УМК Коровкин-Кулик

Для нормальной работы механических передач необходимо, чтобы не происходило проскальзывание тел, входящих в контакт друг с другом, а продольные деформации ремня (цепи) были пре- небрежимо малы. Эти требования приводят к кинематическим услови- ям: линейные скорости точек тел, через которые осуществляется их кон- такт, должны быть равны по величине и одинаковы по направлению, и, кроме этого, все точки ремня (цепи)

нейные скорости.

С учетом этих условий определяем угловые скорости тел системы в момент времени t1 = 2 с, выражая линейные скорости точек контакта через геометрические параметры и угловые скорости соответствующих тел.

VА3 = VА2, т.е. ω3R3 = ω2R2 .

Следовательно,

ω3 = ω2 R2 = ω2 z2 .

R3 z3

Здесь отношение радиусов заменено отношением чисел зубьев, коли- чество которых на каждом колесе пропорционально его радиусу (диаметру).

Из равенства линейных скоростей точек А2 и А3 (А2 2, А3 3) следу-

ет равенство касательных ускорений этих точек, поскольку аτ = dV/dt.

241

Следовательно,

Показываем на рисунке направления скорости и ускорений точки К. Так как вращение колеса 2 в данный момент времени происходит за- медленно (ω2(t1) и ε2(t1) имеют разные знаки и направления), то весь меха- низм движется замедленно. Линейные скорости и касательные ускорения

всех точек механизма направлены противоположно друг другу.

Задачи 2, 3. Исследование движения механизмов со звеньями, со- вершающими плоскопараллельное движение.

Порядок выполнения

1.Проводим анализ движений звеньев механизма.

2.Определяем скорость точки, связывающей ведущее звено и ведо- мое, и показываем ее направление.

3.Выбираем способ решения задачи по определению скоростей то- чек и угловых скоростей звеньев, совершающих плоскопараллельное дви- жение, по способу МЦС.

4.Для звена, совершающего плоскопараллельное движение, нахо- дим положение МЦС (указано на рисунке или находится построением на пересечении перпендикуляров к направлениям скоростей точек звена); оп- ределяем ω и показываем ее направление; находим скорости точек, связы- вающих звено с последующими звеньями механизма.

5.Для решения задачи об ускорениях точек определяем ускорение точки, связывающей ведущее и ведомое звенья, которую примем в даль- нейшем за полюс.

6.При аналитическом способе решения задачи об определении ус- корений точек определяем по величине и направлению составляющие вращательного ускорения точки вокруг полюса.

7.Находим ускорение точки проектированием векторного равенст- ва, определяющего ее ускорение, на выбранные оси координат.

242

Пример 10. Механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О4 шарнира-

ми (рис. 32).

Дано: α = 60°; β = 150°; γ = 90°; ϕ = 30°; AD = DB; l1 = 0,4 м; l2 = 1,2 м; l3 = 1,4 м; l4 = 0,6 м; ω1 = 2с–1 , ε1 = 7с–2

(направления ω1 и ε1 – против хода часовой стрелки).

Определить: VB; VE; ω2; аВ ; ε2.

Решение. Выполняем рисунок схемы механизма в заданном положении в соот- ветствии с исходными данными (рис. 33)

направлениям скоростей точек А и В этого тела. На их пересечении полу- чим точку Р3 – МЦС тела 3. Вокруг нее в данный момент времени проис- ходит поворот тела 3 с угловой скоростью ω3. Направление ω3 находим,

пользуясь известным направлением V A : звено 3 вращается против хода ча-

совой стрелки. Следовательно, V B P3B и направлен в сторону вращения тела 3 (вверх по направляющей).

243

Так как по свойству скоростей точек тела, совершающего плоскопа- раллельное движение,

VA = VB = VD = w,

AP3 BP3 DP3

то

из P3DP – он равносторонний из построения.

Показываем на рисунке найденные скорости. Для нахождения скоро- сти точки Е учтем, что она одновременно принадлежит и телу 2, и телу 4, причем, т.к. тело 4 вращается вокруг неподвижной оси О4, то скорость

V E ^ O4 E и VE = w4 ×O4 E .

Из D P2ED P2E = P2D, т.к. D P2DE равнобедренный. VE = 0,46 м/с. Полученные результаты расчета показываем на рисунке. Определим w4:

w4 направлена против хода часовой стрелки в соответствии с направлением VE.

Определение ускорений

По заданному движению тела 1 находим ускорение точки А. Так как тело 1 вращается вокруг неподвижной оси О1, то

А1О к точке О1).

244

Показываем эти векторы на рис. 34.

Для определения ускорения аВ воспользуемся тем, что точка В при-

надлежит телу 3, совершающему плоскопараллельное движение. Этому телу принадлежит и точка А, ускорение которой уже найдено. Поэтому ее

(точку А) можно принять за полюс и записать для аВ :

Здесь векторная формула дополнена таблицей анализа величины и направления каждого из векторов, входящих в формулу.

