УМК Коровкин-Кулик
.pdf
ции вектора a на оси Мτ и Мn. Так как V = |
dS |
, то проекция ускорения на |
||||
|
||||||
|
|
|
τ |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
касательную (касательное ускорение) |
|
|
|
|
||
|
dV |
d 2S |
|
|
|
|
a = |
τ |
= |
|
. |
(2.37) |
|
|
|
|||||
τ |
dt |
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Оно характеризует изменение скорости точки только по величине и
равно первой производной по времени от проекции скорости точки на на- правление касательной (от алгебраической скорости точки) или второй производной по времени от закона движения точки по траектории.
Найдем теперь проекцию ускорения на главную нормаль (нормаль- ное ускорение).
Дифференцирование вектора τ0 неизменной величины приводит к
увеличению его модуля в |
da |
раз, где в данном случае a – |
угол смежности. |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||
Заменяя |
da |
= |
da |
и |
dS |
= |
Vτ |
, получаем |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dt dS |
|
dt ρ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 2 |
V 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
τ |
= |
|
. |
(2.38) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
ρ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости только по направлению. Нормальное ускорение равно отношению квадрата скоро- сти к радиусу кривизны. Нормальное ускорение всегда направлено по главной нормали в сторону вогнутости траектории (к центру кривизны).
Раскладывая ускорение на составляющие по естественным осям, получим
a = aτ = an .
Модуль ускорения
a = 
aτ2 + an2 .
Направление ускорения определим по формуле
tgμ = aτ , an
где µ – угол между полным ускорением a и нормалью (см. рис. 2.9).
Частные случаи движения точки:
(2.39)
(2.40)
(2.41)
−αn = 0, ατ = 0 – прямолинейное равномерное движение, V = const;
−αn = 0, ατ ≠ 0 – прямолинейное неравномерное движение;
−αn ≠ 0, ατ = 0 – криволинейное неравномерное движение, V = const;
−αn ≠ 0, ατ ≠ 0 – криволинейное равномерное движение.
61
2.2.Кинематика твердого тела
Вкинематике твердого тела при различных видах движения интере- суются кинематическими характеристиками как движения твердого тела в целом, так и кинематическими характеристиками движения отдельных его точек.
2.2.1. Простейшие движения твердого тела |
К простейшим движениям твердого тела относятся поступательное |
движение и вращательное движение вокруг неподвижной оси. |
Поступательное движение твердого тела. Поступательным на- |
зывается такое движение твердого тела, при котором любая намеченная в |
нем прямая движется, оставаясь параллельной самой себе. |
Устанавливаются основные свойства поступательного движения тео- |
ремой. |
Теорема. При поступательном движении твердого тела траекто- |
рии всех точек одинаковы (то есть совпадают при наложении), а ско- |
рости и ускорения всех точек геометрически равны (рис. 2.10). |
Рис. 2.10. К теореме о поступательном движении твердого тела |
Это значит, что
|
VΒ |
= |
VΑ |
и |
αΒ |
= |
α Α |
. |
(2.42) |
Из теоремы следует, что изучение поступательного движения твер- дого тела сводится к изучению движения какой-либо одной его точки, то есть к задаче кинематики точки. Уравнения поступательного движения те- ла имеют вид:
xΑ = xΑ(t) ; yΑ = yΑ(t) ; zΑ = zΑ(t) . |
(2.43) |
62
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. |
|
Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси назы- |
|
вается такое движение, при котором прямая, |
|
проходящая через какие-нибудь две точки тела, |
|
во время движения остается неподвижной. Эта |
|
прямая называется осью вращения тела. Обозна- |
|
чим ее Oz. Все остальные точки описывают ок- |
|
ружности в плоскостях, перпендикулярных к оси |
|
вращения. Положение тела при вращении вокруг |
|
неподвижной оси определяется углом ϕ между |
|
полуплоскостями, проведенными через ось враще- |
|
ния тела, одна из которых неподвижна, а другая |
|
неизменно связана с телом. Угол ϕ называется уг- |
|
лом поворота тела и считается положительным |
|
при вращении против хода часовой стрелки, изме- |
|
ряется в радианах (рис. 2.11). |
Рис. 2.11. К понятию |
При известном числе N оборотов тела угол |
вращательного движения |
поворота определяется по формуле |
твердого тела |
ϕ = 2πN . |
|
При вращении тела угол поворота непрерывно изменяется по време- ни. Следовательно,
ϕ = ϕ(t) . |
(2.44) |
Уравнение (2.44) называется кинематическим уравнением враща- тельного движения тела вокруг неподвижной оси.
