УМК Коровкин-Кулик

3.9.2. Определение главного вектора сил инерции системы

Найдем выражение для главного вектора сил инерции системы в об- щем случае.

По определению главный вектор сил инерции системы представляет собой геометрическую сумму векторов сил инерции всех точек системы

n

Rин = ∑ (−mk ak ) .

k =1

Согласно формуле (3.63)

∑n (−mk ak ) = −Mac , k =1

где Wc – вектор ускорения центра масс.

Таким образом, главный вектор сил инерции системы во всех случа- ях можно определять по формуле

При криволинейном движении центра масс

ac = acτ + acn .

Следовательно,

Rин = Rτин + Rnин ,

где Rτин = −Macτ – касательная составляющая главного вектора сил инерции;

Rnин = −Macn – нормальная составляющая главного вектора сил инерции.

3.9.3. Определение главного момента сил инерции неизменяемой системы

Главный момент сил инерции любой системы относительно произ- вольно выбранной точки О

k =1

где rk – радиус-вектор k-той точки, имеющий начало в выбранном центре О.

Главные моменты сил инерции относительно осей, проходящих че-

рез точку О, равны проекциям вектора M0ин на эти оси.

121

При поступательном движении системы ускорения всех ее точек одинаковы и равны ускорению центра масс ( ak = ac ).

При этом правая часть выражения (3.92) примет вид

k =1

Следовательно, при поступательном движении системы

M oин = Mrc × (−ac ) = rc × (−Mac ) = rc × Rин .

Главные моменты сил инерции поступательно движущейся системы относительно осей координат можно определять по формулам

Mxин = yc Zин – zc Yин;

Myин = zc Xин – xc Zин;

Mzин = xc Yин – yc Xин,

где xc, yc, zc – координаты центра масс; Xин, Yин, Zин – проекции главного вектора сил инерции.

Если за центр приведения взять центр масс, то rc = 0 .

Поэтому главный момент сил инерции поступательно движущейся системы относительно центра масс данной системы равен нулю:

Mcин = 0 .

В этом случае равны нулю и главные моменты сил инерции относи- тельно любых осей, проходящих через центр масс, например, осей Сx, Сy, Сz:

Мxин = Мyин = Мzин = 0.

При вращении системы вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоро- стью ω и угловым ускорением ε сила инерции каждой точки системы имеет касательную и нормальную составляющие. Линии действия всех нормальных составляющих (центробежных сил) пересекают ось вращения. Поэтому главный момент сил инерции относительно оси вращения равен сумме моментов одних касательных составляющих этих сил:

где rk – расстояние k-той точки до оси вращения.

122

Сумма в правой части последнего выражения представляет собой момент инерции системы относительно оси вращения Jz. Следовательно, главный момент сил инерции системы относительно оси вращения опреде- ляется по формуле

Знак «минус» в правой части выражения (3.93) указывает, что Mzин направлен против углового ускорения системы.

Плоскопараллельное движение системы можно рассматривать как составное движение, слагающееся из переносного поступательного движе- ния вместе с центром масс и вращательного вокруг оси Сξ , проходящей через центр масс перпендикулярно к плоскости движения. При этом уско- рение каждой точки системы следует считать равным сумме двух ускорений

ak = ac + ark ,

где ark – ускорение k-той точки во вращательном движении вокруг оси Сξ.

Сила инерции каждой точки будет иметь две составляющие:

Fkин = Fekин + Frkин ,

где Fekин = −mk ac – сила инерции переносного движения; Frkин = −mk akr –

сила инерции относительного движения.

Главный момент всех сил инерции относительно центральной оси Сξ, получим, складывая два момента, один из которых есть главный мо-

3.10. Общее уравнение динамики.

Принцип Д'Аламбера – Лагранжа

При движении механической системы силы инерции уравновешива- ют силы, приложенные к точкам системы.

После того, как движущаяся система мысленно остановлена (ко всем ее точкам приложены соответствующие силы инерции), условия динами-

123

ческого равновесия можно выразить с помощью принципа возможных пе- ремещений. Для равновесия мысленно остановленной системы необходи- мо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции при любом возможном перемещении системы из данного ее положения равнялась нулю.

