УМК Коровкин-Кулик

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Составная балка AD, лежащая на трёх опорах, состоит из двух балок, шарнирно соединенных в точке С. На балку действуют верти- кально силы, равные 20 кН, 60 кН, 30 кН. Размеры указаны на рисунке. Определить реакции опор А, В, и D (рис. 83).

Рис. 83

Задание 2. Две балки BC и CD соеди- нены в С цилиндрическим шарниром В и прикреплены к вертикальной стойке АВ, за- щемленной в сечении А, а цилиндрическим шарниром D соединены с полом. К балкам приложены горизонтальные силы Р1 и Р2. Определить горизонтальную составляющую реакции в сечении А. Размеры указаны на

рис. 84.

Рис. 84

211

Общее уравнение динамики

Цель занятия: научиться определять ускорения точек механической системы с помощью общего уравнения динамики.

Совместное применение принципа Даламбера и принципа возмож- ных перемещений дает возможность использовать при исследовании дви- жения системы выражение общего уравнения динамики

∑δAка + ∑δАки = 0 ,

где ∑δAка – сумма элементарных работ активных сил; ∑δАки – сумма эле-

ментарных работ сил инерции.

Общее уравнение динамики применяется для составления диффе- ренциальных уравнений движения системы материальных точек с одной или несколькими степенями свободы. При применении общего уравнения динамики к решению задач рекомендуется следующая последовательность действий:

1.Определить число степеней свободы системы, равное числу неза- висимых возможных перемещений.

2.Показать на рисунке действующие на систему активные силы (в случае неидеальных связей заменить их реакциями, включив их в число активных сил).

3.Задав направление ускорения одного из тел системы, показать на рисунке главные векторы сил инерции и главные моменты сил инерции.

4.Сообщить системе возможное перемещение, соответствующее одной из ее степеней свободы, считая остальные независимые возможные перемещения равными нулю, и найти зависимость между возможными пе- ремещениями, выразив их через какое-либо одно возможное перемещение.

5.Найти сумму работ активных сил и сил инерции на возможном перемещении системы.

6.Подставив все найденные выражения и зависимости в общее уравнения динамики, составить уравнение дифференциального движения системы.

7.Найти неизвестные величины.

Пример 1. Груз А массой m1, который подвешен на невесомой не- растяжимой нити, переброшенной через невесомый блок Д и намотанной на шкив В радиусом R, заставляет связанный со шкивом вал радиусом r ка- титься без скольжения по горизонтальному рельсу. Общая масса шкива и

212

вала равна m2 , их радиус инерции относительно центральной оси равен ρ. Найти ускорение груза А (рис. 85).

Решение. Связи, наложенные на систему, – идеальные, система име- ет одну степень свободы. Приложим к системе активные силы (Q = m2g;

P = m1g). Задаем направление a , показываем на рисунке силы инерции и момент сил инерции

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. К системе блоков, изображенной на рис. 86, подвешены грузы: М1 массой 10 кг и М2 мас- сой 8 кг. Определить ускорение ω2 груза М2 и натя- жение нити, пренебрегая массами блоков.

Рис. 86

213

ки. Скольжение между стержнем и катками, а также между катками и го- ризонтальной плоскостью отсутствует. Найти ускорение стержня DE. Кат- ки считать однородными круглыми цилиндрами (рис. 87).

Уравнение Лагранжа II рода

Цель занятия: изучение особенностей составления уравнения Ла- гранжа II рода.

Обобщенными координатами называются независимые параметры, однозначно определяющие положение точек механической системы, число которых равно числу степеней свободы (обозначается q). Выбор этих ко- ординат обоснован условиями задачи.

Обобщенная сила Q определяется по формуле

обобщенная сила; q – обобщенная координата.

При составлении уравнений Лагранжа II рода для заданной механи- ческой системы рекомендуется следующая последовательность действий:

1.Установить число степеней свободы и выбрать обобщенные ко- ординаты.

