УМК Коровкин-Кулик

1.4. Теория пар сил

Парой сил называется система двух равных по модулю антипарал- лельных сил, приложенных к одному твердому телу (рис. 1.20).

Пара сил (далее – пара), как и сила, является самостоятельной сило- вой единицей, характеризующей механическое взаимодействие матери- альных тел.

Пара производит на тело вращательное действие. Количественной мерой этого действия является момент пары.

Алгебраическим моментом пары называется взятое со знаком «плюс» или «минус» произведение модуля одной из сил пары на плечо. Плечом пары называется кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.

Момент пары обозначается буквой М:

2. Момент пары не зависит от положения центра моментов:

MО = MB = MС = M.

Здесь символом МО обозначен момент пары относительно точки О.

Не изменяя действия данной пары сил на твердое тело, ее можно заменить любой другой парой, расположенной в той же плоскости и имеющей тот же алгебраический момент.

Следовательно, любые пары, расположенные в одной плоскости и имеющие одинаковые алгебраические моменты, эквивалентны.

Это дает возможность не уточнять, из каких сил состоит пара и чему равно ее плечо. Поэтому пары на рисунках изображают при помощи кру- говых стрелок или условным знаком в виде двух связанных антипарал- лельных сил, равных по величине (рис. 1.21), с указанием только направ- лений, в которых эти пары стремятся поворачивать тело.

21

Сложением пар называется операция замены системы пар эквива- лентной более простой системой сил.

Систему пар, действующих в одной плоскости, можно заменить одной парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов ис- ходных пар. Следовательно, система пар на плоскости может находить- ся в равновесии только тогда, когда алгебраическая сумма моментов этих пар равна нулю:

k =1

Отсюда также вытекает, что плоскую систему пар сил можно урав- новесить только парой сил, действующей в этой же плоскости.

Действие пары (или системы пар) на твердое тело полностью опре- деляется их алгебраическими моментами. Но сказанное справедливо в том случае, когда пары расположены в одной плоскости. Если же к телу при- ложена система пар, действующих в разных плоскостях, то каждая из них будет стремиться поворачивать тело в своей плоскости действия. Поэтому введенного понятия о моменте пары как алгебраической величине недоста- точно. Его надо дополнить, одновременно определив и положение плоско- сти действия пары. Это можно выполнить, если рассматривать моменты пар сил как векторные величины.

Условимся направлять вектор, изображающий момент пары, пер- пендикулярно к плоскости действия пары в такую сторону, чтобы с его конца было видно, что пара стремится поворачивать эту плоскость против хода часовой стрелки (рис. 1.22). Длину вектора будем принимать равной модулю алгебраического момента пары в этой плоскости.

Так как пару сил можно перемещать в плоскости ее действия и пе- реносить в другую плоскость тела, параллельную первой, то вектор мо- мента пары можно показывать из любой точки тела. Такие векторы на-

зываются свободными.

22

Если на тело действует система пар, как угодно расположенных в пространстве, то все они могут быть показаны в виде векторов, изобра- жающих их моменты. Причем все они могут быть приложены в одной (любой) точке тела. При необходимости их можно сложить по правилу сложения векторов. Получившийся при этом результирующий вектор бу- дет соответствовать моменту пары, эквивалентной всей системе пар.

1.5. Произвольная плоская система сил

Представим себе твердое тело, которое может вращаться вокруг не- подвижной оси, перпендикулярной к плоскости рисунка и пересекающей эту плоскость в точке О (рис. 1.23). Пусть на это тело действуют силы, ле-

жащие в этой же плоскости, например, F1 и F2 . Такое тело называется ры-

чагом. Эффективность силы, приложенной к рычагу и стремящейся повер- нуть его вокруг оси вращения, определяется величиной и направлением момента этой силы относительно точки О.

В общем случае центром моментов может быть любая точка, даже не принадлежащая телу. При изучении плоской системы сил момент силы от- носительно точки рассматривается как алгебраическая величина.

Алгебраическим моментом силы F относительно точки О называется взятое со знаком «плюс» или «минус» произведение модуля силы на длину пер- пендикуляра, опущенного из этой точки на линию действия силы (рис. 1.24):

Расстояние h от центра моментов до линии действия силы F на- зывается плечом этой силы относительно точки О.

Момент силы относительно точки считается положительным, ес-

ли сила стремится повернуть тело вокруг центра моментов против хода часовой стрелки, в противном случае – отрицательным.

23

Момент силы измеряется в Н×м.

Отметим следующие свойства алгебраического момента силы отно- сительно точки:

1.При переносе силы по линии действия ее момент не изменяется, так как при этом сохраняются и величина силы, и ее плечо относительно центра моментов.