Применение принципа возможных перемещений в этом случае дает:

Уравнение (3.95), одновременно выражающее принцип Д'Аламбера и принцип возможных перемещений, называется общим уравнением динамики.

Как и общее уравнение статики, общее уравнение динамики можно записать несколькими способами:

Поскольку проекции силы инерции k-той точки равны

X kин = −mk ɺɺxk ;

Ykин = −mk ɺɺyk ;

Zkин = −mk ɺɺzk ,

то третье уравнение (3.96) можно переписать в виде

точки.

Количество общих уравнений динамики, которые можно составить для механической системы, равно числу степеней свободы последней.

124

3.11. Уравнение Лагранжа (второго рода)

Рассмотрим систему материальных точек. Если система несвободна, то наложенные на нее связи предполагаются удерживающими и идеаль- ными. Пусть δrk – возможное перемещение k-той точки, mk – ее масса,

ak – ускорение в инерциальной системе отсчета, а Fk – равнодействующая всех активных сил, приложенных к k-той точке. Тогда имеет место общее уравнение динамики

где Q j – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате q j .

Она в общем случае является функцией q , qɺ и t.

Выражение для элементарной работы сил инерции записывается в виде

общее уравнение динамики в обобщенных координатах

Величины δq j (j = 1, 2, …, m) независимы, и число обобщенных ко-

ординат равно числу степеней свободы системы. В силу независимости ве- личин δq j последнее уравнение удовлетворяется тогда и только тогда, ко-

гда равны нулю коэффициенты при всех δq j . Поэтому (3.100) эквивалент-

но следующей системе m уравнений:

125

Уравнения (3.101) называются уравнениями Лагранжа второго рода.

Они образуют систему m дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций q j (t) . Порядок этой системы равен 2m. Заметим,

что это наименьший возможный порядок дифференциальных уравнений движения рассматриваемой системы, так как начальные значения величин

m), могут быть произвольными.

Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическую энергию T системы через обобщенные координаты и скорости, найти обобщенные силы и произвести указанное в выражениях (3.101) диффе- ренцирование функции T ( q j , qɺj , t) по обобщенным координатам, обоб-

щенным скоростям и времени. Заметим, что форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат q1 , q2 , …, qm . При другом их выборе изменились бы только функции Т и Q j , а сама форма уравнений

(3.101) осталась бы той же.

В уравнениях Лагранжа не содержатся реакции идеальных связей. Если же нужно найти реакции связей, то надо после интегрирования урав-

нений Лагранжа определить rk , и тогда равнодействующая Rk реакции связей, приложенных к k-той точке, найдется из соотношения

Rk = mk rɺk − Fk (rk , rɺk ,t) .

3.12.Динамика абсолютно твердого тела

3.12.1.Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси

Определим закон вращения j = j(t) твердого тела вокруг неподвиж-

126

dLz = ωr2dm .

Кинетический момент тела относительно оси Oz

Интеграл в правой части последнего выражения, который берется по всему объему V тела, называется моментом инерции тела относительно оси Oz

Момент инерции тела характеризует распределение массы в теле. Он зависит от формы, размеров и материала тела.

Подставляя значение J z , найденное по формуле (3.103), в формулу

(3.102), получаем

Lz = J zω .

Применяя теорему о кинетическом моменте системы, находим, что

Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение, поэтому выражение (3.104) можно записать следующим образом:

J zε = M ze

или

Выражения (3.104) и (3.105) представляют собой различные формы дифференциального уравнения вращения твердого тела относительно не- подвижной оси.

Закон вращательного движения тела находится путем двукратного интегрирования этого дифференциального уравнения.

При определении главного момента внешних сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, следует учиты- вать, что нормальные опорные реакции пересекают ось вращения и поэто- му не дают момента относительно последней. Если в опорах (подшипни- ках) есть трение, моменты сил трения следует добавлять к моментам дру- гих внешних сил, приложенных к телу.

При M ze = 0 получаем J zε = 0 , то есть J zω = const .

127

Таким образом, если главный момент внешних сил относительно не- подвижной оси вращения системы равен нулю, то произведение момента инерции системы относительно этой оси на угловую скорость есть величи-

счет перемещения отдельных точек системы относительно оси вращения. Поэтому внутренние силы могут изменить угловую скорость системы.

