книги / Общая термодинамика.-1

В конкретном, определенном (12.11) случае работа в отличие от такой, как

физический смысл которой недостаточно ясен, обстоятельно рас­ смотрена со всех сторон и представляется как бы эталоном работы, способной определенным образом превратиться в теплоту, и наобо­ рот. Но обобщенный подход требует распространения всего того, что сказано о работе по (12.11), на все /-й природы работы, опреде­ ленные по (6.1), (6.2), (6.6) и, в конечном счете, по (6.8), однозначно говорящем о сути явления. Ведь если подходить строго, из (12.11) не видна специфика Ар-й работы, раскрытой в (6.8).

13. О многопараметрических термодинамических

системах и коэффициенте полезного действия

13.1.Введение термодинамических обобщенных пфаффовых форм сводит рассмотрение многопараметрических термодинамичес­ ких систем к обсуждению техники решения определенных задач применительно к трехпараметрическим, а также к дву- и однопара­ метрическим системам. Действительно, уравнения (12.4), (12.5) можно считать термодинамическими уравнениями состояния, запи­ санными в наиболее общем виде. Анализ содержания этих уравне­ ний и конкретизация их вида зависят от практической задачи. Сре­ ди таких задач — определение коэффициента полезного действия.

13.2.Обсуждение (ранее его уже проводили при анализе однопа­ раметрических систем) величины коэффициента полезного действия (КПД), который обозначим как гу, начнем с рассмотрения термоди­ намической системы первого рода, определяемой параметрами из (3.2), среди которых выберем

Тем самым, до тех пор, пока не будет сказано иного, принимается, что явления, обозначенные условным номером «2», на величину ко­ эффициента полезного действия не влияют. Дифференциальная (полная пфаффова) форма от (13.1) при hi = 1, отправляясь от (2.2) и (3.4.1), будет

Как следует из (13.6) и (13.8), в трехпараметрической системе всегда

13.6. Поведение термодинамических систем второго рода, тип четвертый, определяется (7.6), получаемым из (7.4), которое также можно определить соответствующей системой уравнений (13.1). Дифференциальная (полная пфаффова) форма от (13.1) при /31 = 1 тогда будет

Переходя к конечным значениям, из (13.10) для систем четверто­ го типа также следует определить КПД как

Для систем второго рода, тип четвертый, из (7.6) при конечных значениях также понятным образом получаем

Таким образом, величина КПД машин второго рода, тип четвер­ тый, лежит в пределах

По мере роста вклада явления № 2 в ситуацию, имеющую место в термодинамической системе, определяемой (7.2), и сокращенно, с учетом отнесения системы к четвертому типу, по (13.1) величина щ уменьшается и

limjj4 0,

(13.14.1)

при (d n f /дХз)щ -» Пз,

что нагляднее записать как

limщ -*■0,

(13.14.2)

при ДДг? -» А П з .

Согласно (13.14), величина КПД машины второго рода, тип чет­ вертый, будет уменьшатся по мере того, как явление № 2 будет ста­ новиться соизмеримым (эквивалентно) с явлением № 3.

С другой стороны, и в системах четвертого типа

limr/4 1,

(13.15)

при (дЩ /дХ з)я,“>0.

13.7. Пределы (13.8), (13.15) имеют принципиальную общность: они гипотетически (математически, но не термодинамически) дости­ гаются при превращении термодинамических систем (машин) вто­ рого рода в системы (машины) первого рода. При этом роль явле­ ния № 2 сгановится пренебрежимо малой. Система из 1,2, 3- трехпараметрической практически превращается в 1, 3-двупараметри- ческую. В силу отмеченной выше аналитической симметричности уравнений второго рода типов 3 и 4 все сказанное о 44 при опреде­ ленной трансформации приемлемо и к 1/3.

Сопоставление пределов (13.7) и (13.14) позволяет глубже понять принципы работы термодинамических машин (систем) второго ро­ да, типы третий и четвертый. Подобным образом можно рассмат­ ривать и термодинамические машины (системы) второго рода, ти­ пы первый и второй.

