книги / Общая термодинамика.-1
.pdfмасса, количество движения, объем и другие. Кинетический коэффи циент соответствия между двумя членами в этом случае имеет смысл скорости.
Уравнение (9.1) выражает закон сохранения в однопараметриче ской — по данному 77,-параметру — системе. В двупараметрической системе, в случае когда возможно эквивалентное / -►j превращение параметров согласно (3.1) или (3.2), ситуация сложнее. Рассмотрим ее, отправляясь от принципа суперпозиции, для 77,-параметра, и,
осуществив преобразования, |
получаем |
|
||
а |
XЭЯ; ЭЯ, |
= 0, а* = Uxlij. |
(9.2) |
|
~ д х + ~дГ |
||||
|
|
|
||
Различие между (9.1) и (9.2) принципиальное. Оно выражается в различном виде коэффициента пропорциональности а.
Для двупараметрических систем он всегда имеет сложную при роду, характеризуя не только скорость, но и эквивалентность 77, -+ 77, превращения. Поэтому (9.2) выражает не только закон со хранения, но также и закон превращения в процессе переноса.
Закону сохранения подчиняется массоперенос, выражаемый пер вым законом диффузии. Чаще же канонические градиентные функ ции (например, уравнение теплопереноса) выражают в каждом кон кретном случае закон сохранения и //-го рода превращения в про цессах переноса — в потоках и перепадах.
9.2. Уравнения вида (9.1) и (9.2) имеют большое значение во многих разделах физики. Важны и коэффициенты соответствия. Поэтому рассмотрим два примера.
Первый касается системы, в которой изменение внутренней энергии определяется соответствующими изменениями энергии ки нетической (Wk) и потенциальной (Wn ), причем внутренняя энер
гия системы |
неизменна: |
|
|
dU = dWk + dWn = 0 |
(9.3) |
или |
dWk = - dWn . |
(9.4) |
Отсюда для потока кинетической энергии по х или для его
мощности |
dWk |
dWn |
(9.5) |
Iwk |
at |
= - Ux ax |
что выражает закон сохранения и превращения кинетической и по тенциальной энергий. Поскольку Wk = ти%/2, можно (9.5) при
т = const переписать в виде |
|
|
|
тихдих |
uxdWn |
(9.6) |
|
dt |
дх |
||
|
или, еще упростив и приняв во внимание, что
Fx = d(mux)/dt = тах,
получить для известного случая изменения потенциальной (или внутренней) энергии по координате х ; например, в случае гравита ции по х
dWn = NxdUx. |
(9.7) |
Как видим, в этом примере коэффициент соответствия имеет эле ментарный вид.
Второй пример касается уравнений Максвелла, в частности для плоских электромагнитных волн при поперечном магнитном поле. При этом возможно ограничиться написанием двух уравнений из четырех, опустив компоненты Ну и Ez. Итак, сокращенная система уравнений Максвелла имеет вид
Отметим еще раз, что координаты векторов напряженности маг нитного и электрического полей не рассматриваются, и поэтому в последующем нижние индексы при Е, Н будут опущены. Здесь важ но иное — эквивалентное обратимое превращение электрических и магнитных явлений.
Вместе с тем параметрическая термодинамика позволяет подоб ным образом записать и другую систему уравнений:
(9.9)
9.3.Закон сохранения и превращения (при одномерном переносе)
влюбых термодинамических ситуациях наблюдается в случае, если
в (7.2) |
(9.10) |
к ij E li — kjiTJic |
или в (7.6)
k°jXf= k]iX2.
9.4. Подводя итог рассмотрению коэффициентов соответствия в законе сохранения и превращения переносов, можно следующим об разом систематизировать эти коэффициенты в уравнениях линейно го переноса (по координате х)
_ ЭЛ, |
Mlj |
(9.11) |
|
1п‘ = ~дГ ~ ах ~дх’ |
|||
|
|||
dXj |
J X j |
|
|
Jx, |
|
|
|
В монопараметрическом переносе (Д, = /7Г)
Cl = а,х= их.
В двупараметрическом переносе первого рода (эквивалентном)
аг = Мдг/ул. «*= Ux.lijx, |
(9.12) |
где нижние индексы при П , X указывают на соответствующую эквивалентность по экстенсивному или интенсивному параметру. В уравнениях (9.11) и (9.12) используется фундаментальный кинетиче ский коэффициент термодинамики переносов — скорость. В част ности, в линейном переносе по координате х это будет мх. Значение этого коэффициента при необходимости можно выражать как их = х со, где Со — скорость свеча в вакууме, х — относительная скорость (всегда скалярная величина), и пользоваться для сопостав ления численными значениями к.