2.2.2. Угловая скорость и угловое ускорение тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Угловая скорость тела в данный момент (обозначается ω ) характери-
зует быстроту изменения угла поворота в данный момент времени и равна производной по времени от кинематического уравнения вращения тела
ω = |
dϕ |
. |
(2.45) |
|
|||
|
dt |
|
|
Угловая скорость измеряется в радианах в секунду. В технике угловую скорость часто задают числом оборотов в минуту, то есть частотой вращения.
В этом случае угловую скорость, выраженную в рад/с, определяют так: |
|
ω = πn , |
(2.46) |
30
где n – число оборотов в минуту. Знак ω совпадает со знаком ϕ .
63
Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой ско- рости и обозначается буквой ε :
ε = |
dω |
= |
d |
2ϕ |
. |
(2.47) |
||
dt |
|
dt 2 |
||||||
|
|
|
|
|||||
Угловое ускорение измеряется в рад/с2, 1/с2 или с–2 .
Если в расчетах знаки ω и ε одинаковы, то вращение тела ускорен- ное, если противоположны, то замедленное.
Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение являются ки- нематическими характеристиками вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Угловую скорость и угловое ускорение тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, можно изобразить в виде векторов ω и ε , направлен-
ных вдоль оси вращения (рис. 2.12), соблюдая правило: вектор ω направ-
ляется вдоль оси вращения в ту сторону, чтобы, глядя с конца вектора ω , вращение тела было видно происходящим против хода часовой стрелки.
а |
б |
Вектор ε направляется вдоль оси |
|
вращения с учетом характера вращения |
|||
|
|
||
|
|
тела, то есть при ускоренном вращении |
|
|
|
векторы совпадают по направлению |
|
|
|
(см. рис. 2.12, а), при замедленном про- |
|
|
|
тивоположны (см. рис. 2.12, б). |
|
|
|
Определение скорости и уско- |
|
|
|
рения точки твердого тела, вра- |
|
|
|
щающегося вокруг неподвижной оси. |
|
|
|
|
|
Траекториями точек тела при его вра- |
|
Рис. 2.12. Направление векторов ω |
||||||
щении вокруг неподвижной оси явля- |
||||||
и |
ε |
при вращательном движении: |
ются окружности, расположенные в |
|||
а – ускоренном; б – замедленном |
плоскостях, перпендикулярных к оси |
|||||
|
|
|
|
|
||
вращения. Центры этих окружностей находятся в точках пересечения оси вращения с указанными плоскостями. Радиусы данных окружностей назы- ваются также радиусами вращения точек тела (рис. 2.13, а).
Скорость любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется линейной. Скорости точек на ободе маховика или вра- щающегося диска называются также окружными скоростями.
Скорость точки К
Vk = ωhk , |
(2.48) |
где hk – расстояние от точки до оси вращения.
64
Линейная скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, по величине равна произведению радиуса вращения на величину уг- ловой скорости. Линейная скорость направлена по касательной к окружно- сти в сторону вращения и таким образом – перпендикулярна к радиусу вра- щения (см. рис. 2.13, б).
Полное ускорение точки можно вычислить как векторную сумму ка-
сательного aτ и нормального an ускорений. Выразим эти ускорения через кинематические характеристики вращательного движения тела, то есть – через ω и ε :
an |
= ω2h ; |
(2.49) |
k |
k |
|
a τ = εh ; |
|
|
k |
k |
|
ak = 
(akn )2 + (akτ )2 .
а) |
б) |
Рис. 2.13. К определению линейной скорости и ускорения точки при вращательном движении: а – вращающееся тело;
б – распределение скорости и ускорения точки К
Следовательно, нормальное ускорение точки тела при вращении его вокруг неподвижной оси равно произведению радиуса вращения на квад- рат угловой скорости. Касательное ускорение равно произведению радиуса вращения на угловое ускорение. Нормальное ускорение всегда направлено по радиусу вращения к центру вращения. Касательное ускорение направ- лено по касательной к траектории, то есть перпендикулярно к радиусу вра- щения в сторону углового ускорения (рис. 2.13, б).
