книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

в случае удлиненной пластинки ширины Ь при шарнирном опирании краев критическая деформация в упругой области будет

« 3,62 ( А ) 2

Считают, что наступит выпучивание при ползучести, когда сближе­ ние нагруженных кромок достигнет величины е к Р . Ю. Н. Работновым и С. А. Шестериковым предложен динамический критерий устойчивости

Более достоверные данные о выпучивании пластинок и оболочек при ползучести получают при использовании критерия начальных несовер­ шенств. Ниже приведены сведения по применению этого критерия.

Рассмотрим задачу о выпучивании при ползучести прямоугольной пластинки, шарнирно опертой по краям и сжатой усилиями р (рис. 31). Будем исходить из условия свободного сближения ненагруженных краев пластинки. Принимают, что кромки пластинки остаются пря­ молинейными.

Обозначим через и) и до0 полный и начальный прогибы пластинки. Основные уравнения теории гибких пластинок для случая пластинки,

стемы (74) и пользуясь методом Бубнова—Галеркнна, получим зави­ симость [1]

Если задано усилие р*, то из выражения (85) можно определить стрелу полного прогиба С и далее интенсивность деформаций в любой точке пластинки. Ограничимся определением этой величины для точек

Исследуя процесс ползучести при сложном напряженном состоянии, воспользуемся соотношениями теории упруго-пластических деформаций. Интенсивность деформаций ползучести определим в виде

Пользуясь теорией старения, примем следующую зависимость ин­ тенсивности деформаций Е; при установившейся ползучести от интен­

где величины А к т зависят от свойств материала.

Воспользуемся следующими соотношениями для составляющих деформации ползучести:

и примем следующие обозначения:

Рассмотрим промежуток времени Ы, считая от начала процесса пол­ зучести. Определив интенсивность напряжений в точках г = ±

126 У ст о й ч и во ст ь п л а с т и н о к

с ползучестью, сначала увеличивается, а затем процесс выпучивания пластинки «замедляется* н нарастание прогибов падает. Следовательно, для пластинки ползучесть не приводит к быстрому росту прогибов.

Результаты опытов по устойчивости плоских панелей в условиях ползу­ чести показаны на рис. 34. Здесь штриховыми линиями нанесены результаты испытаний на устойчивость плоских панелей из дуралюмина Д16АТВ в усло­ виях ползучести при температуре 250е С, через а обозначено отношение сжи­ мающего усилия к критическому значению. Сплошными линиями показаны теоретические данные. Как видим, эксперименты подтверждают результаты

тате опыта, проведенного с пластинкой, продольные края которой свободно перемещались (случай балки—полоски), эта кривая Ё (0 аналогична диа­ граммам, относящимся к стержням, и позволяет найти критическое время (кр

для балкн-полоскн.

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.В о л ь м и р А. С Устойчивость деформируемых систем. Изд. 2-е. М., «Наука». 1967.

и оболочек. Справочник проектировщика (расчетно-теоретический). Госстройиздат. 1960. Расчет пластинок. Справочник машиностроителя, т. 3. Машгиз, 1962.

4. И л ы о ш н н А. А. Пластичность, Гостехиздат, 1948.

5.Т и м о ш е н к о С. П. Устойчивость упругих систем. М.. Гостсхиздат. 1955.

6.В 1е 1с Ь Р. ВискИпе 5*гепя(Н оГ те(а1 з<гис(игез. N. V., 1952 (в пере­ воде: Блейх Ф.. Устойчивость металлических конструкций. М., Физматгиэ,

Глава 3

УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК

Рис. Рис. 2

ментным равновесным состояниям. В случае стержня (рис. 1, а) горизон­ тальная линия СЭ соответствует «безразличному» равновесию. Для пластинки (рис. 1, б) кривая закритических устойчивых состояний

Диаграмма равновесных состояний в случае оболочки, показанной на рис. 2, является несимметричной (здесь прогиб к центру кривизны откладывается вправо, а от центра — влево). Ветвь АВР лежит ниже точки разветвления (бифуркации) А. Участок А В соответствует неустой­ чивым равновесным формам, участок ВР — устойчивым. Точка А отве­ чает верхней критической нагрузке Рв) точка В — нижней критической нагрузке Рн. Верхней критической нагрузкой называют наиболь­ шую нагрузку, до которой исходное состояние равновесия оболочки

128 Устойчивость оболочек

является устойчивым по отношению к малым возмущениям (устойчи­ вость в малом). Под нижней критической нагрузкой понимают на­ грузку, до которой начальное состояние является единственным устойчивым равновесным состоянием (устойчивость в большом).

Если отсутствуют начальные прогибы, нагружение является стати­ ческим и в процессе нагружения имеет место строго безмоментное напряженное состояние оболочки (случай идеальной оболочки), то нагрузка Р должна возрастать вдоль ветви ОА и достигнуть верхнего критического значения, после чего произойдет скачок (хлопок) от со­ стояния А в состояние Р. Дальнейшее увеличение нагрузки будет про­ исходить по ветви Рй.

