УМК Коровкин-Кулик

Чтобы не проводить все решение заново, оставим принятые направ- ления реакций жесткой заделки В без изменения, но будем помнить о зна- ках найденных реакций.

В заключение выполним проверку правильности решения задачи, составим еще одно уравнение равновесия. Например,

∑mA = 0 : F1 sin a × 4 - m - q × 2 ×10 + YB ×11 + M B = 0 ;

45 × 2 × 4 - 30 - 5 × 2 ×10 +10 ×11 + (-12) = 0 ; 32 − 30 −100 + 110 −12 = 0 ; 0 = 0. 5

Полученное тождество свидетельствует о правильности решения задачи. XB = 4 кН (влево); YB = 10 кН (вверх); MB = 12 кН×м (по ходу часовой стрелки).

Пример 3. Определение опорных реакций рамы

Плоская рама находится в равновесии благодаря наложенной связи – жесткой заделке в сечении А (рис. 5). Определить реакции связи и выпол- нить проверку правильности решения.

221

Получаем расчетную схему рамы в виде свободного твердого тела, на- ходящегося в равновесии под действием заданной произвольной плоской сис- темы сил и произвольной плоской системы сил реакций, заменяющих

Подстановка полученных и заданных величин в это уравнение при- водит к тождеству 0 = 0. Следовательно, неизвестные силы реакций найде- ны верно.

222

Пример 4. Определение опорных реакций рамы

Плоская рама находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил и закреплена неподвижно при помощи неподвижной шарнирной опоры (точка А) и подвиж- ной шарнирной опоры (точка В). При- няв линейные размеры рамы непосред- ственно из рис. 7, определить реакции опор рамы и выполнить проверку пра- вильности решения задачи.

Дано: sina = 0,8; cosa = 0,6; F1 = 50 кН; F2 = 30 кН; q = 10 кН/м; m1 = 100 кН×м; m2 = 60 кН×м; m3 = 40 кН×м.

Решение. Для определения реак- ций связей рассмотрим равновесие ра-

мы. Чтобы получить расчетную схему, отбросим связи и заменим их дей- ствие искомыми силами реакций. Реакцию опоры в точке А представим в виде двух составляющих X A и YA , направленных параллельно произволь-

но принимаемым осям проекций Х и Y (рис. 8).

Реакция RB подвижной шарнирной опоры в точке В направлена пер-

пендикулярно к опорной поверхности, т.е. вертикально (например, вверх).

уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, действующей на раму:

1)∑FKY = 0 : X A - F1 cos a + F2 = 0 ; X A - 50 × 0,6 + 30 = 0 ; X A = 0 .

2)∑mA (Fk ) = 0 : -m2 + F1 sin a ×3 - Q × 6 + m1 - m3 + RB ×10 + F2 × 4 = 0 ;

-80 + 50 × 0,8 ×3 - 40 × 6 +100 - 40 + RB ×10 + 30 × 4 = 0 ; RB = 2 кН.

223

3) ∑mB (Fk ) = 0 :

- X A × 6 - YA ×10 + F1 × cos a × 6 - F1 sin a × 7 + Q × 4 - m2 + m1 - m3 - F2 × 2 = 0;

-0 - YA ×10 + 50 × 0,6 × 6 - 50 × 0,8 × 7 + 40 × 4 - 80 +100 - 40 - 30 × 2 = 0 ;

YA = -2 кН.

Выполним проверку правильности полученных результатов, соста- вив еще одно уравнение равновесия рамы. Например,

∑FKY = 0 : YA - F1 sin a - Q + RB = 0 ; -2 + 50 × 0,8 - 40 + 2 = 0 ; 0 = 0.

Значит, реакции опор рамы найдены верно.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С4 – С7

Эти задачи – на равновесие системы сочлененных тел. В них впервые ставится вопрос об определении внутренних сил, действующих между со- ставными частями конструкции.

Следует иметь в виду, что внутренние силы есть во всех телах, во всех системах, в любых конструкциях. Но они, подчиняясь принципу ра- венства действия и противодействия, существуют всегда попарно. Поэтому в любом теле, в любой системе, в любой конструкции они между собой уравновешиваются. По этой причине при рассмотрении равновесия тела, системы или конструкции в целом эти внутренние силы не вводятся в

уравнения равновесия. Но их знание необходимо для создания прочных, работоспособных конструкций, механизмов и т.п. Кроме того, без опреде- ления этих сил не всегда удается решить задачи о нахождении сил реакций внешних связей методами теоретической механики.

Например, конструкция, показанная на рис. 9, состоит из трех тел (балок АЕ, ЕК, КD), соединенных между собой шарнирами Е и К.

