УМК Коровкин-Кулик

3.7.Введение в динамику механической системы

3.7.1.Основные понятия и определения

Механической системой материальных точек или механической системой называется совокупность материальных точек, движение ка- ждой из которых зависит от движения остальных. Примеры механиче-

ских систем: твердое или упругое тело; гибкая нить; механизм или маши- на, представляющие собой сочетание твердых, упругих, гибких или жид- ких тел; солнечная система.

По характеру абсолютного движения отдельных точек механические системы разделяются на два вида:

1)системы, состоящие из свободных материальных точек, каждая которых может перемещаться в произвольном направлении в пространстве (например, солнечная система);

2)системы, состоящие из несвободных материальных точек, движе- ние которых ограничено связями.

По характеру относительного движения точек механические системы разделяются на три вида:

1)системы, относительное движение точек которых может изме- няться (например, упругие или жидкие тела, гибкие нити);

2)системы, относительное движение точек которых может происхо- дить лишь по заранее установленным законам (например, механизмы и машины);

3)неизменяемые системы, расстояния между всеми точками которых при движении системы не изменяются (например, абсолютно твердые тела).

Определить движение системы – значит указать положение каждой из точек системы в любой наперед заданный момент времени.

Для определения положения в пространстве n свободных точек тре- буется 3n координат. Если движение системы ограничено S связями, то произвольное значение могут принимать только (3n – S ) координат. Такое количество произвольно выбранных координат можно считать независи- мыми переменными. Остальные координаты будут функциями выбранных.

При определении положения системы часто пользуются так назы- ваемыми обобщенными координатами. Обобщенными координатами сис- темы называются независимые параметры, достаточные для определения положения данной системы. Через обобщенные координаты выражаются координаты всех точек системы.

101

Число обобщенных координат соответствует числу степеней свобо- ды системы.

Согласно сказанному выше, при наложении на систему из n свобод- ных точек S связей образуется система с (3n – S ) степенями свободы.

3.7.2. Классификация сил, действующих на систему

Силы, действующие на материальные точки, образующие механиче- скую систему, классифицируют двумя способами:

1.Силы взаимодействия точек, принадлежащих к данной системе, на- зываются внутренними силами, а силы взаимодействия точек системы с ма- териальными телами, не входящими в системы, называются внешними силами.

2.Все силы, приложенные к точкам системы, разделяются на актив- ные силы и реакции связей.

Внутренние силы в дальнейшем будем обозначать индексом i, внеш- ние – индексом е.

Отметим важное свойство внутренних сил: для каждой данной внут-

ренней силы F i имеется другая внутренняя сила, равная и противоположная первой (−F i ). Это свойство вытекает из третьего закона динамики. Из отме-

ченного свойства следует, что главный вектор, а также главный момент внут- ренних сил относительно любого центра или оси равны нулю:

Следует подчеркнуть, что попарно равные внутренние силы не урав- новешивают друг друга, так как они приложены к различным материаль- ным точкам (или телам).

Нужно иметь в виду, что силы, внутренние по отношению ко всей механической системе, могут быть внешними по отношению к части по- следней.

3.7.3. Возможные перемещения

Возможным перемещением несвободной материальной точки назы- вается любое бесконечно малое перемещение, допускаемое связью.

102

Возможным перемещением механической системы называется со- вокупность возможных перемещений всех точек системы, получаемая в результате бесконечно малого изменения какой-нибудь одной обобщенной координаты.

Если система имеет m степеней свободы, которым соответствуют обобщенные координаты q1, q2 ,..., qm , то декартовы координаты любой из n

точек системы являются функциями m переменных:

xk = xk (q1, q2 ,..., qm );

yk = yk (q1, q2 ,..., qm );

zk = zk (q1, q2 ,..., qm ),

где k = 1, 2, …, n.

Взаимно независимые бесконечно малые изменения (так называемые вариации) обобщенных координат обозначают δq1, δq2 , ..., δqm . Соответ-

ствующие бесконечно малые изменения (вариации) декартовых координат точек системы выражаются как дифференциалы функций m переменных:

где k = 1, 2, …, n.

