книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
.pdfУпругие круговые кольца |
51 |
24. Значения дкр к заиисимости от поведения нагрузки
Схема
\
ги *
/ / \ X |
2 \ \ |
\ |
^ |
Случай расположения нагрузки
Элементарные векторы нагрузки дй$ оста
ются параллельными первоначальным на правлениям
Элементарные векторы нагрузки д с!з оста ются нормальными к изогнутой оси кольца
Критическая нагрузка
(1кП
г3
Бесшарнирное кольцо
3*у .
г3 ’ кольцо с одним шарни
ром
1,39Ву
га * кольцо с двумя шарни
рами
0.80Вч г*
/ < |
^ |
\ |
Элементарные |
векторы |
4.50Ву |
нагрузки |
остаются |
||||
направленными к цен |
г3 |
||||
|
|
|
тру кольца |
|
|
Пр и м е ч а н и е . См. также к табл. 25.
25.Значения дкр и условия возникновения пространственной формы
_______________________ потери устойчивости_______________________
Схема |
Чкр |
в табл. 24 |
ъвх
3 ^
г3
\чвх
3
( < ♦ * ) "
Условия потерн устойчивости
^ АВУ Чкр < "7г -
Вх < В у
4.5В цкр < “ г3
П р и м м а и и е. Если указанные условия потерн устойчивости не выполняются, то расчетной является плоская форма потерн устойчи вости (см. табл. 24).
52 Устойчивость стержней
ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ Витые (естественно закрученные) стержни при сжатии
Пусть ху у, г — неподвижная прямоугольная система координат, ось которой г совмещена с осью стержня; г\ — главные центральные оси поперечного сечения; витыми (естественно закрученными) называют такие стержни, для которых угол ф между осями 5 и х (или, что то же самое, угол между осями г\ и у) является функцией координаты г (рис. 48, а). Практическими примерами стержней этого типа могут слу
жить спиральное сверло (рис. 48, б), лопасти воздушных винтов, ло патки турбин, буровые штанги и т. п.
Характеристикой закрученности стержня служит относительная крутка
' “ |
Т Р |
|
которая во многих случаях постоянна по длине стержня |
|
|
|
|
(42) |
где I — длина стержня; У — полный угол естественной закрученности, |
||
т. е. угол поворота системы осей | , |
г| относительно системы осей х, у |
|
при переходе от одного конца стержня к другому. |
|
|
Если главные изгибные жесткости поперечного сечения |
|
|
Вх — Ых! |
В ц= Е $у |
(43) |
равны между собой, то естественная закрученность не влияет на крити ческое значение сжимающей силы
, |
_ п*Вх |
л*Ву |
(44) |
|
кр |
(яОа |
(я0 “ ' |
||
|
Естественная закрученность оказывает влияние на критическое значение сжимающей силы только в случаях неравенства главных жесткостей Вх и Ву, а именно, повышает его. Критическую силу опре деляют по формуле
Ркр = х |
пгВц |
(46) |
|
О собы е с л у ч а и п р я м о л и н е й н ы х у п р у г и х ст ер ж н ей |
53 |
(предполагаем, что Ви <^Вх), причем поправочный коэффицнент и > 1 зависит от параметров стержня.
Типичная зависимость коэффициента к от полного угла закрученности 4я показана на рис. 49 (график построен для стержня, у которого отношение главных жесткостей равно 0,2). При углах V, возрастающих от нуля до значения 2л, коэффициент к постепенно увеличивается, но при больших значениях он остается практически постоянным.
Для значительно закрученных стержней ('К 2> 2я) поправочный коэффициент у. может быть определен по приближенной формуле
2ВХ
В х + В и ’
Стержни под действием следящих сжимающих сил
Следящими называют силы, направление которых меняется в зави симости от угловых перемещений сечений, в которых приложены силы. В частности, следящей является нагрузка на кольцо в схеме 2, табл. 25.