Рис. 9

224

Для удержания ее в равновесии нужны внешние связи. В рассматри- ваемой конструкции таковыми являются опорные стержни в точках А, В, С и неподвижная шарнирная опора D. Под действием внешних заданных на- грузок в них (опорах) появляются неизвестные силы реакций общим числом 5 (в неподвижной шарнирной опоре D – две составляющие одной неизвест-

ной по величине и направлению силы реакции RD ). Следовательно, для их определения необходимо иметь пять независимых уравнений. Но, остава- ясь в рамках теоретической механики и исходя только из уравнений равно- весия твердого тела, получить такое количество независимых уравнений невозможно. Дело в том, что количество таких (независимых между собой) уравнений равновесия определяется не особенностями рассматриваемой системы (конструкции, механизма и т.п.), а исключительно видом системы сил, приложенной к ней (сходящаяся, произвольная плоская, произвольная пространственная или какая-то иная). Например, в случае произвольной плоской системы сил таких уравнений можно составить только 3. Тем не менее, задача является статически определимой, т.е. все пять неизвестных внешних реакций могут быть найдены. Но для этого придется дополни- тельно рассматривать равновесие отдельно взя- тых частей конструкции. Например, рассматри- вать только ее часть АЕ (рис. 10).

Из уравнений равновесия (для этой части конструкции можно составить именно три не- зависимых уравнения равновесия, поскольку дей- ствующая на АЕ система сил также произвольная плоская) нетрудно определить и силу RA (которая

является внешней силой и для АЕ, и для всей конструкции АЕКD в целом), и силу реакции в шарнире Е (с составляющими). Они – внешние для АЕ, но внутренние для всей конструкции в целом. После того, как силы ХЕ и YЕ найдены, можно рассмотреть равновесие следующей части конструкции –

ЕК (рис. 11).

При построении расчетной схемы необходимо учесть, что силы, дей- ствующие на эту часть конструкции со стороны АЕ, т.е. давления в точке Е, численно равны найденным выше ре- акциям,

но их направления противоположны этим реакциям:

225

Именно с учетомэтого обстоятельстваи показаны силы X ′ , Y ′ нарис. 11.

E E

Снова замечаем, что в рассматриваемых фрагментах задачи и конст-

рукции три неизвестных – RB , X K , YK . Но так как на балку ЕК действует произвольная плоская система сил, то можно составить именно три неза- висимых уравнения ее равновесия. Следовательно, задача решается, и все три неизвестные RB , X K , YK будут найдены.

Далее можно рассмотреть либо часть конструкции КD, либо всю конструкцию целиком. В последнем случае неизвестными будут RC , X D ,

YD , т.к. RA и RB уже найдены. Снова можно составить три независимых уравнения равновесия и из них найти эти оставшиеся три неизвестные силы.

Подведем итоги. Внутренние силы существуют во всех телах, систе- мах, конструкциях. В целом они уравновешиваются, но для каждой отдель- но взятой части системы (конструкции) некоторые из них становятся внеш- ними. При рассмотрении равновесия какой-либо части конструкции (систе- мы) с такими «новыми» внешними силами обращаются как и со «старыми», в частности, эти силы входят в уравнения равновесия и при определенных условиях могут быть найдены методами теоретической механики. Это так называемые «статически определимые задачи», в которых количество неиз- вестных сил и число независимых уравнений равновесия, которые можно составить для данной системы сил, равны между собой.

После определения всех внешних (для конструкции в целом) неиз- вестных сил можно выполнить проверку решения задачи обычным прие- мом – составить одно (или несколько) уравнений равновесия, неиспользо- ванных при определении неизвестных. Например, это могут быть уравне- ния равновесия конструкции (системы) в целом.

Так, «расчленением» составной конструкции на отдельные части и рассмотрением их равновесия решаются задачи С4 – С7. Они отличаются друг от друга только количеством тел, из которых состоит сложная конст- рукция, находящаяся под действием произвольной плоской системы сил и закрепленная неподвижно при помощи тех или иных опорных устройств. Ниже рассмотрены примеры решения подобных задач.

Пример 5. Определение реакций внешних опор и давления во внутреннем шарнире составной конструкции

Составная конструкция состоит из двух балок BA и AE, соединенных шарниром А. Определить реакции внешних опорных стержней в точках В, Е и неподвижной шарнирной опоры D, удерживающих конструкцию в равно- весии при действии на нее произвольной плоской системы сил (рис. 12).

226

Определить также давление в соединенном (внутреннем) шарнире А.

