УМК Коровкин-Кулик

Теорема Эйлера. Главные вектора объемных и поверхностных сил и вектора количеств движения масс жидкости, входящих и выхо- дящих сквозь сечения трубы в единицу времени, направленные внутрь выделенного объема, образуют замкнутый многоугольник.

Обращаем особое внимание на необходимость при применении тео- ремы Эйлера направлять вектор количества движения массы, проходящей в единицу времени, через нижнее (по течению) сечение, всегда внутрь вы- деленного объема жидкости в трубе (рис. 3.19).

Из формулы Эйлера можно найти и действие жидкости на трубу. Для этого достаточно по закону равенства действия и противодействия заме- нить главный вектор поверхностных сил, приложенных к жидкости, на равный ему и прямо противоположный по направлению вектор.

3.15.2. Давление жидкости на неподвижный сосуд

151

нию с площадью свободной поверхности в сосуде, то исходя из формулы Торричелли можно записать:

V2 = 2gh , V1 = 0 ,

Чтобы оценить реакцию выходящей струи, заметим, что проекции давления жидкости на площадку S2 нижнего конца при закрытом кране были бы равны

Заменяя в выражении (3.163) М на ρV2S2 = ρS2 2gh и сравнивая с

(3.164), получим

то есть реакция выходящей струи по величине в два раза превосходит статическое давление на сечение и направлена в сторону, противополож- ную этому давлению:

Искусственно создавая большое давление на поверхность S1, можно получить очень значительные скорости в выходном отверстии и, таким об- разом, – значительные реакции вылетающей струи.

3.15.3. Давление струи на пластинку

Теорема количеств движения позволяет определять давление струи, падающей на пластинку, если только размеры пластинки значительно пре- восходят диаметр струи.

Если струя падает перпендикулярно на пластинку (рис. 3.21), то, предполагая, что скорость оттекания (а, следовательно, и площадь сечения струи) мало изменяется, сможем, не учитывая веса, определить силу дав- ления на пластинку

R = MV1 ,

152

так как вектора количеств движения растекающейся по поверхности пла- стинки жидкости равны и прямо противоположны. Заменяя расход М его значением ρSV1 , получим известную формулу Даниила Бернулли:

то, предполагая, что размеры пластинки велики по сравнению с диаметром струи, получим вектора MV1 , −M 2V2 , −M 2 'V2 и давление R ' пластинки на жидкость, которые образуют замкнутый четырехугольник. Давление жид- кости на пластинку или пластинки на жидкость будем считать нормальным к пластинке, так как трением жидкости о пластинку можно пренебречь. Выше (см. п. 3.15.2) в силу симметрии мы считали, что секундные количе- ства движения жидкости, оттекающей по пластинке в обе стороны, одина- ковы. Теперь мы не можем сделать этого предположения, как видно из диаграммы на рис. 3.22.

Обозначим массу жидкости, протекающую через сечение струи в верх- ней части пластинки А, – М2 , а через сечение струи в нижней части В – М2′.

Проектируя вектора, образующие замкнутый четырехугольник, на направление нормали к пластинке, будем иметь

R1 = MV1 sin α = ρSV12 sin α.

153

Здесь опять S обозначает площадь сечения струи у выхода из трубы.

При α = π получим формулу (3.166). Проектируя тот же четырехугольник

2

на направление пластинки, получим

MV1 cos α + M 2 'V2 '− M 2V2 = 0

Кроме того, из условия одинаковости расхода массы жидкости вдоль

струи

М2 + М2′ = М.

Из этих двух уравнений можно вычислить массы жидкости, расте- кающиеся в единицу времени в обе стороны пластинки. Обыкновенно счи- тают, что скорости растекания струи одинаковы со скоростью струи при выходе из трубы, то есть V2 = V2′ = V1, так что различие значений М2 и М2' происходит за счет разных сечений струи в точках А и В. При таком пред- положении будем иметь:

Подобно тому, как мы вычислили давление струи на плоскую пла- стинку, точно так же можно найти и давление на криволинейную пластин- ку. Например, если струя ударяется о ло- патку в форме дуги круга (рис. 3.23), то

давление

то есть в два раза большее давление, чем при натекании на перпендику- лярную плоскую пластинку.

154

3.15.4. Уравнение Бернулли

Выделим в жидкости отдельную струйку (рис. 3.24) и обрежем ее дву- мя перпендикулярными к линии тока сечениями А и В.