Действие продольных сжимающих сил, направление которых совпа дает с касательной на конце стержня, показано на рис. 50. Если в этом
сечении имеется опора (рис. |
50, а), |
то крити |
|
|
||
ческое значение сжимающей |
силы |
не отли |
\ |
р |
||
чается от значения, получаемого |
по формуле |
ч |
\ |
|||
Эйлера (44). Если же конец |
стержня свобо |
|
||||
ден (рис. 50, б), то потеря устойчивости про |
|
\ |
||||
исходит иначе. |
|
|
|
|
||
При достижении сжимающей силой крити |
|
\ |
||||
ческого значения прямолинейная форма рав |
|
\ |
||||
новесия становится неустойчивой, |
но искрив |
|
|
|||
ленных форм равновесия вообще |
не сущест |
177777777777 |
б) |
|||
а) |
||||||
вует и стержень приходит в состояние колеба |
||||||
ний с неограниченно возрастающими ампли |
Рис. 50 |
|
||||
тудами. Для исследования этого типа потери устойчивости метод Эйлера неприменим, и необходимо пользоваться
динамическим методом, т. е. составлять уравнения возмущенного дви жения и исследовать условия возникновения колебаний с возрастаю щими амплитудами.
Вследствие существенно динамического характера потери устой чивости критическая сила оказывается зависящей от распределения масс по длине стержня.
Наиболее простым оказывается решение в случае, когда масса со средоточена в концевом сечении стержня. Обозначив через / прогиб конца стержня, имеем, что поперечная сила инерции концевого груза будет
|
Я |
= — |
(46) |
Соответственно* |
изгибающий |
момент в текущем сечении |
стержня |
М = |
Е Ы = Р ([ — о) — (Р(р( — К) (I — г), |
|
|
54 |
У ст о й ч и во ст ь с т ер ж н ей |
где V= о (г, () — прогиб в текущем сечении в произвольный момент времени ф/ = ф/ {I) — угол поворота концевого сечения. Отсюда следует дифференциальное уравнение
хГ + а2и = а2[ — ( а 2ф/ — (/ — г),
в котором обозначено
Проинтегрировав это уравнение по координате г и подчинив решение граничным условиям на защемленном конце, получим
V — |
^ ф / — |
|
|
|
^ ( а / с о з а г — з т а г — а / + |
а г ) + |
/ (1 — с о |
||||||||||||
На |
свободном |
конце стержня должно |
быть |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о = |
/; |
|
= |
ф /; |
|
|
|
|
|
|
|
|
отсюда |
следуют два |
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( |
ф / |
— |
^ |
|
|
^ ( а / |
сIо—з а з |
т |
а / ) |
— |
а |
/ |
с о з |
а / |
— 0 ; |
|
||
( ф / — |
а |
^ |
/ |
) |
^ |
|
|
|
8*п |
|
“” |
С08 |
а |
0 |
+ |
|
8 *п а / |
— ф / = |
|
Исключив угол ф/ и подставив выражение (46) для силы инерции, |
|||||||||||||||||||
приходим к |
основному дифференциальному |
уравнению задачи |
|
||||||||||||||||
где обозначено |
|
|
|
|
/ + |
^ |
= 0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
а 2Е / |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
т (31П а1 — а/ соз а/) |
* |
|
|
|
|
|
||||||
Условие |
устойчивости |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
со2 |
> |
0 ; |
з |
т |
а / |
— |
а / |
с о з |
а |
/ |
> |
0 ; |
|
|
отсюда получают критическое значение параметра а/: |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а/ = |
4,493 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и критическое |
значение силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ркр = 20,2
которое в данном случае примерно в 8 раз больше критического зна чения силы, если она сохраняет неизменное направление, параллель ное первоначальному.
Результаты решения других, более сложных случаев, приведены в табл. 26.
