книги / Электромагнитные переходные процессы в электрических системах

где Га з —некоторая эквивалентная постоянная времени, определяемая как

причем здесь x s —суммарное индуктивное сопротивление схемы, найденное при отсутствии всех активных сопротив­ лений (г = 0), и гг —суммарное активное сопротивление

схемы при отсутствии всех индуктивных сопротивлений (х = 0). Такой искусственный прием определения Тая сильно упрощает решение1. При нем приблизительно

легко определить по начальным условиям для данной ветви, поскольку начальное значение периодической слагающей тока нетрудно подсчитать, а предшествую­ щий ток, как правило, известен.

При более грубых расчетах обычно не прибегают к подсчету 7а.а, а принимают для нее некоторое среднее значение в соответствии с принятым для данных условий ударным коэффициентом. Так, при &у=1,8 значение Та = = 0,045 сек, которое считают одним и тем же для всех ветвей схемы.

Пример 3-1. Для схемы, показанной в верхней части рис. 3-8, найти затухание свободных токов и эквивалентную постоянную вре­ мени. Сопротивления элементов выражены в операторной форме и заданы в относительных единицах при некоторых базисных усло­ виях.

Определим результирующее операторное сопротивление схемы-

71

Относительная величина свободного тока в общей ветви сз пропорциональна результирующей операторной проводимости

<7 2 4 6 8

Рис. 3-8. К примеру 3-1. Исходная схема и кривые изменения во времени

Используя (3-14), перейдем от изображения к оригиналу:

— 0,51е~°,4°5*

72

Начальные значения частных свободных токов в долях от началь­ ного значения свободного тока в данной цепи составляют:

3-6. Графическое решение

Когда приложенное к цепи с г и L напряжение выражено ана­ литической функцией времени, решение дифференциального уравне­

кривой, которую нельзя представить достаточно близкой аналитиче­ ской функцией, то решение уравнения (3-1а) можно провести при­ ближенно с помощью графического построения, основанного на сле­ дующем.

Заменим в (3- 1а) производную d i/d t отношением конечных раз­ ностей А1/М \ после небольших преобразований теперь имеем:

и

т. е. скорость изменения тока в пределах интервала A t пропорцио­ нальна свободному току в начале рассматриваемого интервала.

Для построения искомой кривой изменения тока во времени нужно на расстоянии 7’а от начала координат (рис. 3-9) сначала на­ нести кривую изменения принужденного тока ie= u jr. Затем следует

73

разбить ось абсцисс и кривую /<.=/(0 на интервалы A t Для повы­ шения точности построения целесообразно для каждого интервала

Рис. 3-9 Графический способ нахождения кривой измене­ ния тока в цепи г, L при произвольном изменении напря­ жения источника.

составляющей и требуемой точности решения продолжительность интервала обычно принимают в пределах Д/=0,05-*-0,2 сек.

Этот способ графического решения дифференциального уравне­ ния вида (3-1 а) иногда используют даже в тех случаях, когда про­ исходящее возмущение в контуре можно представить в математичс ской форме

Г л а в а ч е т в е р т а я

ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС В НЕПОДВИЖНЫХ МАГНИТНОСВЯЗАННЫХ ЦЕПЯХ

4-1. Общие замечания

Протекание электромагнитного переходного процес­ са в магнитносвязанных цепях имеет некоторые харак­ терные особенности. Рекомендуется обратить особое внимание на основные закономерности и соотношения,

74

рассматриваемые в настоящей главе; они в значительной мере облегчат понимание более сложных явлений, кото­

что между токами и напряжениями рассматриваемых цепей сохраняется линейная зависимость и, следователь­ но, они могут быть связаны линейными дифференциаль­ ными уравнениями с постоянными коэффициентами. Для силовых трансформаторов и автотрансформаторов в усло­ виях короткого замыкания (или значительных перегру­ зок) это допущение практически выполняется, посколь­ ку основные магнитные потоки и обусловленное ими на­ сыщение магнитопроводов при этом становится меньше. Иное положение имеет место в измерительных транс­ форматорах тока при протекании по их первичным об­ моткам больших токов короткого замыкания (или пере­ грузки). Здесь ток во вторичной обмотке сильно зависит от насыщения магнитопровода. Последний вопрос пред­ ставляет предмет специального исследования.

Указанное допущение также не пригодно, когда рассматривается переходный процесс при включении силовых трансформаторов и автотрансформаторов и при внезапном сбросе их нагрузки. Правильное представле­ ние о протекании такого переходного процесса можно получить только при учете изменения насыщения их магнитопроводов (см. § 4-6).