Возможность представить такой важный критерий явлений в термодинамических системах, каким является КПД, в виде соотно­ шений параметров открывает дополнительные пути его исполь­ зования.

14.О работе в системах первого и второго рода

14.1.В термодинамических системах первого рода работа, на­ пример, за счет явления № 2 из (3.4.2) может быть при Хг = const определена как

Согласно представлениям классической термодинамики, эта ра­ бота совершается равновесно (обратимо) и есть минимальная по ве­ личине работа, которую может осуществить система в таких ус­ ловиях.

Можно сказать, минимальная работа А соответствует принципу наименьшего действия, происходящего на кратчайшем пути по ко­ ординате Пг при переходе системы из равновесного состояния 1 в равновесное состояние 2.

14.2.Кратчайшее расстояние между начальным (7) и конечным

(2)состоянием может иметь только одно значение. Вместе с тем

известно, что для систем, называемых здесь как термодинамические системы второго рода, в классической термодинамике был рассмот­ рен частный случай систем третьего типа по (6.8), определяемый (6.10). Работа А п перехода системы из состояния 1 в состояние 2 описывается неравенством

Причину неравенства (14.2) зачастую усматривают в том, что со­ стояние в системе второго рода описывается неполным дифферен­ циальным уравнением. В простейшем случае для систем второго рода тип второй из (5.2) при Хг = const

Если определить для систем второго рода относительную работу на малом участке пути от состояния 1 к состоянию 2 как

(14.4)

то, разделив (14.3) на (14.1) и преобразовав его, приходим к опреде­ лению квазипути, на котором совершается работа, из

(14.5)

14.3. Приведем некоторый условный пример, в котором примем /73 = L (длина, путь). Тогда Х хз х = F* х — некоторое одномерное давление (сила). Также примем, что Пг = S и соответственно

Хг = Т. Такое значение параметров обусловливает возможность об­ ратимого изменения теплоты при необратимости механической ра­ боты d A xx = F x х dL. Путь, по которому совершается эта работа, будет

2

14.4. Проблема работ в термодинамических системах была рас­ смотрена в первом качественном приближении, да и то на простей­ шей системе второго рода, тип первый. Решение приведенных вы­ ше дифференциальных уравнений состояния систем второго рода в сопоставлении с уравнениями для систем первого рода позволит осуществить второе приближение и, возможно, для некоторых слу­

чаев рассчитывать величины работ перехода термодинамической системы того или иного типа из состояния 1 в состояние 2.

14.5. Рассмотрим пример первого приближения к решению зада­ чи расчета избыточной работы. Для этого сопоставим (3.4.2)*, определяющее изменение обобщенных экстенсивных параметров в равновесной системе, с (4.6). Последнее уравнение в данном случае удобно записать как

В силу (14.8), как очевидно,

rf/7lH> d llip

на (почти) точную эквивалентную величину избыточного обобщен­ ного экстенсивного параметра, в частности избыточной работы

Особо подчеркнем, что, согласно (14.9), избыточная работа про­ исходит за счет явлений 2 и 3. Поэтому, исследуя только явление 7, работу эту трудно обнаружить. Для э спериментатора такая ра­ бота как бы трансцендентна. Ее, не зная (14.8), можно обнаружить лишь случайно, как некоторый феномен.

* В этом уравнении для равновесных процессов доопределим П\ как П\р \ на неравновесность указывает нижний «н»-индекс, а на избыточность параметра — ниж ­ ний «и»-индекс.