|
Особые случаи прямолинейных упругих стерокней |
55 |
|||||||
|
2(1. Некоторые |
случаи |
определения критических нагрузок |
|
|||||
|
|
при действии следящих сжимающих сил |
|
||||||
|
|
А. Сосредоточенная нагрузка |
^Ркр — "П |
т1п | |
|
||||
Характеристик |
|
|
ых свойств |
Значение коэффициента т) |
|||||
Невесомый |
стержень |
с сосредоточенной |
|
20,19 |
|
||||
на конце |
массой |
|
|
|
|
|
|
|
|
То же, но концевая масса обладает ко |
По рис. 51, а |
|
|||||||
нечным радиусом |
инерции р |
|
|
|
|
||||
Масса т равномерно распределена по |
|
20,5 |
|
||||||
длине стержня .<инерция вращения не |
|
|
|
||||||
учтена) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То же, |
но, |
кроме того, |
на конце имеет |
По рис. 51, б |
|
||||
ся сосредоточенная |
масса М |
|
|
|
|
||||
|
|
Б. Распределенная нагрузка |
^ <7^ = Л -у р | |
|
|||||
|
|
Схема |
|
|
Значение |
коэффициента |
1) |
||
у -------------- 1 |
---------- . |
р |
18,96 |
|
|||||
1 |
- |
1 |
_______ - |
|
|
|
|
||
|
2 _ |
|
X |
|
|
р |
|
40,7 |
|
|
_______ , _____ Э * |
|
|
|
|||||
^ |
|
|
|
|
|||||
56 |
Устойчивость стержней |
Скручиваемые стержни
Скручиваемый длинный стержень может потерять устойчивость, причем ось его принимает форму кривой двоякой кривизны. Крити ческим является то значение крутящего момента, при котором пря молинейная форма оси перестает быть формой устойчивого равно весия.
Если кроме крутящих моментов на стержень действует также про дольная сила, то критическое значение скручивающего момента сни жается (при сжатии) или возрастает (при растяжении).
Данные для определения критических значений скручивающих мо ментов при различных способах закрепления концов двухопорного скручиваемого стержня приведены в табл. 27.
О б о з н а ч е н и я ; Вх и Ву — главные жесткости при изгибе;
С — жесткость стержня при кручении.
|
Тонкостенные стержни |
57 |
||
27. |
Формулы для определения |
критических |
скручипающнх моментоп |
|
I1 |
|
|
|
|
Закрепление концов стержня |
Действующая нагрузка |
к |
Критическое значение |
|
|
||||
|
Скручивающие момент |
1 |
м |
2лВ .. |
|
= ___У |
|||
О |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
о. |
Скручивающие моменты к |
1 |
|
|
о. |
|
|
||
сжимающая сила Р |
|
|
|
|
се |
|
|
|
|
а
Концы заделаны
То же |
0,5 |
См. график на рис. 52, а |
||
Скручивающие моменты |
|
|
8.97Д |
|
‘ |
|
|
/ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ВУ |
|
|
КР |
М + ]УМ г + 4 В у Р |
|
То же н сжимающая сила Р |
- |
Коэффициент х |
по графику |
|
на рис. 52, 6 в |
зависимости |
|||
от
А В Р
( М * + V М + 4 В Р ) '2
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
Общие сведения *
Для тонкостенных стержней с открытым профилем сечения харак терна относительно небольшая жесткость при кручении. Вследствие этого при сжатии (центральном или внецентренном), а также при изгибе таких стержней становится возможным особый вид потерн устойчивости, выражающийся в появлении закрученных или изогнутозакрученных форм равновесия (рис. 53).
О б о з н а ч е н и я : х, у — главные центральные оси поперечного сечения; г — продольная ось стержня, проходящая через центры тя жести его поперечных сечений; ах и ау— координаты центра изгиба поперечного сечения в системе осей х и у\ и и о — перемещения центра изгиба сечения в направлениях осей х и г/; ф — угол поворота сечения вокруг центра изгиба; и Ту — главные центральные моменты инер ции поперечного сечения; Е^x и ЕЗу — главные жесткости при изгибе;
• Об особенностях тонкостенных стержней, их секториалышх характе ристиках и расчетах на прочность и жесткость см. т. I, гл. 12.
58 |
Устойчивость стержней |
||
0 ^к — жесткость при свободном кручении; |
— секториальный момент |
||
инерции; |
Е^&— секториальная |
жесткость; гр — полярный радиус |
|
инерции |
поперечного сечения; |
Л2 = |
(рис. 54). |
Возмущенная форма равновесия характеризуется тремя функ циями и (г), и (г) и ф (г) и описывается системой трех дифференциальных
уравнений. Решение этой системы должно удовлетворять граничным условиям, зависящим от закрепления концов стержня (табл. 28 и 29), где предполагается, что при свободе перемещений концов отсутствуют активные нагрузки на этих концах.