10.Нелинейный перенос
10.1.Линейный перенос, согласно (6.4), при g ^ #(*) происходит при условии отсутствия «сопротивления» среды, что и обусловлива
ет g = const. Если же имеет место некоторое «сопротивление» сре ды, то g = g(x). Форма закона этого изменения может быть, как уже было сказано выше, разной, но одно следует принять, рассмат ривая именно «сопротивление»: по мере удаления по координате х значение градиента уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю (вполне очевидно, при g = dIJi/дх = 0 рассматриваемое /-го рода явление выходит за граничные условия своего существования).
Итак, суть явления сводится к тому, что из некоторого источни ка происходит перенос в форме потока или перепада, величина ко торого по мере удаления от данной системы уменьшается. Но за кон сохранения утверждает, что уничтожиться перенос сам по себе не может. Происходит некоторое превращение его, которое в силу закона сохранения не может не быть скомпенсировано некоторым переносом.
10.2. Очевидно, имеются два основных случая превращения. Первый состоит в рассеивании переноса. Значение переноса остает ся постоянным, но он из некоторого точечного источника распреде ляется по все большей площади (ортогональной к направлению движения переноса). Простейший тому пример: распространение в пространстве света из точечного источника.
Выше уже были рассмотрены колебания переносов — особый случай нелинейности. Эта нелинейность проявляется в многочислен ных электро- и радиотехнических явлениях.
10.3. Иная ситуация состоит в том, что «торможение» первично го переноса /-го рода обусловлено превращением его в некоторый иной, вторичный перенос к-го рода. В этом случае закон сохране
ния, в частности для потоков, выражается равенством |
|
|
П\ + likllic = const. |
(10.1) |
|
В дифференциальной форме (10.1) представляется как |
|
|
йЩ = |
- likdTJk |
10.2) |
или в форме уравнения переноса как |
|
|
дIJi |
дПк |
(Ю.З) |
h - |
= Kbit. |
|
Таким образом, рассматривая закон сохранения и превращения при нелинейном переносе и оперируя при этом левыми частями со ответствующих уравнений вида (8.3), все относительно просто: со блюдается закон сохранения и превращения переносов. Однако в этом законе, в том числе в форме (10.3), не видно, что этот перенос нелинейный (а ведь он может быть и линейным). Чтобы это пока зать, следует раскрыть термодинамическую суть /, ^-градиентной нелинейности и ее взаимообусловленность.
10.4. В однопараметрической системе нелинейность определяется уравнением (8.3), а именно видом градиентного уравнения (одно-
(Ю.4)
где 7г — порядок этого уравнения, кх — константа сопротивления (изменчивости) по х.
Для случая изменения градиента в результате «сопротивления» среды константа изменчивости кх имеет знак «минус». Следова тельно, изменчивость среды характеризуется тем же значением кон станты кх, но взятым с обратным знаком, т. е. со знаком «плюс»,
ибо |
в ней что-то соответственно увеличивается. |
|
||
10.5. |
Для |
нелинейного переноса первого порядка из |
(10.4) при |
|
7г = |
1 получаем |
уравнение вида |
|
|
|
|
|
Й = ± k lg. |
(10.5) |
Подставив значение нелинейного переноса в (6.4а), приходим к уравнению нелинейного переноса в форме потока:
Кх dg _ Кх ъгп>
( 10.6)
к\ дх ~ к\ дх2
Другое уравнение нелинейности по х-координате можно получить из (6.4), дифференцируя это уравнение по х. Тогда приходим к
— = ± kxKxg. |
(10.7) |
В уравнениях (10.7), (10.6) и, конечно, в (6.4) предполагается, что Кх = const, но при обобщенном рассмотрении это предположение следует доказать.
10.6.Выше были рассмотрены нелинейные переносы первого по
рядка. Для таковых нулевого порядка, когда
| f = - **>, |
(Ю.8) |
уравнение переноса .будет иметь вид |
|
ЭЛ, |
(10.9) |
/,о = -gj- = - ux(go - kgox). |
В частности, при kgo = 0 приходим к так называемому «классиче скому», т. е. простейшему случаю переноса согласно (8.2).
Соответственно для нелинейного переноса второго порядка, для
К О Т О РО ГО fig
(10. 10)
дх
имеем уравнение переноса
( 10.11)
Опыт, накопленный химической кинетикой, говорит о том, что значение порядка реакции может быть и дробным. Известны и су губо эмпирические уравнения химической кинетики, оказавшиеся весьма полезными при решении ряда практических задач. Думается, ничто не мешает использовать весь этот опыт и применительно к градиентным нелинейным уравнениям.