2.Момент силы относительно точки равняется нулю, если центр моментов лежит на линии действия силы, так как в этом случае плечо силы

равно нулю (рис. 1.24): M D (F ) = 0 .

Теорема Вариньона. Алгебраический момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен сумме алгебраических моментов сил, составляющих систему, относи- тельно того же центра.

Пусть к телу в точке С приложены силы F1, F2 ,..., Fn и сила R явля-

ется их равнодействующей. Примем в качестве центра моментов произ- вольную точку О.

Тогда

k =1

Задача об эквивалентной замене произвольной плоской системы сил более простой системой решается приведением системы сил к центру. В основе этого метода лежит теорема о параллельном переносе силы: не изменяя действия силы на твердое тело, ее можно перенести парал- лельно самой себе и приложить в любой другой точке тела, добавив при этом пару с моментом, равным моменту силы относительно новой точки ее приложения.

Пусть к твердому телу в точке А приложена сила F (рис. 1.25). Дей- ствие этой силы на тело не изменится, если в произвольно взятой точке В тела приложим к нему две уравновешивающиеся силы F′ и F′′ , причем

F′ = F′′ = F и F′ // F // F′′ . Полученную систему трех сил можно рассмат-

ривать как состоящую из силы F′ , которая равна заданной силе F , но пе-

ренесена в точку В параллельно себе, и пары сил ( F , F′′ ) с моментом М:

24

Рис. 1.25. К вопросу о параллельном переносе сил

Рассмотрим систему сил (F1, F2 ,..., Fn ) , приложенных к твердому те-

лу в точках А1, А2, ..., Аn и действующих в плоскости (рис. 1.26). Используя предыдущий прием, перенесем каждую силу в произвольно взятую точку О – центр приведения. Вместо исходных сил получим геометрически рав- ные им силы

Сложив силы, сходящиеся в точке О, найдем их равнодействующую:

R* = F1′+ F2′ + ... + Fn′

или

Рис. 1.26. К вопросу о приведении плоской системы сил к заданному центру О

25

Итак, силы, приложенные в точке О, заменили одной силой R *. Эта

сила, равная геометрической сумме сил системы, называется ее главным вектором. Очевидно, что он не зависит от центра приведения.

Теперь сложим присоединенные пары, появившиеся при параллель- ном переносе сил заданной системы в центр приведения О:

k =1

Этот момент называется главным моментом системы сил относи-

тельно центра приведения О. При перемене центра приведения он будет иметь другое значение, поскольку его слагаемые зависят от положения этой точки.

Таким образом, в результате приведения к точке О заданная систе- ма сил заменена более простой эквивалентной системой, состоящей из одной силы (главный вектор системы) и одной пары сил с моментом, рав- ным главному моменту системы сил относительно центра приведения О:

(F1, F2 ,..., Fn ) ~ (R*, M ).

Следовательно, плоские системы сил эквивалентны между собой, если они имеют одинаковые главные векторы и главные моменты.

Чтобы упростить заданную плоскую систему сил, нет необходимости выполнять все указанные преобразования. Достаточно определить величи- ну и направление главного вектора, а также вычислить главный момент системы относительно центра приведения.

Приняв точку О за начало системы координат Oxy, можем записать:

Зная проекции главного вектора на оси Ox и Oy, находим его вели- чину и направление:

26

Главный момент системы относительно точки О вычисляется по формуле (1.21).

При вычислении R * и M0 могут получиться следующие результаты: 1) R* ¹ 0 , а M0 = 0 . Это означает, что данная система сил эквива-

лентна одной силе, то есть приводится к равнодействующей, причем эта равнодействующая по величине и направлению совпадает с главным век- тором и приложена в центре приведения О;

2) R* = 0 , а M 0 ¹ 0 . В этом случае система приведена к паре сил с моментом, равным главному моменту системы.

Так как пару сил можно переносить в плоскости ее действия в любое другое место, то при перемене центра приведения результат не изменится и система сил будет эквивалентна одной и той же паре с одним и тем же моментом;

3) R* ¹ 0 , а M 0 ¹ 0 . Такая система сил допускает дальнейшее упро-

щение и приводится к равнодействующей силе;

4) R* = 0 , а M0 = 0 . В данном случае исходная система сил эквива-

лентна нулю, то есть находится в равновесии.

Вернемся к рассмотрению случая приведения произвольной плоской системы сил к центру О, когда главный вектор и главный момент некото- рой системы сил не равны нулю. Предположим, что получили систему, по- казанную на рис. 1.27.