Дано: F1 = 65 кН ; F2 = 9 кН; q1 = 3 кН/м; q2 = qmax = 25 кН/м;

Независимых уравнений равновесия всей конструкции в целом (если воспользоваться аксиомой отвердевания) – только 3, т.к. действующая на конструкцию система сил является произвольной плоской. Этого недоста- точно для определения четырех неизвестных.

Поэтому воспользуем- ся методом расчлене- ния составной конст- рукции и будем рас- сматривать равновесие ее отдельных частей

ВА и АЕ, полученных расчленением конструкции по внутреннему шарниру А. Освободим каждое из них от внешних связей и заменим их действие ис- комыми силами реакций (рис. 13, а). Распределенные нагрузки заменим их равнодействующими:

Линия действия силы Q1 проходит через середину участка, где дей- ствует нагрузка q1, а линия действия силы Q2 проходит через точку L, де- лящую участок ВС на части 2:1, т.е. BL = 2 м; LC = 1 м.

Силы, действующие на каждую часть конструкции в точке А, между собой равны, но направлены в противоположные стороны:

Рис. 13: Конструкция: а) левая часть; б) правая часть

227

В первую очередь рассматриваем равновесие тела АЕ, т.к. среди внешних сил, действующих на него, только 3 неизвестных, тогда как по- добных сил, приложенных к телу АВ, – 5. При этом на каждое из тел дей- ствует произвольная плоская система сил, для которых можно составить только по 3 независимых уравнения равновесия. Выбираем оси Х и Y и со- ставляем уравнения равновесия тела АЕ:

RE × 6 - 48 = 0 ; RE = 8 кН.

Проводим проверку правильности решения этой части задачи:

Остальные неизвестные находим из уравнений равновесия тела АВ:

-RB ×6 -12 + 6 + 22 = 0; RB =16/ 6 » 2,67 кН.

Проводим проверку правильности решения этой части задачи:

∑FKY = 0 : RB + Q2 sin b - Q1 + YD + YA = 0 ;

2, 67 + 35 × 1 - 6 -10, 67 +11 = 0 ; 0 = 0 . 5

228

Выполним проверку правильности решения всей задачи, для чего со- ставим уравнение равновесия всей конструкции в целом (рис. 14).

∑mA (Fk ) = 0 : -RB ×8 - Q2 sinb× 6 + Q1 ×3 - YD × 2 - m - F2 ×5 + RE × 6 = 0 ;

-2,67 ×8 - 35 × 1 × 6 + 6 ×3 +10,67 × 2 - 3 - 45 + 48 = 0 ; 0 = 0. 5

Рис. 14

Выполненная проверка подтверждает правильность решения всей задачи.

Примечание. Силы давления в шарнире А будут иными, если силу F отнести к другому телу, но при этом реакции опор В, Е и D останутся без изменения.

Задача 4. Расчет плоской фермы методом вырезания узлов и мето- дом сквозных сечений.

Порядок расчета фермы методом вырезания узлов

1.Вычерчиваем ферму в соответствии с данными.

2.Раскладываем заданную силу на составляющие по осям коорди- нат и записываем их модули, учитывая, что 1 см = 1 кН.

3.Отбрасываем опоры в опорных узлах и заменяем их действие ре-

акциями.

4.Составляем три уравнения равновесия.

5.Вычисляем величину опорных реакций.

6.Определяем порядок расчета узлов, начиная расчет с того узла, где не более двух неизвестных пересеченных стержней.

7.Вычерчиваем узлы в порядке расчета.

8.В каждом узле: 1) показываем реакции пересеченных стержней, предполагая их растянутыми, направляем реакции от узлов; 2) проводим оси координат; 3) обозначаем углы между осями и реакциями; 4) вычисля- ем эти углы или находим их sin и cos; 5) записываем, что дано и что надо найти; 6) записываем уравнения равновесия; 7) определяем неизвестные величины.

9.Знак (–) в ответе означает, что данный стержень сжат.

229

Порядок расчета фермы методом Риттера

1.Определяем опорные реакции.

2.Проводим сечение Риттера – оно должно быть сквозным, т.е. раз- делять ферму на две части. Сечение Риттера должно пересекать не более трех стержней (с неизвестными усилиями ), не пересекающихся в одной точке.

3.Рассматриваем равновесие одной из частей фермы, лучше той, где меньше приложенных сил.

4.Пересеченные стержни предполагаем растянутыми, и их усилия направляем от узлов, т.е. в сторону отброшенной части.

5.Составляем уравнения моментов относительно точек Риттера для определения неизвестных усилий в стержнях. Точкой Риттера называется точка, в которой пересекаются два из трех перерезанных стержней. Если точка Риттера – в бесконечности, то составляем уравнение проекций на ось, перпендикулярную к стержням.

Рис. 16

230