23. Граничные условия, соответствующие изгибу в плоскостях хг н уг
Схема
1
2
*’
3
Характеристика закрепле ния конца
Заделка: поворот и про гиб невозможны
Шарнирная опора: прогиб равен нулю, изгибаю щий момент отсутствует
Свободный конец: изги бающий момент и попе речная сила равны иулю
Граничные условия
и= 0; и' = 0 или о=0; о' = 0
//=0; ^"==0 или
и"= 0; ит = 0 или р"=0; V*= 0
Тонкостенные стержни |
59 |
2 9 . Г ран и ч н ы е усл ови и , с о о т в е т с т в у ю щ и е |
зак р уч и в ан и ю |
вок руг о с и 2 |
|
Схема
/ ^4жи
Ь?---------------
---------------
3
^ -----------------
1111
Характеристика закрепле ния конца
Полная заделка: поворот идепланацня отсутствуют
Частичная заделка: пово рот невозможен, депланацип свободная
Частичная заделка: сво бодный попорот, депланацня отсутствует
Свободный конец: свобод ный попорот, свободная дспланацин
Центрально сжатые стержни
Граничные условия
Ф = 0; ф' = 0
ф = 0 Ф" = 0
Ф' =0; Ф" = к2ф'
ф" — 0; ф" = /г2ф'
Возмущенные формы равновесия описываются системой дифферен циальных уравнений
й*и |
А2и |
А-ф л |
Е^ 1 ? |
+ Р о ? + Ра» 1 ? = 0 - |
|
|
|
(47) |
где Р — сжимающая сила. |
оси симметрии. В этом случае |
|
Случай, когда сечение имеет две |
||
ах ~ иу = 0 и система дифференциальных уравнений (47) распадается на три уравнения
|
|
Ахи , |
(Ри |
|
|
Ы у А ? ~ г И 1 й 2 " =0; |
|
||
|
|
АгА 1 |
Аг* |
(48) |
|
|
|
||
Е1 |
^4(Р |
I (р г2 _ П] \ |
_л |
|
|
• 3 ? |
+ \РГР |
ы *)л* |
|
60 |
Устойчивость стержней |
Вследствие независимости дифференциальных уравнений (48) воз можны три различные и несвязанные один с другим возмущенные формы равновесия: две чисто изгибныеи одна чисто крутильная; каждой из них соответствует свое критическое значение нагрузки.
При граничных условиях
и = V = Ф = 0; и" = о" = ф" = 0 при 2 = 0 и г = I |
(49) |
(см. схему / в табл. 30) решением системы (48) служат выражени
4 |
7X2 |
; |
п |
7X2 |
^ , |
1Т2 |
^ е ^ \\ |
. |
и = А 51П |
—у |
|
V = В 5Ш —у ; |
<р = |
С з!п —у |
|
Для существования этих возмущенных форм равновесия должны вы полняться неравенства А Ф 0, В =$=0, С Ф 0, что приводит к следу ющим трем критическим значениям сжимающей силы:
За расчетную принимают наименьшую из найденных трех критиче ских сил.
При других способах закрепления концов стержня критические
значения сжимающей силы |
определяют |
по формулам |
|
, |
|
х |
я *Е1У |
х ~ |
(йО2 ’ Уу~ |
(ц/)а > |
|
в |
II |
•0^1 — |
|
где р — коэффициент длины при изгибных формах потери устойчивости; V — коэффициент длины при крутильной форме потери устойчивости. Значения р см. стр. 17, значения V приведены в табл. 30.
Случаи, когда сечение имеет одну ось симметрии. Пусть главная центральная ось поперечного сечения х является его осью симметрии.
Тогда ау = 0 и |
система |
уравнений |
(47) |
приобретает |
вид |
|
|
|
Е1Ч ? + Р 1 ? - 0' |
|
|
||
|
г» |
Р — |
— Рп |
^ |
= 0; |
(53) |
|
Ы х аг* + Р йг2 |
Рах№ |
|
|
||
р т |
_ 1 / р Л __ПТ \ |
__Ра |
__О |
|
||
|
' |
р |
йг2 |
Рйх йг2 |
|
|
Первое из этих уравнений соответствует чисто изгибной форме потери устойчивости (изгиб в плоскости симметрии стержня), а два других уравнения — изгибно-крутильной форме потери устойчивости