книги / Общая термодинамика.-1

где один из параметров зависит от двух других.

6.4. Для сравнения укажем, что уравнение состояния термодина­

6.5.При сопоставлении (6.2) с (6.3)—(6.5) сразу видна предель­ ная рациональность (6.2) с точки зрения использования минималь­ ного числа параметров («собственных» и «заимствованных») для описания состояния термодинамической системы. Выигрыш с этой точки зрения вполне очевиден. Но весь вопрос состоит в том, како­ ва цена этого выигрыша. Ответ будет дан ниже, ибо для его обо­ снования требуется дополнительный анализ всех трехпараметриче­ ских систем.

6.6.Обсудим вопрос о том, все ли уравнения состояния для трехпараметрических термодинамических систем даны уравнениями (6.2)—(6.5). Возможно ли в самом общем виде представить их неко­ торой единой схемой, позволяющей увидеть их термодинамический «генезис»? Как видно из таблицы, для трехпараметрической термо­ динамической системы возможны пять типов фундаментальных уравнений состояния. Это обусловлено теми возможностями, кото­ рые в таких системах_могут реализоваться при обозначении (опре­ делении) параметра П2\ напомним, что термодинамическая приро­ да его, обозначенная условным_номером 2, может быть любой; это же относится и к параметрам П \ , П з. И все же, как видно из табли­ цы, один из трех обобщенных параметров, в данном случае П2, специфичен, ибо он может быть определен как «собственными» так

и«заимствованными» базовыми экстенсивными и интенсивными параметрами.

Выявить «собственность» параметров можно было только при системном анализе трехпараметрических систем. Но как только от­ крывается новое свойство термодинамических параметров, условно названное здесь как «собственность» (это свойство может возник­ нуть — см. также стр.72 — только в дву- и многопараметриче­

ских системах), так возникает вопрос о том, как оно проявляется

вдругих л-параметрических системах.

6.7.Следуя уже используемой при рассмотрении систем второго рода первого и второго типа схеме, отправляясь от (6.1), можно

записать

Положим, функция Ш является полным дифференциалом. Тог­ да, учитывая (6.1.2), можно записать

Подставляя (6.7) в (6.6) и преобразуя, получаем

6.8. Уравнение (6.8) в определенной мере подобно уравнению (5.3) , но между ними есть и принципиальное отличие по термодина­ мическому смыслу явлений, определенных этими уравнениями. В (6.8) обобщенный экстенсивный Щ и интенсивный Х\ параметры одной физической природы, а в (5.3) они по термодинамической природе различны — это П\ и Хг. В этой связи нельзя еще раз не отметить, что уравнению (6.8), происходящему от (6.1), соответ­ ствует (6.2), в то время как уравнению (5.3), происходящему от (5.1), соответствует уравнение состояния (6.5). Таким образом, по­ нятно различие между термодинамическими системами второго ро­ да, относящимися ко второму и третьему типам. Это различие чет­ ко и однозначно можно проследить, если использовать, как это и сделано выше, соответствующие верхние знаки и нижние индексы. Если этого не делать, то выявить различие между (5.3) и (6.8) не­ возможно.

6.9. Чтобы лучше представить термодинамическое содержание явления, определяемое (6.8), рассмотрим следующий пример. Для этого, отправляясь от (6.8) и от первого начала термодинамики (1.3) , примем следующие обозначения:

т = Q; Пг = U; П3 = А; Х х = Т9 Х ъ = р; Пъ = v. (6.9)

смысл), усложняя лишь термодинамическую интерпретацию явле­ ния на математическом языке.

6.11. Точно определенное как термодинамическим, так и матема­ тическим языком явление, записанное в известном виде (6.15), дает­ ся обобщенным уравнением (6.8), базирующимся на однозначном определении рассматриваемой термодинамической системы соглас­ но (6.1), (6.2), (6.6).

