Свойства взаимооднозначного соответствия:

1. Прямая на пов-ти переходит в прямую на развёртке.

2. || - ые прямые на пов-ти переходят в || -ые прямые на разв-ке.

3. Длины линий на развёртке и на поверхности равны.

4. Площадь поверхности равна площади развёртки.

Развёртки всегда заканчивают той линией или точкой, с которой её начали строить.

Развёртки гранных поверхностей.

1. Развёртка пирамиды.

Мы выяснили, что для построения развёртки необходимо определить нат. величины всех элементов поверхности.

Основание пирамиды параллельно плоскости П₁, поэтому оно уже спроецировано на эту плоскость в НВ:

∆ АВС  П₁  ∆ А₁ В₁ С₁ – НВ

Необходимо найти НВ боковых граней, она состоит из треугольников. Для построения НВ треугольников, необходимо определить Н В -ны боковых ребер.

SС || П₂ (в простр-ве), S₁ C₁ || Х₁₂, т.е. S₂С₂ –НВ (на черт.).

Поэтому необх. найти НВ–ны SA и SВ вращением вокруг проецирующей оси i₁ ≡ S₁ .

После определения НВ-ин всех элементов, строим развёртку пирамиды.

Предположим на грани ВSC находится т-ка М₁, необходимо нанести ее на развёртку. Для этого через данную т-ку проводят прямую (S - 1₁), соединяющую вершину и основание пирамиды  определяем М₂  находим НВ прямой (S - 1₁) вращением вокруг оси Þ наносим на развёртку данную прямую и т-ку М.

2. Развёртка призмы.

При построении развёртки боковой поверхности призмы используются 2 способа:

1. способ нормального сечения;

2. способ раскатки.

Способ нормального сечения используется, когда основание призмы является пл-тью общего положения. Решение задачи см. в бланке № 11

С пособ раскатки используется, когда основание призмы || пл-ти пр-ий, где спроецировано в НВ.

Если рёбра призмы являются горизонталями, то раскатку производят способом вращения вокруг горизонтали и, таким образом, определяются НВ каждой грани призмы.

∆ АВС || П₂ Þ А₂В₂С₂ - НВ

АА' , ВВ' , СС' || П₁ Þ А₁А₁' , В₁В₁' , С₁С'₁ - НВ Þ

вращением вокруг горизонтали пристраиваем развёртку поверхности к призме. Для этого через каждую точку рёбер призмы проводим -ры – плоскости, в которых будут вращаться каждая образующая до положения, когда они совместятся с плоскостью П₁. Т. е. вся поверхность призмы превратится в одну плоскость.

Лекция 11 Развёртки кривых поверхностей.

В общем случае развёртки таких пов-тей выполняются способом триангуляции, т.е. заменой кривой пов-ти на вписанную в неё гранную пов-ть.

К кривым пов-тям (развёртывающимся) относятся коническая и цилиндрическая пов-ти. В коническую пов-ть вписывается пирамидальная, а в цилиндрическую – призматическая пов-ть. Строится развёртка гранной пов-ти, после чего концы рёбер соединяются плавной кривой линией.

1. Развёртка прямого кругового конуса.

2. Развёртка прямого кругового цилиндра.

Развёртки наклонных конуса и цилиндра рассмотреть в бланке № 11