книги / Центробежные компрессоры

Для общего вида ММ комплектной ступени с радиальными РК в формуле (6.24) с целью снижения затрат для расчета большого числа вариантов лопаточных решеток приняты некоторые упро­ щения.

1.Расчет течения в лопаточных аппаратах производится на средней ОПТ. Пространственность течения учитывается введением поправочных коэффициентов /С11Р соответственно для отдельных элементов ПЧ.

2.Влияние максимального числа М на поверхности профиля

ичисла Re, определяемого по средней скорости в канале, учтено

по каждому элементу ПЧ в целом (РК, БЛД, ЛД, ПК, ОНА),

ане по участкам.

3.Выбор участков для схематизации распределения скоростей на лопаточных решетках определяется конкретной задачей, кото­ рую должна решать ММ (например, для РК ПЦК распределение скоростей иногда можно схематизировать прямыми линиями по всей длине лопатки, кроме участка разгрузки, а в случае матема­ тической модели с пространственными РК обязательно выделение как минимум двух участков — осевого и радиального). Более подробно о способах схематизации будет сказано в п. 6.4.

Модель (6.24) пригодна для РК ПЦК с лопатками в радиальной части. Поэтому учитываются отдельно потери в осесимметричном

определяют также и характер пространственное™ потока в РК, в связи с чем -Knp можно выделить в виде общего сомножителя для РК и подводящего канала (аналогично для ОНА и выходного кольцевого канала). Тогда произведение сомножителей (2—9)11 есть потери в лопаточной решетке РК, а 10 * 11 — потери в под­ водящем канале. Соответственно для ОНА: (25-^-32)34— потери в лопаточной решетке ОНА; 33*34 — в выходном кольцевом ка­ нале. Здесь цифры в круглых скобках соответствуют нумерации членов математической модели (6.24).

Подробнее остановимся на особенностях математической мо­ дели БЛД. В формуле (6.24) выделены два члена, описывающие рабочий процесс в этом элементе: потери, связанные с внезапным расширением потока при bs > Ьъ и потери непосредственно в БЛД. Что касается первого члена, то он принят пропорцио­ нальным потерям внезапного расширения за рабочим колесом [65]

который после простых преобразований приводится к полученному в (6.24) виду.

Несмотря на простоту формы проточной части, течение газа в БЛД имеет сложный пространственный характер. В общем слу-

Чае потери в БЛД можно представить в виде суммы трех составля­ ющих: потерь трения о стенки, потерь, связанных с выравнива­ нием неравномерности потока за РК, и вихревых потерь, вызван­ ных появлением срывных зон.

Источником возникновения потерь, вызванных смешением потока на начальном участке БЛД, является рабочее колесо. Поэтому представляется естественным учитывать эту составля­ ющую при определении потерь в РК. Это можно сделать, либо выделяя их в отдельную составляющую, как, например, в матема­ тических моделях (6.28) и (6.34), либо учитывая их в неявном виде в профильных потерях, как это предлагается в математической модели (6.45), поскольку они определяются характером течения на поверхностях лопаток рабочих колес, т. е. по существу явля­ ются функциями w и са. Тогда полные потери в БЛД можно пред­ ставить в следующем виде:

это сделано, например, в формуле (6.28). Можно вычислить по­ тери трения, используя формулу (3.13), а вихревые потери упро­ щенно учесть введением поправочных коэффициентов в функции о&2 и Ь2у как в математической модели (6.34). Это в первом при­ ближении справедливо для режимов, близких к расчетным, когда срывы и вторичные течения в БЛД слабо развиты. При нерас­ четных режимах работы ПЦК вихревые потери значительны. По­ этому в математической модели (6.45) полные потери в БЛД при­ нято определять в виде суммы составляющих hwтр + Ашв.

Расчет потерь в ЛД производится по аналогии с расчетом по­ терь в РК с учетом того, что перед ЛД нет изменения направления потока из осевого в радиальное, поэтому /Спр = 1. Учет влияния эффектов стратификации в неподвижной решетке, выбор способа схематизации распределения скоростей на профиле и связанные с этим особенности расчета коэффициентов сопротивления будут рассмотрены на примере конкретного вида математической модели ЛД (6.36).

Течение в поворотном колене можно рассматривать как течение в криволинейном осесимметричном диффузоре, обеспечивающем поворот потока в меридиональной плоскости на 180°. Эксперимен­ тальные иссследования показали, что потери в ПК можно опреде­ лить, рассчитав потери трения по аналогии с БЛД и учтя влияние поворота.

Математическая модель ОНА по (6.24) идентична математи­ ческой модели лопаточного диффузора, за исключением одной особенности. Поток перед ОНА изменяет свое направление в ПК, что учитывается введением поправочного коэффициента на про-

странственность Кар.онк = / [#тйПк> KF пк- (^ср/ОондЬ

В данном параграфе рассмотрены некоторые основные поло* женин для получения общего, физически достоверного вида комп­ лектной ступени ПЦК. Конктретные зависимости для расчета потерь в элементах проточной части приведены в п. 6.4.