В частном случае для систем с одной степенью свободы, имеющих одну обобщенную координату q,

δxk = dxk δq; dq

δyk = dyk δq; dq

δzk = dzk δq, dq

где k = 1, 2, …, n.

103

Величины δxk ,δyk ,δzk представляют собой проекции вектора воз-

можного перемещения k-той точки системы δSk :

Вектор возможного перемещения точки равен вариации радиус-

вектора данной точки:

δSk = δrk .

3.7.4. Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений определяет условие равновесия ме- ханической системы с идеальными связями. Он был впервые сформулиро-

ван Стивином (1586 г.), обобщен Лагранжем (1788 г.) и распространен на системы с неудерживающими связями М.В. Остроградским (1842 г.).

Принцип возможных перемещений заключается в следующем.

Для равновесия системы с идеальными удерживающими связями не- обходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех актив- ных сил, приложенных к системе, при любом возможном перемещении по- следней равнялась нулю.

Уравнение, выражающее принцип возможных перемещений,

носит название общего уравнения статики. Оно позволяет решать задачи о равновесии механических систем с идеальными удерживающими связями.

Общее уравнение статики можно записать несколькими способами:

n

∑ ( X k δxk + Yk δyk + Zk δzk ) = 0.

k=1

Вуравнениях (3.55) Fk – вектор равнодействующей внешних актив-

ных сил, приложенных к k-той точке системы; X k , Yk , Zk – проекции упо-

мянутого вектора.

Для системы, обладающей m степенями свободы, можно составить m общих уравнений статики – для каждого из возможных перемещений сис- темы. При этом вариации координат точек системы, необходимые для под- становки в уравнения (3.55), следует определять каждый раз, считая, что все вариации обобщенных координат, кроме одной, равны нулю.

104

Если механическая система содержит твердые тела (звенья), возмож- ные перемещения которых представляют собой повороты вокруг непод- вижных или мгновенных осей, то элементарные работы активных сил, приложенных к этим телам, можно выразить произведениями главных мо- ментов активных сил относительно упомянутых осей на бесконечно малые углы поворота вокруг последних. Элементарную работу активных сил, приложенных к j-тому звену, с неподвижной (или мгновенной) осью вра- щения z j можно вычислить по формуле

δAj = M zjδϕ j ,

где M zj – алгебраическая сумма моментов активных сил, приложенных к данному звену, относительно оси вращения; δϕ j – бесконечно малый угол

поворота звена при возможном перемещении системы.

При решении задачи о равновесии системы, состоящей из несколь- ких звеньев, методами статики приходится расчленять систему и рассмат- ривать условия равновесия каждого звена в отдельности. При этом, если все силы действуют в одной плоскости, необходимо решать 3n уравнений равновесия (n – число звеньев), в которые требуется вводить силы взаимо- действия звеньев. Принцип возможных перемещений позволяет решать за- дачу о равновесии всей системы с помощью одного уравнения (общего уравнения статики), в которое силы взаимодействия звеньев не входят.

Принцип возможных перемещений можно также применять при рас- чете ферм для определения опорных реакций и усилий в стержнях.

3.8.Общие теоремы динамики системы

3.8.1.Дифференциальные уравнения движения системы

Все силы, приложенные к любой из материальных точек, образую- щих систему, можно представить в виде геометрической суммы двух сил

Fke и Fki , где Fke – равнодействующая всех внешних сил, приложенных к данной (k-той) точке; Fki – равнодействующая всех внутренних сил, при-

ложенных к этой же точке. При этом, согласно второму закону динамики,

Проектируя векторное уравнение (3.56) на оси инерциальной системы отсчета, получаем три дифференциальных уравнения:

105

Уравнения (3.57) описывают движение одной (k-той) точки системы. Для описания движения всей системы, состоящей из n точек, требуется 3n уравнений данного вида. Уравнения (3.57) называются дифференциаль- ными уравнениями движения системы, при условии, что k = 1, 2, …, n.

3.8.2. Теорема о движении центра масс системы

Центром масс (или центром инерции) системы называется геометри- ческая точка пространства с координатами

Величина М называется массой системы.

Положение центра масс можно также определить радиус-вектором по формуле

где rk – радиус-вектор k-той точки системы.