Направление вектора aBAτ показываем по перпендикуляру к АВ пред-

положительно (см. рис. 34), после решения уравнения уточним это направ- ление.

Проводим оси координат и проецируем векторное уравнение на оси X и Y.

Проецируя уравнение на ось X, получаем

aB cos30° = aτA cos 60° − anA cos30° + aBAn ,

245

Показываем истинное направление ε3 на рисунке с учетом получен-

ного знака у вектора aBAτ (рис. 35).

Задача 4. Исследование сложного движения точки

Порядок выполнения

1.Устанавливаем вид абсолютного, относительного и переносного движения точки.

2.Находим положение точки, соответствующее заданному моменту времени, и показываем его на рисунке.

3.При переносном вращательном движении определяем радиус переносного вращения точки, вычисляем угловую скорость ω и угловое ускорение ε и показываем их на рисунке в виде круговых стрелок и век- торов.

4.По заданным уравнениям относительного движения находим Vотн

ипоказываем вектор на рисунке с учетом полученного знака.

5.Определяем скорость точки в переносном движении и показыва- ем вектор Vпер на рисунке, используя направления координатных осей.

6.Учитывая взаимное расположение слагаемых векторов Vотн и Vпер ,

находим абсолютную скорость точки геометрическим или аналитическим способом.

7. Находим относительное ускорение точки в зависимости от вида траектории относительного движения и показываем его на рисунке.

246

8.Вычисляем aпер и показываем его на рисунке.

9.Определяем кориолисово ускорение и показываем его на рисун- ке, используя правило Жуковского.

10.Находим aабс по его проекциям на оси координат.

Пример 11. Тело произвольной формы вращается вокруг оси, про- ходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, с угловой скоростью w = 2t -1,5t2 (рад) (положительное направление отсчета w показано

на рис. 36). По дуге окружности радиуса R = 0,5 м движется точка В по за-

кону S = АВ = pR cos πt (м), t – с (положительный отсчет от А к В). 3

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в момент времени t1 = 2 c.

Решение. Рассмотрим сложное движение точки В. Вращение пла- стины с угловой скоростью w = 2t – 1,5 t2 является переносным движением точки. Угловая скорость переносного движения определится при t1 = 2 c

w1пер = 4 – 1,5 ×4 = – 2 с–2 .

ся по формуле:

V абс = V пер + V отн.

Определяем величины, входящие в это равенство. Относительное движение точки происходит по закону

S = АВ = πR cos πt . 3

Устанавливаем, где будет находиться точка В на дуге окружности в момент времени t1.

247

S1 = πR cos 2π = −0,5πR (м) .

3

Показываем направления векторов V отн и V пер с учетом полученных

знаков на рис. 37. Вектор V пер направлен перпендикулярно к расстоянию

ОВ1 в сторону переносного вращения, вектор V отн направлен по касатель- ной к траектории относительного движения в сторону, противоположную положительному отсчету дуговой координаты S, т.к. в расчете получен знак (–).

Проведем координатные оси О1XY и спроектируем обе части равен-

ства, определяющего V абс , на оси.

На ось Х: VабсХ = VотнХ + VперХ = 0 − Vпер cos 45° = −1,99 м/с. На ось Y: VабсY = VотнY + VперY = Vотн + Vпер cos 45° = 3, 41 м/с.

Находим V абс . Vабс = VабсХ2 + Vабс2 Y = (−1,99)2 + (3,41)2 = 3,95 м/с.

Абсолютное ускорение точки В1 определим по формуле

aабс = aпер + aотн + aкор.

248

Переносное движение – это вращение пластины вокруг точки О, поэтому

Относительное движение точки В1 – криволинейное движение по ок- ружности радиуса R пластины, поэтому

Расчетная формула для определения aабс принимает вид:

Определим модули и направле- ния всех векторов, входящих в это ра- венство (рис. 38).

аперn = w2пер ×О1В = 22 ×1,41 = 5,64 м/с2.

Вектор аперn направлен по пря-

мой В1О к центру вращения О.

где ρотн – радиус кривизны траектории точки в относительном движении;

ρотн = R.

249

Находим кориолисово ускорение aкор .

Модуль кориолисова ускорения определяем по формуле

лярно к плоскости чертежа, т.е. он перпендикулярен к вектору V отн , ле-

жащему в плоскости пластины, значит, α = 90°.

Вычисляем aкор при t1 = 2 c.

aкор = 5,68 м/с2.

Направление aкор найдем по правилу Н.Е. Жуковского, поворотом

вектора V отн на 90° в сторону ωпер.

Таким образом, найдены значения и направления всех векторов, вхо-

дящих в правую часть равенства aабс . Для сложения этих векторов прове-

дем оси координат и спроектируем обе части равенства, определяющего

aабс , на эти оси.

На ось Х: aабсХ = −aотнn На ось Y: aабсY = aперn

Подставляя числовые значения для момента времени t1 = 2 c, находим:

250