Влияние изменения момента инерции на угловую скорость системы имеет место при наматывании (и сматывании) лент и нитей на катушки, при заполнении расплавленным металлом вращающихся форм (при так назы- ваемом центробежном литье), при выполнении спортсменами поворотов в воздухе, при совершении танцорами пируэтов (быстрых вращений) и т. п.

3.12.2. Плоскопараллельное

Примем за полюс точку С – центр масс тела. Тогда закон движения тела будет выражаться тремя кинематическими уравнениями

xC = xC (t);

yC = yC (t);

ϕ = ϕ(t).

Угол ϕ представляет собой угол поворота подвижной системы от- счета Cx1 y1z1 , жестко скрепленной с телом, относительно системы отсчета

Cξηζ , движущейся поступательно вместе с полюсом С.

128

Выведем дифференциальные уравнения плоскопараллельного дви- жения твердого тела. Два уравнения получаются непосредственно на осно- вании теоремы о движении центра масс:

где M – масса тела; X e , Y e – проекции главного вектора внешних сил, приложенных к телу.

Для получения третьего дифференциального уравнения применим принцип Д'Аламбера. Мысленно остановим тело и приложим ко всем его точкам силы инерции. В качестве уравнения динамического равновесия возьмем уравнение моментов относительно центральной оси Сζ , перпен- дикулярной к плоскости движения. Это уравнение имеет вид

M ζe + M ζин = 0 ,

где M ζe – главный момент внешних сил относительно оси Сζ ; Mζин –

главный момент сил инерции относительно той же оси. Ранее было найдено, что

M ζин = −Jζε ,

где ε – угловое ускорение тела.

Подставляя значение главного момента сил инерции в уравнение ди-

Три уравнения (3.106) и (3.107) образуют систему дифференциаль- ных уравнений, описывающих плоскопараллельное движение твердого те- ла. Кинематические уравнения плоскопараллельного движения тела могут быть получены двукратным интегрированием этих уравнений.

3.13.Теория удара

3.13.1.Явление удара

Ударом называется такое взаимодействие материальных тел, в ре- зультате которого скорости их точек изменяются на значительную ве- личину в течение весьма малого промежутка времени. Обычная длитель-

ность процесса удара (время удара) составляет лишь несколько тысячных или даже миллионных долей секунды. Значительное изменение скоростей

129

точек соударяющихся тел за такой малый промежуток времени достигает- ся за счет того, что силы взаимодействия этих тел при ударе (так называе- мые ударные или мгновенные силы) достигают очень большой величины. Ударные силы обычно во много раз превосходят вес соударяющихся тел. Это свойство удара используют в технике для совершения таких действий, которые трудно выполнить при статическом приложении нагрузки. При- меры полезного использования удара: ковка, забивка свай и гвоздей, штамповка, обрубка, дробление и т. п.

Вряде случаев удар оказывается явлением вредным, и тогда прихо- дится принимать специальные меры для его предотвращения. Так, напри- мер, удары зубьев ведомого и ведущего колеса весьма вредно отражаются на качестве работы и долговечности зубчатой передачи; толчки, вызван- ные неровностями дороги, очень вредны для автомобиля и его пассажиров

ит.п. В первом случае возможность ударов устраняют тщательным конст- руированием и изготовлением зубчатых колес. Во втором – смягчают уда- ры при помощи пневматических шин и рессор.

Впроцессе удара кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел в основном расходуется на деформирование послед- них. Часть кинетической энергии превращается в другие формы энергии: в тепловую и химическую энергию, энергию звуковых и электромагнитных колебаний и т.д.

3.13.2. Действие удара на материальную точку

Действие ударной силы F на материальную точку выражается им- пульсом данной силы за время удара τ . Этот импульс называется ударным импульсом и определяется по формуле

Ударный импульс S имеет конечную величину. Импульсы за время удара всех других (не ударных) сил, действующих на ту же материальную точку, пренебрежимо малы по сравнению с ударным импульсом, и поэто- му в теории удара не рассматриваются.

Количество движения материальной точки, воспринявшей ударный

импульс S , за время удара изменится согласно уравнению

начала удара; U – скорость точки в момент окончания удара.

130