10.7. Для градиента возможно записать функцию
g = g(x, О. |
(Ю.12) |
которая может быть представлена любой линейной и нелинейной зависимостью при одном лишь ограничении: подобный аналитиче ский вид при заданном кинетическом множителе должна иметь и
функция |
/ = /(*, о. |
(10.13) |
Вместе с тем кинетический множитель может быть выражен как линейной, так и нелинейной функцией, в силу чего возможно полу чить многообразные нелинейные уравнения переносов.
10.8. Рассмотренные нелинейные уравнения переносов, а именно потоков (подобные нетрудно получить и для перепадов), относятся к однопараметрическим. Получить из них двупараметрические, сле дуя уже использовавшимся принципам эквивалентного превраще ния, не представляет большого труда. Однако важнее вопрос о том, чем компенсируется нелинейность. При рассмотрении этой ситуа ции без двупараметричности (но уже особой) не обойтись. Она бу дет рассмотрена ниже.
11. Смешанные соотношения типа соотношений Онзагера
11.1. Продолжая рассмотрение явлений переноса, получим из полной системы уравнений состояния (1.1), (2.1)—(2.3) следующие соотношения Максвелла:
(д Х Л |
= |
/ д х 2\ |
( 11.1) |
\д П 2) п , |
|
\ d n i ) m ’ |
|
/З Я ,\ |
^ /д ^ 2 \ |
( 11.2) |
|
\д П 2)х , |
|
\ d X i ) n 2’ |
|
(д П Л |
= |
/Э Я2\ |
( П .З ) |
\d X 2) x t |
|
\ d X i ) x 2’ |
|
/Э * Л |
= _ / э я 2\ |
(11.4) |
|
|
|
|
|
11.2. Соотношения (11.1)—(11.4) важны потому, что они предо пределяют равенство частных производных в системах уравнений (2.21)—(2.26). Сопоставляя эти уравнения с уравнениями (11.1)— (11.4), а также с уравнениями (1.1), (2.1)—(2.3), отметим следую щую систему их соответствий:
— уравнению (2.21) соответствует (11.3), последнее соотношение
Максвелла получается из (2.3); |
|
||
— уравнению |
(2.22) |
соответствует (11.1), получаемое |
из (1.1); |
— уравнению |
(2.23) |
соответствует (11.2), получаемое |
из (2.1); |
— уравнению |
(2.24) |
соответствует (11.4), получаемое |
из (2.2). |
11.3. Как было показано выше (см. стр. 125), система уравнений типа Онзагера для потока по координате х, когда их = dx/dt, может быть сразу получена из (2.21) в форме
a = |
L n g u + L 12g2x, |
l / l |
= L>2\g\x + Lilglx, |
где в силу соблюдения (11.3) не может не быть равенства коэффи циентов
L n = их |
L2 1. |
(П.6) |
Из (2.22) система уравнений типа онзагеровских для перепадов (по координате л:) будет следующей:
«Л = |
L \ \ g \ x + |
L 12 g ?* X у |
m 7ч |
J2 = |
L2Xiglx + |
L£g2x, |
{ • } |
где в силу соблюдения (11.1) не может не быть равенства коэффициентов / я v \
( 11.8)
11.4. Следуя такому методу вывода уравнений, ниже приведены результаты получения еще двух соотношений онзагеровского типа, что позволяет составить их полный и законченный ряд. Отправля ясь от (22.3), подобным образом получим для переноса (по коорди нате х) систему уравнений, обобщающую как уравнение потока, так и уравнение перепада:
|
d/7i |
iо я л , |
dX i |
. |
. |
ЬПг |
|
nm |
at |
ybXx;U l * |
+M'<\ b l h ) U |
дх |
|||
|
ЬХг |
f dXz ^ v |
ь х х |
/ЪХг'х> |
ЬПг |
||
(/*s |
n r |
= Ux 1 |
)Пгж |
+ иЛ\Ь П г,l*i |
дх |
||
В этой системе уравнений верхний значок «кружок» означает, что имеет место эквивалентное взаимодействие потока и течения, обус ловленное разными по термодинамической природе градиентами — градиентами экстенсивного и интенсивного параметров соответ ственно, причем первый из них 2-го, а второй — 1-го рода. Система уравнений (11.9) утверждает о возможности такого сложного явле ния взаимосвязанных (взаимопревращающихся) разнотипных пере носов в двупараметрической системе.