Характер изменения свободных токов, как известно, определяется параметрами элементов рассматриваемой схемы и соотношениями между ними. Поэтому получен­ ные ниже закономерности изменения свободных токов справедливы при любых э. д. с. источников питания. От величины э. д. с., естественно, зависят начальные значения свободных токов

4-2. Основные уравнения и соотношения

Рассмотрим переходный процесс при включении на некоторое напряжение u(t) контура с Li и г\, связан­ ного взаимной индуктивностью М с другим контуром, индуктивность и активное сопротивление которого L2 и Гг. По существу это является процессом включения

75

воздушного трансформатора с закороченной вторичной обмоткой (рис. 4-1). Условимся, что все параметры и величины второго контура приведены к стороне первого контура.

Для 'каждого контура соответ­ ственно имеем:

постоянные временя

(индекс 0 у постоянной времени указывает, что она определена при всех разомкнутых контурах, с которыми данный контур имеет магнитную связь);

коэффициенты рассеяния

I , — М

Коэффициент магнитной связи между контурами

к= Ж =

иобщий коэффициент рассеяния

при малых значениях сп и бг можно принимать

Считая, что при принятых положительных направле­ ниях токов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждой катушке совпадают, имеем:

i

76

или в операторной форме (при нулевых начальных условиях)

Р е ш е т е системы (4-4) легко получить простой подста­ новкой. Из второго уравнения имеем:

< 4 5 >

после подстановки (4-5) в первое уравнение (4-4) найдем:

— операторное сопротивление первого контура с учетом магнитносвязанного с ним короткозамкнутого второго контура.

Из (4-7) следует, что влияние короткозамкнутого контура сказывается в снижении Lu причем оно тем сильнее, чем меньше рассеяние и больше постоянная времени Т20. Напротив, в пределе, когда а=1, т. е. при отсутствии магнитной связи, индуктивность Li неизмен­ на.

Из характеристического уравнения Z\ (р) =0 находим его корни:

„(Т’ю 4- Tt0) + V (т1Г14- т,„)2— 4яГ,ьТ<,л------(Ую + Г*.)

<«>

Поскольку всегда (Tlo+T2Q)2> 4aTi0T2o, оба корня являются действительными, меньшими нуля.

Следовательно, свободный ток каждого контура представляет собой сумму двух свободных токов, один

77

из которых затухает по экспоненте с постоянной време­ ни'

Как видно, Г' всегда больше 7", причем различие между ними возрастает с уменьшением рассеяния. В пределе при 0=0 имеем: Т '= Т ю + Т2о и Т"=0.

При включении контура на постоянное напряжение U== = U{p)^=Ufp для изображения тока первого контура име­ ем:

Используя известную формулу разложения (или ее видоизменение, так называемую формулу включения) и произведя ряд преобразований, получим временную функцию тока этого контура:

1 Индексация постоянных времени умышленно принята отличной от обозначения рассматриваемых контуров, чтобы искпочить оши­ бочное представление, что каждая из этих постоянных времени ха­ рактеризуется параметрами якобы только одного из данных кон­ туров.

7 8

Соотношение между начальными значениями этих свободных токов определяется постоянными времени:

из которого видно, что при включении контура на по­ стоянное напряжение принужденный ток во втором кон­ туре, естественно, отсутствует, а начальные значения свободных токов равны и взаимно противоположны:

Их связь с одноименными свободными токами перво­ го контура выражается соотношениями:

Для рассматриваемого переходного процесса на рис. 4-2,а приведены кривые изменения токов и их отдельных слагающих, причем откладываемое по оси абсцисс время выражено в долях от Tw. Ток ix(t) стремится к своему принужденному значению, а ток г2(() сначала возрастает до своего максимума, а затем затухает, стремясь к нулю. Момент наступления максимума легко найти из уравне­ ния di2/d t= 0:

Для сопоставления на рис. 4-2,6 показаны кривые изменения токов при закорачивании первого контура,

79

после того как в нем наступил установившийся режим В этом случае все величины свободных токов остаются такими же, как и при рассмотренном выше процессе включения, но их знаки меняются на обратные При этом, разумеется, принужденные токи в обоих контурах отсутствуют

а —п р и в к л ю ч е н и и н а п о с т о я н н о е н а п р я ж е н и е б — п р и з а к о р а ч и в а н и и п е р в о г о к о н т у р а , п р е д в а р и т е л ь н о п и т а е м о г о о т и с т о ч н и к а п о с т о я н н о г о н а п р я ж е н и я

По характеру кривых изменения токов i\ и ь (рис 4-2) видно, что в начальной стадии переходного процес­ са изменение токов обусловливается главным образом быстро затухающими свободными токами, а в последую­ щей— практически только медленно затухающими сво­ бодными токами Ток намагничивания, определяемый суммой токов (ii+is), практически изменяется экспонен­

связаны с изменением только общего магнитного потока

80