За момент времени dt масса жидкости АВ перейдет в новое положе- ние A′B′ , причем количество жидкости, заключенное в каждом из заштри- хованных элементов, будет равно mdt, где m – масса жидкости, проходя- щая через поперечное сечение струйки за единицу времени.

Изменение кинетической энергии выделенной массы жид- кости будет равно работе сил веса и гидродинамического давления (работой сил внутреннего трения пренебрегаем, считая жидкость идеальной).

В момент времени t выде- ленная масса жидкости, занимая объем АВ, имеет кинетическую

энергию Т1, которую можно представить состоящей из двух слагаемых: кинетической энергии Т1′ жидкости в объеме AA′ и кинетической энергии Т1′′ жидкости, занимающей остальную часть A′B объема струйки.

Пусть V1 – скорость в сечении А, тогда

T1′ = mdt V12

2

и, следовательно,

T1 = mdt V12 + T1′′ . 2

Аналогично в момент времени (t + dt) получим

T2 = mdt V22 + T2′′ , 2

где Т2′′ – кинетическая энергия жидкости в объеме A′B в момент (t + dt); V2 – скорость в сечении В.

Считая движение жидкости установившемся, то есть принимая, что скорость, меняясь от сечения к сечению, остается в данном месте постоян- ной (не изменяется во времени), имеем

155

T1′′= T2′′

и, следовательно,

T2 − T1 = mdt(V22 − V12 ) . 2 2

Напишем теперь сумму работ сил гидродинамического давления и силы веса, действующих на выделенную часть струйки за время dt.

Работа гидродинамического давления. Пусть р1 и р2 – давления в се-

чениях А и В; S1 и S2 – соответствующие площади сечения струи. Тогда си-

лы давления на площадки А и В соответственно будут p1S1 и p2S2. Сила p1S1

направлена по движению жидкости, а p2S2 – против него. Следовательно,

искомая работа равна

p1S1V1dt − p2S2V2dt .

Замечая, что S1V1 = S2V2 – объем жидкости, проходящий в единицу времени через сечение струйки, имеем

S1V1 γ = S2V2 γ = m , g g

где γ – вес единицы объема жидкости.

Тогда выражение для работы сил гидродинамического давления примет вид

( p1 − p2 ) mgγ dt .

Работа силы веса. Для ее определения составим разность потенци-

альных энергий сил веса в моменты времени t и (t + dt). Потенциальная энергия П1 веса массы жидкости, занимающей в момент времени t объем

АВ, может быть представлена как сумма потенциальных энергий П1′ веса объема АА′ и потенциальной энергии П1′′ веса объема A′B . Получаем

П = mdt gz + П′′

1 1 1

и аналогично для объема А′В′ в момент (t + dt)

П2 = mdt gz2 + П2′′ ,

где П2′′ – потенциальная энергия веса объема A′B , равная П1′′. Получаем П1 − П2 = mgdt (z1 − z2 ) .

156

Подставляя найденные выражения в уравнение, выражающее теоре-

му об изменении кинетической энергии, получим

Три слагаемых формулы (3.167) имеют размерность длины. Член z

называется высотой относительно горизонта, или нивелирной высотой,

ской энергии Н единицы веса жидкости, которая остается при отсутствии потерь постоянной.

157

3.16.Вопросы для самоконтроля

1.Что является предметом динамики?

2. В чем заключаются пространственно-временные представления И. Ньютона, положенные им в основу классической механики?

3.Что называется массой точки? Какие свойства тела выражает поня-

тие массы?

4.Сформулируйте аксиомы или основные законы классической ме-

ханики.

5.Какая система отсчета называется инерциальной?

6.Выведите дифференциальное уравнение движения свободной мате- риальной точки при трех способах задания движения материальной точки.

7.Сформулируйте две основные задачи динамики свободной матери- альной точки. Посредством каких математических операций они решаются и как именно?

8.Сколько постоянных интегрирования войдет в общее решение диф- ференциальных уравнений движения материальной точки, если она движется в пространстве, на плоскости, вдоль прямой, соответственно.

9.Что такое начальные условия движения материальной точки и как они записываются при трех способах задания движения?

10.Под действием какой силы совершаются свободные колебания ма- териальной точки?

11.Напишите дифференциальное уравнение свободных колебаний ма- териальной точки.

12.Напишите формулы, выражающие частоту, период, амплитуду и начальную фазу свободных колебаний материальной точки.

13.Под действием каких сил совершаются затухающие колебания ма- териальной точки?