Модуль полного ускорения точки можно найти по формуле
a |
k |
= h ε2 |
+ ω4 . |
(2.50) |
|
k |
|
|
65
Направление полного ускорения определим по тангенсу угла μ (см. рис. 2.13, б), который образует вектор полного ускорения с нормаль- ным ускорением. Получим
tgm = |
|
|
aτ |
|
|
= |
hk × |
|
e |
|
|
или tgm = |
|
|
e |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
h w2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
w2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Как следует из (2.49), величины скоростей и ускорений прямо про- порциональны удалению точек тела от оси вращения, а коэффициент про- порциональности зависит от угловой скорости и углового ускорения тела. То есть чем больше угловая скорость и угловое ускорение тела и чем дальше находится точка от оси вращения, тем больше ее скорость и уско- рение. При этом вектор полного ускорения любой точки тела образует с соответствующим радиусом вращения один и тот же угол μ , величина ко-
торого однозначно зависит от угловой скорости и углового ускорения тела.
|
Векторные |
формулы скорости и |
|
|
ускорения точки вращающегося тела. Ли- |
||
|
нейная скорость точки тела, вращающегося во- |
||
|
круг неподвижной оси, равна векторному про- |
||
|
изведению угловой скорости тела на радиус- |
||
|
вектор точки (рис. 2.14) |
|
|
|
|
ν = ω× r . |
(2.51) |
|
Эта формула называется формулой Эй- |
||
|
лера. |
|
|
|
Вектор ускорения точки определяется |
||
|
как |
|
|
|
|
a = ε × r + ω× νk , |
(2.52) |
Рис. 2.14. К выводу формул где aτ = ε × r |
– касательное |
ускорение; |
|
(2.51) и (2.52) |
an = ω× νk – нормальное ускорение. |
|
|
|
|
||
2.3.Плоскопараллельное движение твердого тела
2.3.1.Уравнения плоскопараллельного движения
Плоскопараллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, парал- лельных некоторой неподвижной плоскости Н (рис. 2.15).
66
Плоское движение совершают многие части механизмов и машин. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела.
Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью П (см. рис. 2.15), параллельной плоскости Н. При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой М1М2, перпендикулярной к сечению S, движутся тождественно. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изу- чить движение сечения S в плоскости П. В дальнейшем будем плоскость П совмещать с плоскостью рисунка и рассматривать движение плоской фи- гуры в плоскости П.
Положение сечения S в плоскости П определяется положением како- го-нибудь проведенного в этом сечении отрезка АВ. В свою очередь, опре- делить положение отрезка можно, зная координаты XA, YA точки А и угол ϕ, который отрезок АВ образует с осью X (рис. 2.16).
Рис. 2.15. К определению понятия |
Рис. 2.16. К определению уравнений |
плоскопараллельного движения |
плоскопараллельного движения |
твердого тела |
твердого тела |
Точку А, выбранную для определения положения сечения S, будем в дальнейшем называть полюсом.
При вращении тела величины XA, YA, ϕ будут изменяться. Чтобы знать закон движения тела, то есть знать его положение в пространстве в
любой момент времени, надо знать зависимости xA = f1 (t ) ;
yA = f2 (t) ; |
(2.53) |
ϕ = f3 (t ) . |
|
Эти уравнения называются уравнениями плоскопараллельного дви- жения твердого тела.
67
2.3.2. Разложение плоскопараллельного движения на поступа-
тельное и вращательное
Плоскопараллельное движение тела состоит из суммы поступатель-
ного и вращательного движений. Из рис. 2.17 видно, что сечение S можно привести из положения 1 в положение 2 следующим образом. Переместить сначала тело поступательно, так, чтобы полюс А1, двигаясь вдоль своей траектории, перешел а положение А2, а затем повернем сечение вокруг по-
люса А2 на угол ϕ1. Аналогично за полюс можно принять точку В и пере-
местить тело поступательно, так, что точка В1 перейдет в положение В2, а
затем повернем сечение на угол ϕ2 вокруг полюса В2.