Резкий хлопок при потере устойчивости, как правило, влечет за со­ бой образование трещин или появление значительных пластических деформаций и приводит к потере несущей способности оболочки. Обрат­ ный процесс (падение нагрузки) будет происходить по линии ОВ. Линия ВО соответствует «выхлопу» оболочки. Затем снижение нагрузки будет происходить по линии 00. Следовательно, скачок при разгрузке оболочки происходит на уровне нижней критической нагрузки. Со­ стояния оболочки, соответствующие участку АС, не реализуются, так как им соответствует более высокий уровень энергии.

При потере устойчивости оболочек появляются не только напря­ жения изгиба, но н дополнительные напряжения в срединной поверх­ ности (цепные напряжения), в то время как для стержней и пластинок в момент потери устойчивости можно учитывать, как правило, только дополнительные напряжения изгиба.

Диаграмма ОА' В' В ‘ отвечает модели реальной оболочки, имеющей начальные неправильности формы. Исходное состояние в этом случае не является безмоментным; ветвь равновесных состояний при нарастании нагрузки (участок ОЛ#) не совпадает с осью ординат. Устойчивым положениям соответствуют ветви ОА‘ и В'И ', неустойчивым состояниям отвечает участок А'В' Скачок от одного положения устойчивого рав­ новесия в другое происходит на уровне А'. Нагрузки, соответствующие точкам А‘ и В ', называют верхней и нижней критическими нагрузками.

Оболочки весьма чувствительны к начальным неправильностям в форме срединной поверхности, которые сильно снижают верхнюю критическую нагрузку. Этим объясняется значительный разброс экспе­ риментальных данных по определению критических нагрузок для обо­ лочек.

В случае, если начальный прогиб направлен от центра кривизны, то начальная ветвь ОМ располагается слева от оси ординат. Участки N8" и В'Т>" отвечают другим возможным равновесным формам. Здесь возможен перескок ответви ОМ к ветви В "О", так как уровень энергии для точек ветви ВпЭ " может оказаться ниже, чем для точек начальной ветви.

Результаты последних исследований заставили пересмотреть общие принципы расчетов оболочек на устойчивость. Требование, чтобы эксплуатационная нагрузка не превышала нижней критической вели­ чины, соответствовало прежним теоретическим результатам: расчетные значения нижней критической нагрузки лежали вблизи нижней гра­ ницы экспериментальных данных.

После уточненных вычислений с помощью ЭЦВМ получены новые значения нижней критической нагрузки в наиболее характерных за­ дачах (например, при осевом сжатии цилиндрических оболочек), кото­

рые значительно ниже, чем в предыдущих решениях. Вновь найденные величины примерно в 10 раз меньше верхних критических значений. Правда, соответствующие равновесные состояния оболочки отвечают удаленным ветвям, переход к которым требует преодоления значитель­ ного энергетического барьера и является маловероятным. В то же время в отдельных случаях нижняя критическая нагрузка является даже от­ рицательной, т. е. имеет обратное направление по сравнению с основным состоянием. Следовательно, требование, чтобы эксплуатационная на­ грузка была меньше нижней критической величины, трудно выполнить; кроме того, это требование является излишним. Наиболее обоснованный расчет следует проводить с учетом влияния начальных неправильностей формы и других возмущающих факторов с использованием эксперимен­ тальных результатов и данных статистической теории. Статистиче­ ский подход является естественным, если речь идет о большом числе одинаковых элементов конструкции, изготовляемых в идентичных условиях.

Рекомендации для практических расчетов в различных конкретных случаях, полученные, как правило, на основании статистической обра­ ботки значительного числа экспериментальных данных, приведены ниже.

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ

Основные уравнения для круговых оболочек

Обозначения: к — толщина оболочки; Ь — длина оболочки; Я — радиус кривизны срединной поверхности. Положение любой точки срединной поверхности определяется координатами хл у\ коорди­ нату х откладывают по образующей, у — по дуге (рис. 3). Перемещения точек срединной поверхности вдоль координатных линий х, у и вдоль нормали обозначают соответственно че­ рез и, о, и; (положительными считаются прогибы ш, направленные к центру кривизны).

Рассмотрим вначале упрощенный вариант линейной теории, относящийся к случаям, когда выпучивание оболочек сопровождается появлением сравни­ тельно мелких волн, размеры которых, хотя бы в одном направлении, малы, по сравнению с размерами оболочки.

При этом оболочку в пределах каждой выпучины можно рассматривать как пологую. При потере устойчивости с образованием осесимметрич­ ных выпучин длина их должна быть мала по сравнению с длиной оболочки. Если же вмятина занимает всю длину оболочки, то число п волн, образующихся вдоль окружности, должно удовлетворять усло­