Но (6.8) говорит о том, что считающееся в термодинамике важ­ нейшим и исключительным по своей физической природе явление, определяемое (6.15), не является исключительным; оно лишь одно из целого ряда многих, соответствующих опосредованным услови­ ям (6.1) и (6.2) существования и оценки термодинамической систе­ мы второго рода, тип третий. Ведь вместо назначения параметров (6.9) возможно по той же схеме назначить и иные измеряемые тер­ модинамические параметры состояния одноуровневой системы.

6.12. Возможо представить целый ряд моделей термодинамиче­ ских систем второго рода, тип третий. Назначение группы парамет­ ров для каждой модели удобно производить, пользуясь (6.2). Так, например, во-первых, примем Х\ = Т\ Хз = а; /73 s s, где s — пло­ щадь и а — поверхностная энергия. Внутренняя энергия всегда яв­ ляется параметром состояния термодинамической системы; следо­ вательно, функция U всегда является полным дифференциалом, что обеспечивается соответствующим набором параметров в

U= ЩПи Я 2, ..., Пп) = U x (Xu n t;X 2, Я 2; Х н, Пп).

Эта конкретная модель термодинамической системы будет опреде­

Тогда соответствующее дифференциальное выражение для теплоты будет

У т dT + д$)т + CTrJ ds. (6.19)

Во-вторых, в другой модели термодинамической системы можно принять Х\ s Е\ Хз = о; Лз = s. Тогда соответствующее дифферен­ циальное выражение для электрической энергии будет

Аналитический вид (6.20) подобен виду (6.15); возможно получить

идругие уравнения состояния для систем второго рода, тип третий.

6.13.В заключение заметим, что для рассмотрения системы вто­ рого рода, тип третий, не потребовалось привлекать параметр П ° (например, теплоемкость) и тем более говорить об исключительнос­ ти теплоты. Не было необходимости говорить и о том, что непол­ ный дифференциал характеризует, как иногда считают, некоторое особое в классической термодинамике явление.

7.Термодинамическая система второго рода, тип четвертый

7.1. Сопоставляя тип первый и второй термодинамических сис­ тем второго рода, нельзя не обратить внимание на определенную симметричность систем уравнений (4.1) и (5.1), а также соответ­ ствующих уравнений состояний (6.4) и (6.5).

Симметричным уравнению состояния термодинамической систе­ мы третьего типа (6.2) будет уравнение состояния для таковой, но четвертого типа:

Приведенная выше таблица позволяет представить место этого уравнения состояния среди прочих.

7.2. Система уравнений, соответствующая этому типу термоди­ намических систем второго рода, будет, согласно (3.1), следующей:

Для этой термодинамической системы, отправляясь от (1.2) и (3.4.1), с учетом (7.2) имеем, подобно (4.3), уравнение

полагая (в том же приближении, которое традиционно делалось для теплоемкости) эту частную производную как бы постоянной, но в данном случае при некотором минимальном значении импуль­ са 3Q —A^min*

Далее, примем известные в квантерной термодинамике (о ней см. стр.359) определения

Тогда вместо (7.9) можно получить дифференциальное уравнение

которое структурно аналогично (1.3), но имеет, конечно, принципи­ ально иной термодинамический смысл.

7.7. Уравнение термодинамики (7.13) характеризует такие явле­ ния в термодинамической системе, которые, пользуясь принятыми определениями, можно назвать квантово-механическими. Но эти квантово-механические явления относятся не к конкретному единич­ ному элементу, а опосредованно к термодинамической системе, со­ стоящей из очень большого числа единичных квантово-механиче­ ских элементов, имеющих одинаковые или разные квантово­ механические характеристики. Опосредованно для такой термодина­ мической системы, оцениваемой, напомним, измерениями извне, квантово-механические параметры будут представлены определен­ ными значениями квантера и частоты. Фундаментальность тепло­ вых и квантово-механических явлений определяет значение уравне­ ний (6.8) и (7.6), а также их конкретных форм (1.3) и (7.13).