R1

Рис. 1.27. К вопросу приведения плоской системы сил к равнодействующей

Заменим главный момент парой сил (R1, R) . Силы этой пары примем равными главному вектору R1 = R = R * и одну из них приложим в точке О,

направив ее противоположно R *. Линия действия другой силы этой пары пройдет на расстоянии OO1 , равном плечу пары:

В полученной системе трех сил R * и R1 уравновешиваются, и их можно из рассмотрения исключить. После этого останется одна сила, гео- метрически равная главному вектору системы и приложенная в точке О1. Так как она эквивалентна первоначальной системе сил, то является ее рав- нодействующей.

Итак, в рассматриваемом случае ( R* ¹ 0 и M 0 ¹ 0 ) система сил при-

водится к равнодействующей.

Теорема Вариньона. Если плоская система сил имеет равнодейст- вующую, то ее алгебраический момент относительно любого центра О равен сумме алгебраических моментов сил системы относительно того же центра.

Таким образом, для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил системы на каж- дую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любо- го центра, лежащего в плоскости действия сил, равнялись нулю.

Система (1.28) называется основной формой уравнений равновесия произвольной плоской системы сил. Для составления этих уравнений оси проекций x и y, а также центр моментов О могут выбираться совершенно произвольно в плоскости действия сил системы. Пользуясь этим правом выбора, можно заменить уравнения проекций на уравнения моментов от- носительно других центров и получить еще две системы:

(ось проекций x не должна быть перпендикулярна к прямой ОА);

28

(центры моментов В, А и О не должны находиться на одной прямой).

Системы (1.29) и (1.30) называются соответственно второй и третьей формами уравнений равновесия произвольной плоской системы сил.

Ограничения на выбор центров моментов обусловлены следующим.

Предположим, что система сил приводится к равнодействующей R *. Поскольку об этом заранее не известно, то может случиться так, что вы-

бранная ось проекций окажется перпендикулярной к силе R *, а центры моментов О и А – на линии ее действия (рис. 1.28). Тогда уравнения систе- мы (1.29) будут выполняться. То есть, приходим к противоречию: уравне- ния равновесия выполняются, хотя система сил не является уравновешен- ной. Во избежание подобных случаев и вводятся указанные ограничения.

Система двух параллельных сил является плоской, так как через их линии действия всегда можно провести плоскость.

Пусть к твердому телу в точках А и В приложены две силы F1 и F2 ,

направленные по параллельным прямым в одну сторону (рис. 1.29).

Главный вектор этой системы R* = F1 + F2 направлен в ту же сторо-

ну, что и заданные силы, и параллелен им. Его модуль равен сумме вели-

чин сил F1 и F2 и отличен от нуля. В этом случае система сил приводится к равнодействующей, причем ее величина и направление такие же, как и у

29

Чтобы найти точку, через которую проходит линия действия силы R , воспользуемся теоремой Вариньона. Предположим, что равнодействующая сила системы проходит через какую-то точку С на прямой АВ. Примем эту точку за центр моментов, и по теореме Вариньона будем иметь:

AC / CB = F2 / F1.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействую- щей системы двух параллельных сил, направленных в одну и ту же сторо- ну, делит отрезок АВ между точками приложения сил системы на части, обратно пропорциональные величинам этих сил.

Взаключение отметим следующее: если силы F1 и F2 повернуть в одну

иту же сторону на угол α, то все сказанное выше останется без изменений. Это означает, что точка С является геометрической характеристикой системы параллельных сил: через нее всегда проходит линия действия равнодейст- вующей двух параллельных, одинаково направленных сил, имеющих задан- ные величины, независимо от их направления по отношению к прямой АВ. Эта точка называется центром системы двух параллельных сил.

Рассмотрим плоскую систему параллельных сил (рис. 1.30).

Для ее равновесия необходимо и достаточно, чтобы выполнялись общие для любой плоской системы сил условия равновесия: главный век- тор и главный момент системы относительно любого центра должны быть равны нулю. Полученные из этих условий аналитические уравнения (1.28) применимы и в данном случае. Вспомним, что на выбор осей проекций и центра моментов для составления этих уравнений не накладываются ника- кие ограничения. Но так как линии действия сил рассматриваемой системы параллельны, то сумма проекций сил системы на ось, перпендикулярную к ним (например, на ось Oy), будет тождественно равна нулю. Исключив по этой причине одно из уравнений системы (1.28), получаем, что для равно-

весия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, что- бы выполнялись два уравнения:

В качестве уравнений равновесия могут быть использованы и дру- гие, например:

30