книги / Общая термодинамика.-1
.pdf^-координате, т. е. ортогонально термодинамическому действию. %10.4. Отправляясь от (10.1) и используя в соответствии с прин
ципом суперпозиции множитель (10.3), после известных преобразо ваний. получаем уравнение коллинеарного переноса (переноса пертзого такая) /7-параметра
d n |
= - и х |
dTlx |
(10.5) |
dt |
dx ' |
Поскольку х-координата выбрана юоизвольно, то тождественно C10.5) получаем
ly = |
d n |
- u y |
dny |
' ’О |
dt |
~dy~ |
Можно выделить две формы выражения закона (10.5). Первая, когда
П * Щх, у).
Тогда, поскольку назначение направления (линии) действия выбира лось произвольно,
dnx = dny = dn.
Вторая форма указанного закона имеет место в случае
П= Щх, у).
Вэтом случае, например, при П = Щх)
dnx |
dnx |
(10.7) |
Ixx = — г — = |
- ux — Z---- . |
|
dt |
dx |
|
10.5. Второй тип переноса имеет место, когда вектор градиента ортогонален линии действия. Тогда
- |
dnx |
dnx |
(10.8) |
|
'«■“ |
- д — |
* ~ w |
||
|
||||
Перенос первого типа — это, |
например, тепло- и массообмен, |
|||
а второго — вязкое течение. Чтобы различать эти два топографи чески разных переноса, будем называть их соответственно со бственно потоком и, когда необходимо подчеркнуть специфичность потока, в соответствии с (10.8) — течением, выделяя тем самым, в частности, вязкое течение среди других процессов переноса и от деляя его от потоков, которые традиционно рассматривала термо динамика необратимых процессов.
Соответственно оставим индекс «/» за собственно потоком, бу дем обозначать поток в форме течения как «/».
Учитывая сказанное, запишем в градиентной (g* = dW dx) форме (10.5) как
|
1ХХ= - kxgx, |
(10.9) |
а (10.8) |
как |
|
10.6. |
Ixy = k/y'g x y , |
(10. 10) |
Подобным образом, отправляясь от |
закона сохранения |
|
термодинамической силы |
|
|
|
dX' = - d X " , |
(10.11) |
получаем уравнение коллинеарного перепада (собственно перепада)
_ d X |
x _ |
d |
X |
x |
|
|
|
|
( 10. 12) |
d |
t |
U x а |
П |
• |
Подобным образом можно получить и уравнение ортогонально го перепада — перевала:
7 _ d x* - |
dX* |
(10.13) |
Jxy- ~ d T ~ |
~ Uy~ d i |
|
10.7. Остановимся на отличительных особенностях потоков и течений, полагая, что всегда щ > 0. Следовательно, знак «минус» относится только к градиенту. Тем самым устанавливаем, что по мере удаления по декартовой координате от центра величина П мо жет или уменьшаться, или оставаться неизменной. Отсюда, при установившемся переносе в форме собственно потока по х, величи на 77-параметра только уменьшается
< о, |
(10.14) |
а при течении остается неизменной по х-координате
т |
- »• |
<1<и5> |
но уменьшается по ^-координате
- ^ < 0 . |
(10.16) |
Рис. 7. Условное графическое представление изменения действующего в направлении оси х параметра /7/ при потоке {а) и течении (б), tga = dlJu/dx; tg/3 = dTIu/dy
Итак, поток определяется условием (10.14), а течение — услови ями (10.15), (10.16), что можно представить и графически (рис. 7).
10.8.Продолжая обсуждение топографических особенностей ка нонических градиентных функций, рассмотрим, пользуясь рис. 7, поведение потоков и течений в пространстве. Если поток идет по линии действия, например по х-координате, то через мысленную плоскость фронта взаимодействия Ф, ортогональную к х, происхо дит особое — градиентное перемещение 77-параметра.
10.9.Поток сразу по х, у, z из точечного, находящегося в центре координат источника 77-параметра определяется уравнением
7Я - кх |
дПх |
ку |
дПу |
дПг |
(10.17) |
дх |
ду ■+ kz |
dz |
Течение же из такого источника описывается уравнением
|
дПх |
+ kz |
дПу |
ЪПг |
(10.18) |
1П - ку |
ду |
dz |
+ кх дх |
Но, поскольку при линейном переносе из точечного источника 77* = Пу = n z = 77, в этом случае получается, что из точки может быть только поток.