7.8. Итак, первое начало термодинамики, записанное в обобщен­ ной форме (6.8), полностью абстрагируется от тепловых законов, сформулированных при изучении тепловых машин. Обнаружение в результате теоретического анализа, кроме (6.8), также и (7.13), вы­ зывает необходимость, следуя традиции, говорить о существенно разных формах первого начала термодинамики, причем нельзя за­ бывать и о других специфичных формах, определенных (4.6) и (5.3). Отсюда возникает вопрос: какую форму закона сохранения энергии считать первым основополагающим законом в классической термо­ динамике? Вопрос этот получает свое полное разрешение, если основополагающим считать обобщенный закон сохранения (1.1).

8. Частный случай термодинамической системы второго рода, тип четвертый

8.1. Выделение рассматриваемого здесь частного случая обус­ ловлено критическим, минимальным по 77,-параметру состоянием термодинамической системы, в силу чего и специфичен данный частный случай. Обсуждение его начнем с рассмотрения ситуации, когда изменение внутренней энергии системы, определенной (7.13), не происходит. Внутри же системы имеют место явления, которые выше уже были названы термодинамическими квантово-механиче­ скими. Тогда из (7.13) получаем

Отсюда, переходя к некоторым конечным значениям количества движения (импульса) и частоты, учитывая указанную выше связь частоты с длиной волны (с линейным параметром) также некото­ рых соответствующих конечных размеров, получаем

8.2. Если уменьшать термодинамическую систему по данному базовому экстенсивному параметру, а именно по квантеру, до мини­ мального значения, то в пределе, учитывая (8.2), получим

где А — элементарный квант действия, постоянная Планка. Таким образом, исходя из принципа дискретности термодинамических па­ раметров, всегда

Последнее выражение, если рассматривать правую его часть, в при­ нципе подобно известному соотношению неопределенностей Гейзен­ берга. Это лишний раз подтверждает фундаментальность термоди­ намических уравнений, в частности уравнения (8.4). В этой связи возникает необходимость специального анализа (8.4) и рассмотре­ ния всех физических явлений, отражаемых термодинамическим за­ коном в данной конкретной и обобщенных (7.13), (7.9), (7.6) формах.

8.3. Соотношение (8.4) является собственно термодинамическим. Для термодинамических трехпараметрических систем первого рода вместо (7.13) по принципу построения уравнения (3.8) можно запи-

Из (8.6) и (8.5) получаем соотношения Максвелла

(8.7)

Эти соотношения наиболее полно раскрывают содержание вы­ ражения (8.4) для случая равенства правой и левой его частей. Пер­ вое приближение, отправляясь от (7.13), используя преобразование Лежандра, можно получить из

при постоянных и = Со; х = h и приближенных значениях dq ~ Aq\ dv Av.

8.4. В том случае, когда явление обусловлено только превраще­ ниями внутри системы, в частности доведя систему до размеров ее отдельного элемента (это возможно, как исключение, для термоди­ намических систем, состоящих из одинаковых элементарных ча­ стиц) сразу приходим к (8.4). Знак «неравенство» возникает, только если (8.4) есть производная от неполного дифференциала, записан­ ного в общем виде как (7.9). Таков термодинамический аспект тех соотношений вида (8.4), которые трактуют как принцип неопреде­ ленности.

8.5. Как уже отмечалось выше, термодинамическая система, ес­ ли следовать принципу дискретности, содержит конечное множе­ ство частиц. Отдельная частица, ее поведение в общем-то не явля­ ются объектом термодинамики. Однако в тех случаях, когда термо­ динамическая система состоит из одинаковых частиц и когда отдельная частица определяется теми же параметрами, что и сово­ купность этих частиц, термодинамические принципы со строгим по­ ниманием ограниченности такого подхода могут быть полезны и при рассмотрении отдельных частиц.

Поэтому выше и был выполнен анализ (7.6), приведший к соот­ ношению (8.4). В термодинамическом плане он утверждает положе­ ние о дискретности данной системы и о минимальном размере ча­ стиц, ее составляющих.