Выражения (3.58) получаются путем проектирования выражения (3.59) на оси координат.

Если почленно сложить n уравнений (3.56), то получится следующее выражение:

106

Векторные суммы в правой части представляют собой главные век- торы внешних и внутренних сил системы соответственно. Главный вектор внутренних сил равен нулю.

Поэтому

k =1

Дважды дифференцируя выражение (3.61) по времени, получаем

k =1

Левые части выражений (3.60) и (3.62) одинаковы. Следовательно, должны быть равны и правые части этих выражений. Приравнивая правые части выражений (3.60) и (3.62), получаем векторное уравнение

эквивалентное трем скалярным уравнениям:

Таким образом, доказана теорема о движении центра масс: центр масс системы движется так же, как двигалась бы материальная точка, обладающая массой всей системы, под действием силы, равной глав- ному вектору внешних сил.

Важнейший практический вывод из теоремы: внутренние силы не могут влиять на движение центра масс.

Частные случаи

1. Re = 0 . При этом, согласно уравнению (3.63), aC = 0 . Следова-

тельно, в данном случае центр масс не имеет ускорения, то есть остается в покое или движется равномерно и прямолинейно (VC = const ). В этом вы-

ражается так называемый закон сохранения движения центра масс.

107

2. X e = 0 . При этом, согласно уравнению (3.64), ɺɺxC = 0 , что соответ-

ствует xɺC = const . Следовательно, в данном случае проекция центра масс

на ось Ox остается неизменной: Vcx = Vcx0 . Если к тому же Vcx0 = 0 , то Vcx = 0 все время движения.

3.8.3. Теорема об изменении количества движения системы

Количеством движения механической системы называется главный вектор количеств движения материальных точек, образующих систему.

Согласно определению, количество движения системы находится по формуле

k =1

Однако в ряде случаев K удобнее определять по другой формуле, полученной следующим путем.

Дифференцируя выражение (3.61) по времени, получаем

k =1

Правые части выражений (3.65) и (3.66) одинаковы, следовательно, равны и их левые части. Это означает, что вектор количества движения сис- темы равен массе системы, умноженной на вектор скорости центра масс:

Левую часть этого векторного уравнения можно рассматривать как производную по времени от количества движения системы,

Произведение, стоящее в правой части уравнения (3.69), представля- ет собой элементарный импульс главного вектора внешних сил, равный геометрической сумме элементарных импульсов внешних сил,

108

Поэтому

k =1

Дифференциальное уравнение (3.70) выражает теорему об измене- нии количества движения системы в дифференциальной форме: измене-

ние количества движения системы за бесконечно малый промежуток времени равно геометрической сумме элементарных импульсов внешних сил.

Изменение вектора количества движения системы за конечный про-

Векторное уравнение (3.71) выражает теорему об изменении количе- ства движения системы в конечной форме: изменение количества движе-

ния системы за конечный промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил за данный промежуток времени.

Проектируя уравнение (3.71) на оси координат, получаем соответст-

венно

K x − Kx0 = Sxе;

K y − K y0 = S yе;

K z − K z0 = Szе.

(3.72)

mVCx − mVCx0 = Sxе;

mVCy − mVCy0 = S yе;

mVCz − mVCz0 = Szе.

109

Проекции импульса главного вектора внешних сил, стоящие в пра- вых частях уравнений (3.72), находятся по формулам

В рассмотренных частных случаях проявляется так называемый за- кон сохранения количества движения системы.

Теоремой об изменении количества движения системы удобно поль- зоваться при исследовании движения жидких тел. Она широко применяет- ся в теории удара и в изучении движения тел переменной массы.

3.8.4. Теорема о кинетическом моменте системы

Кинетическим моментом системы относительно некоторого цен- тра называется главный момент количеств движения материальных то- чек, образующих систему, взятый относительно данного центра.

По определению кинетический момент системы относительно не- подвижного центра О

k =1

где M 0 (mkVk ) – момент количества движения k-той точки относительно заданного центра.

Проверяя теорему о моменте количества движения материальной точки к k-той точке системы, будем иметь:

110