10.10.Поток может происходить не только по линии действия,
т.е. в одномерном направлении, но и по площади s. Тогда
Л = -k s |
; ks = |
- Us. |
(10.19) |
Если же поток трехмерен, то
/ = |
(10.20) |
Последняя градиентная функция определяет стекание (необрати мое) /7-параметра в одну точку объема. Здесь отметим и частный случай канонической градиентной функции, когда Пгг — радиус не которого сферического, изменяющегося в размерах пространства (как бы «перенос» радиуса), а градиент в силу определенных усло вий положителен и постоянен по величине
= кг. |
(10.21) |
Если (10.21) приложимо к расширяющейся Вселенной, то кг — постоянная Хаббла, хотя — и это следует отметить — по уравне нию (11.20), взятому с обратным знаком, функция по радиусу куби ческая.
10.11. В заключение отметим, что канонические градиентные функции в силу их построения с использованием принципа суперпо зиции справедливы во всей области пространства-времени, ибо нич то не мешает принимать в (10.3), (10.4) 0 < и ^ со, хотя в соответствии со специальной теорией относительности соответ ствующие формулы должны быть откорректированы.
И.Операции над потоками и течениями
11.1.Все разновидности переносов (потоки и течения, а также перепады и перевалы), градиенты и кинетические множители мож но считать определенного вида термодинамическими параметрами состояния, основным свойством которых является аддитивность.
Ниже в качестве обобщенных примеров рассмотрено сложение потоков и течений и некоторые другие операции над ними. Основ ное внимание уделяется однопараметрическим /-го рода переносам; при рассмотрении дву- и многопараметрических явлений должны быть Использованы нижние индексы, характеризующие род исход
ных базовых экстенсивных параметров и закон сохранения и экви валентного превращения.
11.2. |
Сложение единичных потоков. |
|
|
|
|||||
1. |
Сложение |
единичных |
/-х потоков |
по х-координате |
|
||||
h = in + |
+/« |
п |
Ьр=-*** |
|
р = и .... п. |
|
|||
= 2 |
; |
си л) |
|||||||
|
|
|
|
Р = 1 |
|
|
|
|
|
2. |
Сложение р разных по величине |
потоков |
по х |
|
|||||
|
|
|
|
|
п |
|
d i p \ ? |
|
|
|
Ii |
— Q i\Iin + |
+ |
Оi n i in |
= I in ^ j din |
~ ~ K x |
^ |
j dip» |
( 1 1 . 2 ) |
|
|
|
|
|
P = 1 |
|
P = 1 |
|
|
3. Сложение действующих по x потоков, разных по термодина
мической природе (потоки не взаимодействуют): |
|
|
Iiix = Iu + Ijx = -Kxtex + gjx) = -К* d(IIid+x |
Щ . |
(11.3) |
Для осуществления термодинамического сложения, т. е. когда есть взаимодействие потоков, необходимо знать эквивалент превра щения dij. Тогда вместо (11.3)
/«* = - О + аи)Кх |
= (1 + au)Iix. |
(И.4) |
4. Сложение i потоков по х и у. Такое сложение производится по правилу сложения векторов* (рис. 8). Вектор суммарного потока будет
Тиу = 1и + Iiy = - K x - ^ ^ j r - К У |
• |
(11.5) |
Следовательно, воздействие Iiy потока на поток /« вызывает смеще ние направления последнего на угол а, определяемый отношением величин этих потоков или соответствующих дифференциалов’ пара метров
tg а = |
(П.6) |
* Векторные величины в термодинамике традиционно не используются.
о
Рис. 8. График сложения векторов однородных потоков и 7% параметра П и дей ствующих по координатам х и у соответственно. Тиу — суммирующий вектор общего потока
Величина потока I& при этом увеличится |
|
|
||
|
hxy — |
1 |
|
(П.7) |
|
cos а Iix. |
|
||
11.3. Сложение |
течений. |
|
|
|
1. Сложение р единичных /-х течений по оси х с градиентом по у |
||||
h = III + |
+ Iin = |
bp = -Р КУ |
• |
o 1-8) |
|
|
P = 1 |
|
|
2. Сложение p разных по величине aip i-x течений по х с градиен том по у
п |
п |
|
Ii = Ij'y ] aip = —Ку — |
^ j aip. |
,(11*9) |
р =1 |
р =1 |
|
Сложение невзаимодействующих /, у-течений по х с градиентом по у
lijxly) = Ъх(у) + Ъх(у) = ~Ку |
. |
(11.10) |
Сложение (термодинамическое) таких потоков возможно, если есть эквивалент /, у-превращеция. Тогда
4иу) = -(1 + ац)К, |
= (1 + ay)Iix(y). |
(H -И) |
Рис. 9. Условное графическое представление сложения однородных течений //хоо и Iix(z) параметра /7/ по оси х с градиентами по осям у и z, в трехмерном простран стве O', Z , 77/), где представлены только градиенты d T h x / d y и d T I u / d z (само течение происходит по четвертой оси х). Точка А — величина 77/ на всем пути течения по
оси х; tga = d T I i x / d y ; |
tg/3 = d l l i x / d z . Прямая A S — линия пересечения плоскостей |
указанных градиентов, |
лежащая в плоскости q = О АБ |
4. Сложение /-течений с одинаковым переносом по х и с разны
ми градиентами по у и z |
|
|
|
Iix(yz) — Iix(y) + Iix{z) |
r dlhx |
dTIix |
( 11. 12) |
Ly —J— — |
j — |
||
|
dy |
dz |
|
Такое суммарное течение можно представить в 4-мерном простран стве (*, у, z, /7/) и лишь частично — а именно наложение ?радиентов — в трехмерном (рис. 9).
