книги / Электромагнитные переходные процессы в электрических системах

или потока взаимоиндукции между контурами, а быстро затухающие — с изменением только потоков рассеяния контуров.

Таким образом, магнитная связь между контурами вначале убыстряет переходный процесс, а затем, напротив, замедляет его При постоянном коэффициенте рассеяния а это проявляется тем интенсивнее, чем больше постоян-

= 0 соответствуют условию, при котором влияющий кон­ тур отсутствует (или разомкнут); соответственно при 720=оо — когда он является сверхпроводящим В по­ следнем случае наведенный свободный ток 12 стремится к своему наибольшему значению, а затем остается неизменным, поскольку потерь в этом контуре нет.

4-3. Влияние рассеяния

Выясним теперь, как влияет рассеяние на соотноше­ ния между постоянными времени затухания свободных токов, а также между начальными значениями этих токов Для этого установим вначале дополнительные со-

отношения, которые вытекают из известных свойств корней квадратного уравнения1I. Из них имеем:

Используя (4-21а), из (4-21) находим весьма важное соотношение:

Рис. 4-4. Кривые изменения отношений,

82

T'l(Ti0+T2o) и Т"/(Тю+Т2о) в зависимости от коэффи­ циента рассеяния. Каждая кривая характеризует оба отношения, но для Т'/(Т10+Т2о) шкала расположена слева, а для T"I(TW+Tm) — справа. Как видно, влияние рассеяния сильнее сказывается при симметричных кон­ турах, т. е. когда их постоянные времени одинаковы

(Т2о1Тю=\) .

Аналогично приведенные на рис. 4-4,6 кривые иллюст­ рируют для ряда значений Т20/Г10 изменение отношений на­ чальных свободных токов t'1|0|/t)CB|0| и t",|0| Л',с8|0| в функ­ ции а, причем, как и на рис. 4-4,а, использовано двусто­ роннее расположение шкал. При 72о/710 > 1 рост о приво­ дит к снижению г')|0( и, наоборот, при T2ofTlo-< 1 — к уве­

личению 1'щ . Соответственно для Г'ц0) получаются обрат­ ные соотношения. Достаточно заметное влияние изменения а сказывается лишь при относительно больших значениях о (свыше 0,5). При симметричных контурах /')|01:= /"||0|, причем это равенство сохраняется вне зависимости от а.

П рим ер 4-1. Для схемы рис. 4-1 известны <Т=0,21 и T2olTio= i,22 . Переходный процесс вызывается включением первого контура на по­ стоянное напряжение. Построить кривые изменения токов в обоих контурах, выразив токи в долях принужденного тока первого кон­ тура, а время — в долях от Ти,.

По (4-9) находим:

По выражению (4-11) ити, проще, из (4-22) имеем: JV/

При заданных начальных условиях licB|0| = — h , поэтому свобод.

ные токи первого контура будут:

У р авн ен и е д л я т о к а в п ервом к о н т у р е б у д е т :

По (4-15) уравнение для тока во втором контуре будет:

v v

*I = - 0,555 ( Г ^ - Г ^ ) .

По (4-19) и (4-20) находим, что максимум тока во втором конту­ ре наступает при

и составляет

Представленные на рис, 4-2,а кривые построены по найденным здесь уравнениям.

4-4. Приближенное решение

При сильной магнитной связи между контурами, т. е. при малом значении коэффициента рассеяния о матема­ тические выкладки и соотношения для рассматриваемого переходного процесса могут быть значительно упроще­ ны, если ввести некоторые дополнительные допущения. Получаемые при этом результаты по своей точности обычно удовлетворяют требованиям практики.

Сущность такого приближенного решения заключает­ ся в следующем. При малом значении ст можно пре­ небречь вычитаемым под радикалом в (4-9); это приво­ дит к соотношениям:

8 4

Однако, поскольку приближенное значение Т" по (4-23) уже найдено, величину Т' можно определить несколько точнее, используя (4-22), т. е.

7V=7’1O+7’2O—Т". (4-25)

Таким образом, приближенные значения V и Т" про­ порциональны о; на рис. 4-4,а это иллюстрируют прямые, проведенные пунктиром. Ошибка в приближенной оцен­ ке Т' и Т" увеличивается с ростом о и уменьшением несимметрии контуров. При этом приближенные значения Т весьма преувеличены, а Т", напротив, преуменьшены. При о ^0 ,4 эти погрешности очень малы и ими можно пренебрегать.

Обратимся теперь к оценке приближенных соотноше­ ний между начальными значениями свободных токов. Постоянная времени Т" при малых а всегда много меньше Тю и Т%<>. Если в (4-14) ею пренебречь, то

г'1/0/. При ТМ< Т 10 имеет место обратная картина. Что касается погрешностей в токах i'2/0/ и t"2/0/ при прибли­

женном определении, то они всегда получаются отрица­ тельными (т. е. токи преуменьшены). Однако при доста­ точно малых о все эти погрешности вполне допустимы.

Следует особо подчеркнуть, что при отсутствии рас­ сеяния (<г=0) возможно изменение токов в контурах скачком, причем это не противоречит неизменности

85

результирующего потокосцепления, так как последнее определяется намагничивающим током, величина кото­ рого не претерпевает внезапных изменений. Рассеяние сглаживает изменение токов в контурах при внезапном изменении режима, при этом чем оно больше, тем плав­ нее происходит переход от одного режима к другому.