Таким же путем можно переместить тело из положения 2 в положение 3
и т.д. Отсюда заключаем, что плоскопараллельное движение можно рассмат-
ривать как бесконечную последовательность бесконечно малых перемещений:
|
поступательного вместе с по- |
||||
|
люсом и вращательного вокруг |
||||
|
полюса. |
|
|
|
|
|
Основными |
кинетиче- |
|||
|
скими характеристиками рас- |
||||
|
смотренного |
движения |
явля- |
||
|
ются скорость и ускорение по- |
||||
|
ступательного движения, рав- |
||||
|
ные скорости и ускорению по- |
||||
Рис. 2.17. О разложении плоскопараллельного |
люса, а также угловая скорость |
||||
ω и угловое ускорение ε вра- |
|||||
движения на простейшие движения |
|||||
|
щательного |
движения |
вокруг |
||
плюса. Значения этих характеристик в любой момент времени t можно найти по уравнениям.
При изучении движения можно в качестве полюса выбирать любую точку тела, при этом кинетические характеристики поступательной части движения изменяются, а вращательная часть движения не изменится: ϕ1 =
ϕ2 (см. рис. 2.17). Следовательно, вращательная часть движения от выбора полюса не зависит, то есть ω1 = ω2; ε1 = ε2.
68
2.3.3. Определение скоростей точек |
||||||
Скорость любой точки при |
|
|||||
плоскопараллельном |
движении |
|
||||
равна |
геометрической |
сумме |
|
|||
скорости точки, принятой за по- |
|
|||||
люс, и скорости во вращательном |
|
|||||
движении этой точки относи- |
|
|||||
тельно полюса (рис. 2.18): |
|
|
|
|||
|
VB = VA + VBA , |
(2.54) |
|
|||
где VA |
– скорость точки, |
приня- |
|
|||
той за полюс; |
VВА – |
вращатель- |
|
|||
ная скорость |
точки |
В относи- |
Рис. 2.18. К определению скорости точки В |
|||
|
|
А; VBA = ωAB |
|
|||
тельно |
точки |
и |
при плоскопараллельном движении |
|||
VВА направлен AB в сторону |
|
|||||
вращения плоской фигуры. |
|
|
||||
2.3.4. Теорема о проекциях скоростей двух точек
Проекции скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки, равны (рис. 2.19).
β
Рис. 2.19. Проекции скоростей двух точек на соединяющую их прямую
VB = VA + VBA .
Если спроектировать это равенство на прямую АВ, учитывая, что VBA = ωAB и VAB AB → ω , получаем
|
VB |
cosβ = |
VA |
cos α . |
(2.55) |
69
2.3.5. Мгновенный центр скоростей (МЦС)
Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Эту точку обо-
значаем Р.
Теорема. Для плоской фигуры в любой момент времени существу- ет единственная точка, скорость которой равна нулю, эта точка называ-
ется МЦС.
2.3.6. Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей
Пусть в данный момент времени для плоской фигуры задана угловая скорость ω и положение МЦС – точки
Р (рис. 2.20). Скорости точек А, В и С
определяются по формулам
VA = ωAP ; VA AP → ω;
VB = ωBP ; VB BP → ω ; (2.56)
VC = ωCP ; VC CP → ω .
Скорость любой точки плоской фигуры определяется как вращательная вокруг мгновенного центра скоро- стей. Используя (2.56), можно записать свойство скоростей точек при плоском движении относительно МЦС:
VB = BP
VC CP
Скорости точек при плоскопараллельном движении пропорциональ- ны расстояниям до мгновенного центра скоростей.
2.3.7. Способы нахождения мгновенного центра скоростей
1.Если тело катится без проскальзывания (рис. 2.21) по неподвижной поверхности, то точка касания является мгновенным центром скоростей.
2.Пусть для плоской фигуры в данный момент времени (рис. 2.22) известна скорость точки А и угловая скорость ω фигуры. Находим положе-
ние мгновенного центра скоростей, вычисляя расстояние AP = VωA и от-
кладывая его на перпендикуляре к VA в сторону ω.
70