11.5. Введем обозначения
dXi
( 11. 10)
1 \x ~ 8lx'
ЬПг
(11.11)
~dx ~ 82x'
Это позволяет переписать (11.9) в виде нового соотношения онзагеровского типа:
(7? = L?igix + L i2g£9
(11.12)
= L i i g i x + L z i g i x ,
в котором в соответствии с (11.2) также не может не быть равен ства коэффициентов
о |
- Т 0 |
(11.13) |
L 12 |
21 « |
|
= ь 2 |
|
Аналогичным образом, отправляясь от (2.24), получим послед нее, возможное в двупараметрической /, у-го рода системе соотно шение онзагеровского типа:
p f = |
Ltigu + L fa Z , |
(11.14) |
|
\jl = |
Lllglx + ^22g2x> |
||
|
в котором в соответствии с (11.4) всегда имеет место равенство ко эффициентов
Ц г = Ц х. |
(11.15) |
11.6. Еще раз сопоставим ряды уравнений, начиная, в плане-за- дачи данного раздела, с уравнений онзагеровского типа. Итак, соб ственно онзагеровская (но в обобщенной форме классических тер модинамических уравнений) система уравнений:
первый ряд (11.5)—(2.21)—(2.3), затем уравнения онзагеровского типа; второй ряд: (11.7)—(2.22)—(1.1); третий ряд: (11.12)—(2.23)—(2.1); четвертый ряд: (11.14)—(2.24)—(2.2).
Системное рассмотрение этих рядов и всех возможных систем урав нений онзагеровского типа открывает широкие возможности в деле их практического использования и поиска новых явлений парных взаимодействующих переносов.
11.7. В заключение вернемся к уравнениям (2.25), (2.26). Отправ ляясь от этих уравнений, тоже можно получить парные уравнения, подобные, например, (11.9), но отражающие возможность перено сов особого рода, — при неравенстве онзагеровских коэффициентов взаимности равенство может быть в исключительном случае, когда
л , |
= Д/ |
(11.16) |
|
X i |
X j ’ |
||
|
12.Ступенчатые переносы
12.1.Рассмотрим особо сложные формы переносов как в форме потоков, так и перепадов. Только для простоты в данном разделе все явления переносов будем условно называть потоками, не вдава ясь в их термодинамическую природу, ибо все сказанное можно от
нести к любым переносам.
Запишем, отправляясь от (11.5), соотношение онзагеровского типа в обобщенном виде:
I \ |
= |
I I I |
+ |
1\2 у |
( 12. 1) |
|
h |
= |
I n |
+ |
I n • |
||
|
Это соотношение говорит о том, что поток первого рода 1\ состоит из двух потоков, из которых 1ц условно назовем собственным, а / 12 — превращаемым, ибо потоки h и 1г взаимосвязаны через пото
ки In и / 2 1 . В самом общем случае взаимопревращение потоков
должно быть эквивалентным:
/12 = /12/21. |
(12.2) |
В частном случае одинаковости термодинамической природы пото
ков 1\ и h |
справедливо |
/12 = 1. В общем |
же случае, когда с по |
|
мощью (11.5) требуется раскрыть содержание (12.2), получаем |
||||
|
Lngix = hiLugix- |
(12.3) |
||
При L n = L21 значение |
коэффициента эквивалентности будет |
|||
|
/12 = |
gix/gu = дП2/д П \ . |
(12.4) |
|
Рассматривая (12.1), нельзя не увидеть, что, говоря о потоке |
||||
первого рода, следует указать, что поток h |
лишь некоторой своей |
|||
частью OL\ |
< 1 участвует во |
взаимопревращении с потоком h : |
||
|
|
/i2 |
= a i / i . |
(12.5) |
Вместе с тем возникший поток второго рода /21 вызывает как об
щий |
поток, определяемый соответственно |
из |
|
h = 0 L i xh \ , |
( 12.6) |
так |
и некоторый собственный поток / 2 . |
|
Итак, если поток h вызывает в результате взаимодействия по ток / 2 , то из (12.2), (12.5), (12.6) получаем
l2 = Kaih\ |
Oil |
(12.7) |
. |
||
|
« 2/12 |
|
12.2. Положим, например, что 1\ — есть электрический поток (электрический ток), а /2 — магнитный, образуемый этим током.
Тогда следует использовать (12.7) для определения степени их взаи мопревращения, хотя на практике легче пользоваться, следуя тра диции, эмпирическим коэффициентом взаимной индуктивности. Вместе с тем, используя термодинамический метод для случая, ког да имеет место превращение потока первого рода в таковой второ го рода, следует рассчитывать их соотношение по (12.7).
12.3. Согласно (12.1) поток второго рода также имеет необрати мую часть / 2 2 , которая, можно полагать, также образуется из пото
ка первого рода. Э то та «собственная» часть потока второго рода, которая как бы ответвляется от него, выступая вроде бы самостоя-