14.Напишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

15.Напишите решение дифференциального уравнения затухающих ко- лебаний. От чего зависит вид решения?

16.Что называется декрементом колебаний? логарифмическим декре-

ментом?

17.В каких случаях движение материальной точки будет апериоди-

ческим?

18.Под действием каких сил совершаются вынужденные колебания материальной точки?

19.Напишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

20.Напишите общее решение дифференциального уравнения вынуж- денных колебаний.

21.Каковы частота и период вынужденных колебаний материальной

точки?

22.От каких факторов зависит амплитуда вынужденных колебаний ма- териальной точки?

158

23.При каких условиях возникает явление резонанса и каковы уравнение

играфик вынужденных колебаний материальной точки при резонансе?

24.Как влияет сопротивление, пропорциональное скорости, на ампли- туду, фазу, частоту и период вынужденных колебаний?

25.Как используется в технике явление резонанса? Всегда ли является резонанс полезным эффектом?

26.В каких случаях материальную точку называют несвободной?

27.Дайте определение стационарных и нестационарных, удерживаю- щих и неудерживающих, голономных и неголономных связей.

28.Как записываются уравнения связей для различных видов связей?

29.Сформулируйте и разъясните принцип освобождаемости от связей.

30.Сделайте вывод основного уравнения динамики относительного движения материальной точки.

31.Какой модуль и какое направление имеют переносная и кориолисо- ва силы инерции?

32.В чем заключается различие между дифференциальными уравне- ниями относительного и абсолютного движений материальной точки?

33.Как вычисляются переносная и кориолисова силы инерции в раз- личных случаях переносного движения?

34.Какие системы отсчета называются инерциальными? неинерци-

альными?

35.Напишите условия относительного покоя материальной точки.

36.Почему падающие тела отклоняются к востоку?

37.Почему сила тяжести на полюсах земли имеет наибольшее значе- ние, а на экваторе – наименьшее?

38.Какие явления на земле объясняются действием кориолисовой силы

инерции?

39.Что называется системой материальных точек или механической

системой?

40.Что такое масса системы?

41.Что называют центром масс системы? Напишите формулы для оп- ределения координат центра масс системы.

42.Дайте определение внешним и внутренним силам, действующим на

систему.

43.Какими свойствами обладают внутренние силы?

44.Что называют моментами инерции тела относительно плоскости, оси и полюса? Напишите их выражения.

45.Что называют центробежным моментом инерции тела? Напишите его выражение.

46.Что такое радиус инерции?

47.Сформулируйте теорему о моментах инерции тела относительно параллельных осей.

48.Моменты инерции каких тел вы знаете? Напишите формулы для их

вычисления.

49.Что называют количеством движения материальной точки?

159

50.Сформулируйте теорему об изменении количества движения точки

вдифференцильной и конечной формах.

51.Что такое элементарный импульс и импульс силы за конечный про- межуток времени?

52.Сформулируйте закон сохранения количества движения точки.

53.Что такое главный вектор количеств движения системы или количе- ство движения механической системы?

54.Напишите дифференциальное уравнение движения механической

системы.

55.Сформулируйте теорему об изменении количества движения систе- мы в дифференцильной форме.

56.В каком случае сохраняется количество движения системы?

57.Как выражается количество движения системы через массу системы и скорость центра масс?

58.Сформулируйте теорему о движении центра масс механической

системы.

59.Сформулируйте закон сохранения центра масс механической сис-

темы.

60.Что называют моментом количества движения точки относительно центра и оси?

61.Сформулируйте теорему об изменении момента количества движе-

ния точки.

62.Что называют центральной силой?

63.В каком случае сохраняется момент количества движения точки от- носительно центра?

64.Что называют главным моментом количеств движения или кинети- ческим моментом механической системы относительно центра и оси?

65.Сформулируйте теорему об изменении кинетического момента

системы.

66.Сформулируйте закон сохранения кинетического момента системы.

67.Как вычисляется кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

68.Напишите дифференциальное уравнение вращения тела вокруг не- подвижной оси.

69.Что называют кинетической энергией материальной точки?

70.Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии точки

вдифференциальной и конечной формах.

71.Что называют элементарной работой силы и как она вычисляется?

72.Как вычисляется работа силы на конечном пути?

73.Как вычисляется работа силы тяжести, силы упругости? Напишите соответствующие формулы.

74.Что называют кинетической энергией механической системы?

75.Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии сис-

темы.

160