6.3. Методика поиска конкретного вида математических моделей

Обобщенную математическую модель потерь можно представить в следующем виде:

ласть допустимых значений X. Заметим, что в области D функция цели может иметь не один, а несколько локальных экстремумов. Поэтому задача поиска оптимальной ММ заключается в нахо­ ждении глобального экстремума.

В классических методах анализа используются так называе­ мые непрямые методы отыскания экстремума функции G, которые применяют при аналитическом решении задачи. В этом случае решается система уравнений dG/dxt = 0 (i = 1, 2, ..., k). Это может представлять значительные трудности для нелинейных

Прямые методы отыскания экстремума функции G построены на сравнении значений функций в Двух или более точках. Эти методы удобно реализовать на ЭВМ для широкого класса задач, практически не накладывая ограничений на вид функции G и область допустимых значений. Алгоритм поиска в этом случае

Все методы идентификации в своей основе делятся на детерми­ нированные (регулярные) и недетерминированные (вероятностные). Первые требуют большого числа вычислений и имеют сложные алгоритмы. Поэтому для идентификации моделей использовались прямые стохастические методы, в основу которых положен метод Монте-Карло (метод статистических испытаний). Методом Монте-Карло обычно называют любой метод, основанный на вос­ произведении большого числа реализаций случайного процесса

таким образом, чтобы его вероятностные характеристики были равны искомым величинам рассматриваемой задачи.

Метод Монте-Карло позволяет в случаях, не поддающихся классическому анализу, получить численным расчетом прибли­ женное решение задачи, используя вероятностную модель. Точ­ ность решения задачи зависит от числа проделанных операций, связанных со случайной выборкой. Применение ЭВМ позволяет легко реализовать метод Монте-Карло, так как он в отличие от классических методов приводит к простым, но многократно пов­ торяемым операциям. В силу случайного характера поиска не нужно применять специальных мер для определения направления

В качестве конкретного алгоритма был использован метод случайного спуска. Идея алгоритма заключается в том, что поиск от последней удачной точки продолжается в направлении, при­ ведшем к этой точке. Это продолжается до тех пор, пока умень­ шается функция цели G (при поиске минимума G) и не пересека­ ется граница области допустимых значений D. Алгоритм можно

где М<п>— вектор масштабов длины шага на л-м шаге; 3<п) — случайный вектор. Компоненты случайного вектора S распреде­ лены по нормальному закону с математическим ожиданием ноль и дисперсией единица. Связь между значением вектора S и компонентами вектора X линейная

где

Остановимся более подробно на выборе границ изменения хьmm и xt max. Метод поиска не накладывает принципиальных ог­ раничений на область определения D, поэтому границы возмож­ ных значений хь могут лежать в пределах от —оо до + о о . Но в этом случае резко увеличиваются время поиска и вероятность отыскания локального экстремума как следствие расширения об­ ласти определения. Эти трудности легко преодолеть, ограничивая пределы изменения каждой составляющей. Если в процессе поиска какой-либо из параметров xt принимает значение, равное граничному, то это значение границы изменяется в сторону рас­ ширения области поиска.

Вектор масштабов М корректирует дисперсию для компонент вектора X

М( =- mt exp {— 0,001 [«1(1 + рЦъФ) -f (sup n2f (1 — p«/502]},

где mL— масштаб каждой компоненты xt (задается исходя из пределов изменения xt)\ п2 — число неудачных шагов, сделанных

разность между порядковым номером текущего удачного шага поиска и номером шага, из которого было сделано п2 неудачных

пределения используется центральная предельная теорема. Тогда при числе п ^ 8 слагаемых щ их сумму с вероятностью р > 0,95 можно считать распределенной по нормальному закону.

Учитывая, что любая построенная математическая модель пред­ ставляет собой неполное и в определенной мере неточное отобра­ жение внутренних и внешних связей объекта, а также то, что экспериментальные величины имеют некоторую погрешность,

Поэтому говорить об оптимальной ММ можно, только учиты­ вая представительность выборки экспериментальных данных, которая использована для идентификации модели. Исходя из известных положений теории вероятностей, можно утверждать, что при п -> оо статистические характеристики модели будут приближаться к характеристикам объекта. Конечно, это справед­ ливо при правильном качественном описании связей, характери­ зующих изучаемый объект. Так как в реальном случае число испытаний ограничено и диапазон изменения входных аргументов заполняется неравномерно, то можно утверждать только о наи­ более вероятной аппроксимации /^-мерной функции скалярного пространства m-испытаний. Отсюда очевидно, что конкретная модель, идентифицированная на некотором множестве значений вектора А, может применяться для анализа тоже только на этом множестве. Скажем, модель ММ потерь в рабочем колесе, кон­ кретный вид которой был получен с использованием выборки экспериментальных данных только на оптимальном режиме, не может быть использована для анализа потерь при других расхо­

дах. При использовании математических моделей должны быть четко указаны границы их применения

Процесс идентификации ММ по большой выборке эксперимен­ тальных данных требует значительных затрат машинного вре­ мени, так как в процессе поиска происходит поэтапное уточнение функциональных связей и области определения D. В процессе поиска возникает вопрос определения глобального экстремума. Это требует дополнительных затрат времени ЭВМ, так как только при многократных идентификациях из различных начальных точек и при получении одинаковых конечных видов ММ можно считать, что найден глобальный экстремум по критерию соответ­ ствия (6.27) модели и объекта.