15.О первых началах термодинамики, теплоте и работе

15.1.Выше было осуществлено построение параметрической термодинамики, предусматривающее переход от простых — одно­ параметрических к многовариабельным — двупараметрическим и далее к особо сложным трехпараметрическим системам. Логика познания термодинамических явлений приводит к необходимости обсуждения того, что считалось основой термодинамики — ее на­ чал. Действительно, изложенное выше не может не вызвать вопрос: что же является первым началом термодинамики — конкретное уравнение (1.3), в частности в виде (6.10), или его обобщенная фор­ ма (6.8), позволяющая утверждать, что наряду с конкретным (1.3) существует целый ряд подобных фундаментальных законов, харак­ терных для термодинамических систем второго рода, тип третий? При этом сразу подчеркнем, что имеется в виду не закон сохране­ ния, а лишь частная форма его записи (1.3).

15.2.Принципиальное отличие (6.8) от (7.6), вытекающее из тер­ модинамической сущности систем, определяемых существенно раз­

личными уравнениями состояния (6.2) и (7.1), предопределяет их несводимость к некоторому единому опосредованному закону (1.3). Это вызывает необходимость говорить, что (7.6) и, в частности, (7.13) есть некоторое иное первое начало термодинамики. Иными словами, получается, что есть два первых начала.

Аналитически (5.3) подобно (6.8). Вместе с тем есть и принципи­ альное различие между ними, обусловленное разными уравнениями состояния (6.5) и (6.2) соответственно. А уравнение (4.6) подобно (7.6) при существенном различии (6.4) и (7.1) соответственно. Таким образом, получается, что есть уже не две, а четыре несводимые друг к другу формы записи закона сохранения, четыре первых нача­ ла. Следуя только что сказанному, можно заключить: первичное — правило назначения параметров данной системы и вторичное — со­ ответствующее конкретное выражение всеобщего закона со­ хранения.

15.3. Закон сохранения может быть выражен обобщенными фор­ мальными (6.2)—(6.5), (7.1) и конкретными (3.4), (4.3), (4.4), (6.6), (7.3), а также многочисленными часгными, например вида (1.3), (7.13) , уравнениями состояния для термодинамических систем двух родов. При этом второй род систем представлен четырьмя типами, и лишь один частный случай для систем третьего типа, математи­ ческое выражение, имеет вид уравнения (1.3), определяемого ныне

в термодинамических работах как первое начало термодинамики. Большая общность уравнения состояния (2.1), выражающего в об­ щем виде закон сохранения и эквивалентного превращения

/

позволяет отнести (15.1) к основополагающим термодинамическим законам.

15.4. Первое следствие, вытекающее из выполненного анализа, состоит в том, что первое начало классической термодинамики сле­ дует рассматривать как закон, стоящий на первой ступени в иерар­ хии конкретного и обобщенных законов сохранения, причем на этой ступени может расположиться еще целый ряд подобных законов.

На следующей ступени стоит обобщенный закон сохранения (12.5), записанный в форме, специфичной для термодинамических систем данного типа, относящихся ко второму роду. Соответствен­ но для систем первого рода обобщенной формой закона сохранения будет (12.2). На верхней ступени стоит закон сохранения вида (15.1).

Как отмечал К. Путилов, «несмотря на простоту первого и вто­ рого начал термодинамики, все их глубокое содержание нелегко вы­ сказать кратко и ясно, и глубокий смысл первого начала заключает­ ся не только в констатации сохранения энергии, но и в утверждении взаимопревращаемости всех видов энергии. Именно желая оттенить эту мысль, Энгельс еще раньше сформулировал философское содер­ жание первого принципа термодинамики: «любая форма движения способна и должна превращаться в любую другую форму движения)/.

15.5. Некоторая форма движения может найти свое выражение не только в энергии, но, например, в импульсе (количестве движе­ ния), отчасти (точнее, в своей существенной части) в силе или в массе, тем более если последнюю понимать в свете формулы Хеви­ сайда—Эйнштейна. Поэтому сегодня не только необходимо, но и возможно философское содержание первого начала представить в форме тех или иных достаточно конкретных термодинамических математических выражений.

