радиуса |
г |
(рис. 5), |
находящегося |
на |
|
|
|||
цилиндрической |
поверхности |
радиуса |
7? |
|
|
||||
(движение без |
проскальзывания). |
|
|
|
|
||||
Пусть |
V |
— скорость |
центра тяжести |
|
|
||||
цилиндра, тогда угловая |
скорость его вра |
|
|
||||||
щения равна — |
и кинетическая энергия |
|
|
||||||
|
|
|
|
т у 8 |
1 |
тг3 ( |
о \* |
3ту* |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
\ |
г / |
4 * |
эдесь т — масса цилиндра; —------его момент инерции относительно оси.
Обозначим через <р полярную координату центра тяжести цилиндра при каче нии, а через а — амплитуду этого угла; тогда у = <р (Л — г)', 0тах = аР (Л—г).
Следовательно, максимальная кинетическая энергия составляет
- = ^т а*р' {Я-г)*. |
(И) |
238 |
О сновы т е о р и и к о леб а н и й м ех а н и ч еск и х си ст ем |
10. Собственные частоты колебаний систем с одной степенью свободы
Номер
схемы в табл. 5
1
3, но левый конец жестко закреплен
3, но оба кон ца жестко закреплены
4
9
Собственная частота р
V *
|
1 |
тЛзЁТ/ |
|
|
аЬ |
У |
т |
21 |
1 / |
|
3ЕЛ |
аЬ |
У |
та (За + 4 Ь) |
|
|
1 |
~\/~ЗЕЛ |
|
|
аЬ |
V |
таЬ |
|
1 |
-1/СЁ7 |
|
|
1 |
У |
гп1 |
Обозначения
Ой*
С —8пОш
0 — модуль сдвига; я — число витков пру
жины; й — диаметр сечения витка;
О— средний диаметр пру жины
р— радиус инерции катка;
с— коэффициент жестко сти (см. формулу к схеме 1)
ЕУ — нзгибная |
жесткость |
|
поперечного |
сечения |
|
балок; |
груза; |
|
а — абсцисса |
||
1 — расстояние |
между |
|
опорами |
|
|
Ь = / — а |
|
|
Е7 — нзгибная |
жесткость |
|
сечения |
одной из |
|
полос; / — свободная длина
ОУр— крутильная жест
кость поперечного сечения вала;
/— длина вала;
1— момент инерции мас сы диска относи-.
тельно оси системы
и |
|
р — плотность |
жидкости; |
у щ |
5 — площадь |
сечения по |
|
|
плавка по горизонтали |
||
|
|
||
12 |
")/**у- (при малых отклоне |
1— длина стержня; |
|
&— ускорение |
силы тяже |
||
|
ниях) |
сти |
|
Колебания линейных систем с одной степенью свободы |
239 |
Номер схемы Собствен»
в табл. 5
(при малых отклоне
13
ниях)
Продолжение табл. 10
Обозначения
о— растояние от оси вра щения до центра тяже сти;
р— радиус пнерцнн отно сительно оси вращения
V |
__________« р — радиус инерции относи |
|
V |
р* +(/■ — с)* |
тельно оси, проходящей |
(при малых отклонениях) |
через центр тяжести |
|
15
17
18
20
21
|
/ |
Яг* |
Я — вес; |
|
V |
('+*=)«-'» |
тяжести |
|
|
|
/ — момент инерции массы |
|
|
|
относительно центра |
(при малых отклонениях) |
|
||
] / |
-у- (при малых отклоне |
/ — длина стержня; |
|
5 — ускорение силы тяже |
|||
|
|
ниях) |
сти |
| / |
Г |
(при малых отклоне |
/ — длина стержня |
|
|
|
|
ниях)
1 / |
. 6 . (при малых откло- |
г |
а, — а, |
|
нениях) |
1 / с (от, + от,)
гот, + от,
1 /^ с (Л + 1 г)
У/» /.
— диаметр отверстий;
(1л— диаметр сечения ро ликов
ш,, от, — массы грузов;
с— жесткость упру гой связи
/, , / , —моменты инер ции массы ди
сков;
с = Ы р — жесткость вала на кручение
240 |
Основы теории колебаний механических систем |
|
|
Потенциальная энергия определяется высотой Л подъема центра тяжести |
|||
цилиндра |
Л = (Л — г) (1 — соз а); |
при малых углах можно положить |
Я » |
к (Я — г) |
Отсюда |
|
|
|
|
о. |
(12) |
Приравнивая выражения (11) |
н (12), находим собственную частоту |
|
|
|
р - 1 / ; щ г Ь ) |
(13> |
|
Соотношением (10) часто пользуются для приближенного определе ния низших собственных частот систем с распределенными параметрами в тех случаях, когда можно хотя бы приближенно предвидеть форму (конфигурацию) системы в процессе колебаний (способ Рэлея).
Согласно способу Рэлея задаются формой системы при ее колебаниях. Так, в случаях продольных, крутильных или изгибных колебании (схемы 7—3 табл. 9) принимают «подходящие» амплитудные функции
11. Формулы для вычисления собственной частоты, полученные по способу Рэлея
Тип |
Граничные условия, накла |
Квадрат собственной частоты |
|||||
колебаний |
дываемые на апрокенми- |
||||||
|
рующне функции |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
/ |
ЕР (и')‘ ах |
|
Продольные |
В закрепленных |
сечениях |
|
| |
|||
|
|
|
|
||||
(см. схему 1 |
и = 0 |
|
1 |
|
|
|
|
табл. 9) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
| |
ти- </дг + |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Крутильные |
В закрепленных сечениях |
|
| |
аар {ф')* ах |
|||
|
0 |
|
|
||||
(см. схему 2 |
|
|
|
||||
ф = 0 |
|
|
|
|
|
||
табл. 9) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|/ ф 8 Лг + |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Иэгибиые |
В шарнирно опертых сече |
|
| |
Еа {ь")г ах |
|||
ниях о=0; |
о"=0 в за |
|
|
|
|
||
(см. схему 3 |
1 |
|
|
|
|||
табл. 9) |
крепленных сечениях |
|
|
|
|||
|
о = 0; о' = 0 |
| |
то* йх |
^ т1 и\ |
|||
|
|
|
|
||||
О б о з н а ч е н и я : |
ЕР, |
^^р, Я ./— жесткости |
при |
растяжении, |
|||
кручении и изгибе; т, I — интенсивности массы и погонного момента инерции относительно оси системы; т^ — сосредоточенные массы и
моменты инерции относительно оси системы.