5.Сложение двух однородных течений, происходящих по осям
хи у, с градиентом по z
й а д = /а д + /а д =-** |
(11.13) |
Особенность такого суммарного течения состоит, во-первых, в том, что при JC, у = 0, как показано на рис. 10, имеет место
Д* = Д> = Я/, |
(11.14) |
ибо в противном случае одному значению координаты соответство вали бы два значения /7), что невозможно. Во-вторых, при этом величины градиентов этих двух течений в общем случае не равны между собой. В третьих, градиент суммарного эффекта равен сум ме отдельных градиентов, или соответственно по рис. 10 имеем со отношение
|
tgy= tga + tgj3. |
|
(11.15) |
Итак, суммарное течение при суммарном градиенте интенсивнее |
|||
каждого |
из слагаемых. |
|
|
11.4. Сложение потока и течения. |
|
|
|
1. |
Сложение / рода потока по оси х |
и /-рода течения по оси у |
|
с градиентом по оси х: |
|
|
|
|
Day(x) = /« + |
. |
(И-16) |
Графически это суммарное явление, которое обозначим как Dixy^9 где последовательность нижних индексов указывает именно на кой порядок суммирования, представлено BJпространстве (х, у ,
на рис. 11. Из уравнения (11.16) и рис. 11 Аедует возможность
Рис. 10. Условное графическое представление сложения однородгых течений по осям х и у с градиентом по оси г, а — в пространстве (дг, у, Щ ; б — в пространстве [(*, У)> Z , Щ tga = dTIix/dz; tg/3 = dTJty/dz; tg7 = tga + tg/3
тенсификации (или замедления) течения (по оси х), если нормально к направлению течения имеет место поток. Это вытекающее из (11.16) следствие справедливо, когда поток и течение разнородны, но эквивалентны.
2. |
Сложение /-рода потока и течения, происходящих по одной |
|||||
линии действия (лг); градиент течения — по оси у. С учетом (11.16) |
||||||
запишем эту операцию следующим образом: |
|
|
||||
|
Авоо = /|* + IIrw = |
-К х |
- Ку |
. |
(11.17) |
|
Перенос параметра 77) вдоль х в этом случае происходит как за счет |
||||||
потока, так и за счет |
течения |
|
|
|
||
|
ст, = - |
( к х |
- ку |
dt, |
|
(П.18) |
с тем различием, что постоянная по оси х часть этого переноса обусловлена течением, а изменяющаяся по этой оси — потоком
Рис. 11. Условное графическое представление сложения однородных (или эквивалент
ных) /-рода потока по оси х и течения по оси у |
с градиентом по оси х. Градиенты: |
потока — tg а течения — tg 0; суммарный |
tg у = tg а + tg /3 |
Рис. 12. Условное графическое представление сложения однородных /-рода потока и течения, происходящих по оси х с градиентом течения по оси у. Критическая (конеч ная) точка линеарного потока — Хк
(рис. 12). В принципе возможно, что в некоторой точке Хк, которую назовем конечной, перенос за счет потока себя исчерпает, и далее по оси х перенос будет осуществляться только за счет течения. Из (11.17) и (11.18) вытекает, что если перенос за счет потока (о чем свидетельствует градиент по его пути) сопровождается того же или иного рода термодинамическими явлениями в плоскости, ортого нальной направлению пути, то на этот поток накладывается тече ние того же рода.
11.5. Вторичные потоки и течения.
Рассмотренные выше потоки и течения можно назвать просты ми, первичными потоками и течениями. Вторичные потоки и тече ния образуются путем построения канонической градиентной функции от пространственных градиентных функций переноса в форме потока или течения.
Подобным образом можно строить третичные потоки и течения от соответствующих вторичных функций. Ниже будут рассмотрены только вторичные потоки и течения.
Вторичный поток потока, т. е. вторичная градиентная функция от градиентной функции потока (9.5), в том же направлении по х строится следующим образом. Записываем закон сохранения тер-