Это положение должно быть сформулировано как закон сохра­ нения и эквивалентного превращения термодинамического парамет­ ра /-Й природы (экстенсивного или интенсивного). Нет необходи­ мости специально оговаривать то, что эта формулировка шире обычно приводимой «энергетической».

Следует также отметить, что выше закон сохранения распро­ странен и на переносы (на собственно движение), что ранее специ­ ально не делалось, причем была дана математическая интерпрета­ ция закона сохранения и для этого чрезвычайно важного случая (подробно о нем будет сказано позднее).

15.6. Как было показано при сопоставлении (1.1) и (1.3), а также (6.6)—(6.8) и (6.10), введенными ///-параметрами оказалось возмож­ ным определить, а также предельно полно и однозначно математи­ чески описать соотношение внутренней энергии, теплоты и (механи­ ческой) работы. Более того, (1.3), (6.10) являются лишь частным случаем (6.8) и никоим образом не отражают целые миры явлений «первоначального» характера, определяемых (4.6), (5.3), (7.6).

Сказанное, конечно, не T J B O P H T о тождественности внутренней энергии, теплоты и работы. Более того, приведенная выше табли­ ца, а также уравнения (3.4), (4.6), (5^), (6.8), (7.6) свидетельствуют о существенно разном поведении ///-параметров. Но различие в данном случае не обусловлено связыванием обобщенных экстенсив­ ных параметров с некоторым «состоянием» или с некоторым «про­ цессом». Согласно (3.4), (4.6), (6.3), (6.8), (7.6), все /7,-параметры есть (или потенциально могут быть) термодинамические парамет­ ры состояния.

15.7. Подводя итог, можно сказать, что закон сохранения и эк­ вивалентного превращения возможно подразделить по виду пара­ метрической записи на таковые законы:

—по обобщенному экстенсивному параметру, включая закон, определяющий соотношение теплоты, механической работы и внут­ ренней энергии;

—по базовому экстенсивному параметру;

—по интенсивному параметру.

По дифференциальной форме записи закона сохранения и эквива­ лентного превращения обобщенного экстенсивного параметра воз­ можно различать запись этого закона в форме, во-первых, полного (первый род) и, во-вторых, неполного (второй род) дифференциаль­ ного уравнения.

Второй род законов подразделяется на четыре типа, хаждый из которых объединяет ряд однотипных уравнений. Один из этих ти­ пов среди других включает закон взаимосвязи теплоты, механиче­ ской работы и внутренней энергии.

16. Перенос, цикл Карно, второе и третье начала термодинамики

16.1.В термодинамических трехпараметрических системах явле­ ния переноса специфичны. Рассмотрим перенос в системе второго рода, тип первый. Суть явления в этой системе важна для понима­ ния основ термодинамики, ибо полученные результаты в принципе пригодны и применительно к другим системам.

16.2.Справедливое для систем второго рода, тип первый, урав­

нение (14.8) перепишем как

где dJJ23 — некоторый обобщенный экстенсивный параметр второй и третьей природы, который выше был определен как избыточная работа за счет третьей термодинамической силы (и с определенным вкладом второго обобщенного экстенсивного параметра). В силу этого (16.1.1) можно переписать как

Согласно закону сохранения и эквивалентного превращения по /7,-параметру, возможен, а в данном случае обязателен эквивалент превращения 1 —>3, при котором

Чтобы не усложнять излишне, примем

/в = 1.

Тогда нижние числовые индексы в (16.1.2) будут указывать лишь на предысторию этой зависимости. Сущность же этой зависимости, как следует из уравнений (4.6), (14.8), необходимо конкретизировать •дополнительными буквенными индексами: «н» — неравновесность, «р» — равновесность, «и» — избыточность:

Уравнение (16.1.3) в самом общем виде говорит о том, что измене­ ние в результате некоторого изменения неравновесности именно в трехпараметрической системе, т. е. в системе, изолированной от всех других обобщенных экстенсивных параметров (кроме таковых, условно обозначенных в (16.1.2) номерами 1 и 3), обусловлено неко­