6.4.Некоторые конкретные математические модели

иих использование

Общий вид математической модели (6.24), накопленный экспе­ риментальный материал и наличие математического аппарата для поиска неизвестных коэффициентов х, с помощью быстродейству­ ющих ЭВМ позволили создать конкретные ММ отдельных эле­ ментов ПЦКДля расчета потерь на номинальных режимах соз­ даны и используются в практике научных исследований модели РК, БЛД, ЛД, ОНА, улитки; для расчета характеристики — математическая модель двухзвенной ступени (РК + БЛД). Пос­ ледняя с учетом ориентировочных рекомендаций по эффективности других неподвижных элементов (см. главы 5 и 4) может быть использована для оценки характеристик комплектных ступеней.

Математические модели для номинальных режимов. Рассмо­ трим ряд моделей для номинальных режимов.

Уравнение (6.28) представляет собой конкретный вид ММ рабочего колеса и БЛД, разработанный впервые на кафедре компрессоростроения ЛПИ им. М. И. Калинина (см., например,

работу [55]).

*

скоростей на поверхностях лопаток в модели (6.28) применяется канальный метод, который для номинальных режимов работы сту­ пени дает удовлетворительное совпадение с расчетами по более точному методу интегральных уравнений. Для описания распре­ деления скоростей основную часть рабочей лопатки разбивают на два участка (/ и II) с монотонными изменениями скоростей, которые принято схематизировать прямыми линиями (рис. 6. 1 ). В случае двухъярусных РК в рассмотрение принимается некоторая условная решетка, состоящая из одних длинных лопаток с г = г2, но с распределением скоростей действительной решетки. Замена расчетных эпюр скоростей прямолинейными участками прово­ дится вручную по условию наилучшего совпадения.

2 . Составляющие потерь в РК. Коэффициент профильного сопротивления соответственно для каждого участка на передней и задней сторонах лопатки определяется с помощью членов 5, 6, 7, 8, а коэффициенты индуктивного сопротивления и на ограни­ чивающих поверхностях приняты общими для всего межлопаточ-

Полученная математическая модель (6.28) дает достаточно полную дифференциацию потерь, численный анализ которых может быть использован для сравнения эффективности исследу­ емых и проектируемых ступеней. Искомый вектор X, значения которого приведены ниже, получен в процессе идентификации:

*зб = 0,001.

Достоинством математической модели (6.28) можно считать широкий охват возможных параметров ступени и достаточно хорошее совпадение расчетных

иэкспериментальных значений

к.п. д. Среднеквадратичное от­ клонение по 180 вариантам со- 0,7 ставило 1,6 %. Некоторым не­ достатком можно считать вы- о,6 бранный способ схематизации распределения скоростей, не 05 ограниченный какими-либо ко- ; личественно выраженными пра­

ном для оптимизации ПЧ [55].

Для получения минимально возможного числа параметров W рас­ четные распределения скоростей заменяются трапецией (заштрихо­ ванная область на рис. 6.2), основаниями которой являются уча­ стки «мгновенной» нагрузки и разгрузки на концах лопаток, а бо­ ковые грани описывают распределение скорости по ее длине. Подбор прямых проводится с помощью ЭВМ по лучшему совпаде­ нию между расчетными и схематизировнными значениями скоро­ стей по длине лопатки с использованием способа наименьших квад­ ратов. Для этого записано уравнение прямой в следующем виде:

Сумма квадратов невязок между расчетными и схематизиро­ ванными значениями скоростей такова:

Определяя производную и приравнивая ее нулю, можно полу­ чить значение коэффициента а в формуле (6.32), т. е. фактически — уравнение искомой прямой. С учетом предложенного способа схематизации в математической модели (6.34) использованы сле­

дующие параметры W: Л йср> Kw, й ср и w{. Выражение для политропного к. п. д. по полным параметрам имеет следующий вид:

(^f)! h+^[Æ;(1+ ^‘>]',] +

По сравнению с аналогичной зависимостью (6.28) выражение (6.34) существенным образом упростилось. Так, например, число неизвестных коэффициентов уменьшилось с 36 до 23, коэффициент сопротивления на ограничивающих поверхностях представлен

фициент KF = FJF-y, характеризующий ускорение (замедление) потока перед входом в рабочие каналы. Средние параметры мате­

Последнее связано с тем, что значения й>ср входят в (6.34) в третьей степени