П ример 4-2. Для условий примера 4-1 найти приближенные зна­ чения постоянных времени и начальных свободных токов.

По (4-23) имеем:

и по (4-25)

Т'

- ^ - = 1 + 1,22 — 0,115 = 2,105 (вместо 2,1).

Соотношения между начальными значениями свободных токов по (4-26)

Начальные свободные токи в долях принужденного тока первою

=—0,441,

т.е. практически та же, что и при точном решении.

4-5. Внезапное короткое замыкание трансформатора

Переходный процесс при внезапном коротком замы­ кании за трансформатором при отсутствии насыщения его магнитопровода, вообще говоря, идентичен рас­ смотренному в § 4-2, с той лишь разницей, что здесь включение производится не на постоянное, а на синусо-

86

идальное напряжение. Полученные выше выражения для постоянных времени затухания свободных токов, конеч­ но, полностью справедливы и в данном случае, причем, поскольку в трансформаторах потоки рассеяния ничтож­ но малы по сравнению с общим потоком взаимоиндук­ ции, применение приближенных выражений (4-23) и (4-24) для оценки Т" и Т' практически не вносит ника­ кой погрешности.

6)

Рис. 4-5. Включение трансформатора на короткое замыкание.

a — трехлинейная схема; б — схема заме­ щения.

Применяя к схеме рис. 4-5,а формулу включения контура на синусоидальное напряжение, можно найти общие выражения для токов в цепи каждой обмотки трансформатора.

В смехе замещения двухобмоточного трансформатора

(рис. 4-5, б) обычно /-!*=« га и х аХ= х а2, поэтому Т10~ Т2о. При этом условии соотношение между начальными свобод­

его можно привести к еще более простому виду, если пренебречь в числителе и знаменателе весьма малыми действительными частями по сравнению с мнимыми:

8 7

Наконец, учитывая (4-23), (4-24) и принятое равен­ ство Ti0=T2o, выражение (4-30) можно записать как

*"i/o/ 4

*'i/o/ e

В таких же соотношениях, но лишь с обратным знаком, находятся начальные свободные токи другой обмотки, Т’ е- ' 2/0/И' 2/0/•

Коэффициент рассеяния а трансформатора очень мал, вследствие чего медленно затухающие свободные токи i / и гУ значительно меньше соответствующих быст­ ро затухающих свободных токов i " и гУ'. По своей природе токи i\ и гУ обусловлены изменением общего магнитного потока трансформатора, который создается током намагничивания. При пренебрежении последним, как это делают в большинстве практических расчетов (§ 2-1), одновременно отпадает учат и этих токов. В этом случае, полагая в схеме замещения трансформатора

=оо, что приводит к уменьшению числа контуров

этой схемы, каждую обмотку трансформатора можно рассматривать как элемент с активным и индуктивным (от потока рассеяния) сопротивлениями, приведенными к одной ступени напряжения и определяемыми по из­ вестным для данного трансформатора потерям и на­ пряжению короткого замыкания (рк и ик). При этом для двухобмоточного трансформатора отпадает необходи­ мость определения параметров отдельно каждой обмот­ ки; такой трансформатор характеризуют суммарными активным и индуктивным сопротивлениями, приведенны­ ми к одной нз его сторон.'. Постоянная времени затуха­ ния свободного тока в цепи, состоящей только из одного трансформатора, при этом будет:

нечной мощности При внезапном коротком замыкании за транс­ форматором определить постоянные времени затухания свободных токов и соотношение между начальными значениями этих токов.1

1 При выражении сопротивлений в именованных единицах.

88

Все величины выражаем в процентах, за исключением постоян­ ных времени, которые выражаем в секундах.

По заданным потерям в меди находим активное сопротивление трансформатора:

950-10-*

г= р«.~---«ДО--- 100 = °>4%-

Практически можно считать *«2= 1 2 ,7 % .

Полная реактивность каждой из обмоток будет:

4-6. Включение холостого трансформатора

В заключение настоящей главы остановимся на од­ ном из наиболее ярких примеров, когда насыщение маг­ нитной системы играет решающую роль в характере протекания электромагнитного переходного процесса.

Рассмотрим переходный процесс, возникающий при включении холостого трансформатора на синусоидаль­ ное напряжение постоянной амплитуды и неизменной частоты. По существу это равноценно включению дрос­ селя с магнитным сердечником, в котором проявляется насыщение.

В § 3-2 было установлено, что при замыкании пред­ варительно ненагруженной цепи с L и г наибольшая ве­ личина тока возникает при условии, когда подведенное

8 9

напряжение в момент замыкания проходит через нуль. Из этого условия как наиболее неблагоприятного исхо­ дим и в данном случае. Если пренебречь малым актив­ ным сопротивлением обмотки трансформатора, то усло­ вие равновесия напряжения после включения трансфор­ матора будет:

где w — число витков подключенной обмотки трансфор­ матора.

холостого трансформатора.

Интегрирование выражения (4-32) с учетом того, что начальный магнитный поток Фо=0, приводит к очевид­ ной закономерности изменения магнитного потока:

При учете активного сопротивления обмотки посто­ янная составляющая в (4-33) будет затухать с постоян­ ной времени T&= Llr и это выражение примет вид:

9 0