2.Показать на рисунке действующие на систему активные силы.

3.Вычислить кинетическую энергию системы в ее абсолютном движении и выразить эту энергию через обобщенные координаты и обоб- щенные скорости.

4.Вычислить обобщенные силы, последовательно задавая элемен- тарные положительные приращения обобщенных координат.

5.Подсчитываем соответствующие производные и составляя урав- нение Лагранжа определяем неизвестные величины.

214

Пример 1. Каток А массой М1 ,

скатываясь без скольжения по наклонной плоскости вниз, поднимает посредством нерастяжимой нити, переброшенной че-

рез блок В, груз С массой М2. При этом блок В вращается вокруг неподвижной оси О, перпендикулярной к его плоско-

сти. Каток А и блок В – однородные

круглые диски одинаковой массы и ра-

Рис. 88

диуса. Наклонная плоскость образует

угол α с горизонтом. Определить ускорение оси катка. Массой нити пре-

небречь (рис. 88).

Решение. Система имеет одну степень свободы, связи, наложенные на систему, – идеальные. Примем в качестве обобщенной координаты ли-

нейные перемещения оси катка А.

Q = x.

Записываем уравнение Лагранжа II рода:

Вычислим кинетическую энергию системы:

T = TA + TB + TC ;

Выразим все скорости через обобщенную скорость:

215

Вычисляем производные:

Вычисляем обобщенную силу Q:

δA = ∑δAka = M1g sin αδx − M 2 gδx = (M1 sin α − M 2 ) gδx ;

Q = (M1 sin α − M 2 ) g .

Составляем уравнение Лагранжа II рода:

ɺɺx (2M1 + M 2 ) = (M1 sin α − M 2 ) g ;

ɺɺx = a = (M1 sin α − M 2 ) g . 2M1 + M 2

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Груз В массой М1 приводит в движение цилиндрический каток А массой М2 и радиусом r при помощи нити, намотанной на каток. Определить ускорение груза В, если ка- ток катится без скольжения, а коэффициент

трения качения равен fк. Массой блока D пре- Рис. 89 небречь (рис. 89).

катки. Скольжение между стержнем и катками, а также между катками и горизонтальной плоскостью отсутствует. Найти ускорение стержня DE. Катки считать однородными круглыми цилиндрами (рис. 90).

216

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОРГАНИЗАЦИИ УПРАВЛЯЕМОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Качество и глубина усвоения студентами курса теоретической меха- ники в значительной степени зависят от их систематической работы по изучению теоретического материала и от полученных ими навыков в ре- шении практических задач. Поэтому в самостоятельную работу студентов входит изучение теоретического материала курса по рекомендуемым учеб- никам, ознакомление с методиками и особенностями решения примеров и задач, приведенных в учебниках и учебных пособиях, а также выполнение индивидуальных заданий (расчетно-графических работ). Контрольные ра- боты проводятся по наиболее важным разделам теоретического курса, их содержание определяется кафедрой.

Правильная организация самостоятельной работы компенсирует де- фицит времени аудиторных занятий, прививает вкус к решению творче- ских технических задач, закладывает основы современных инженерных знаний.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ И РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ

Задания и методические указания к выполнению расчетно-графических работ

По специальностям строительного профиля предусмотрено выпол- нение четырех расчетно-графических работ:

II семестр – РГР-1. «Исследование равновесия механических систем»; РГР-2. «Исследование движения механических систем».

III семестр – РГР-3. «Исследование динамики механических систем c применением общих теорем динамики»;

РГР-4. «Исследование динамики механических систем методами аналитической механики».

РГР-1

Выполнение этой работы вырабатывает навыки и умения исследова- ния равновесия простейших строительных конструкций. Расчетно- графическая работа содержит 6 задач.

Задачи С1 – С3. Равновесие произвольной плоской системы сил (балка, рама, составная балка).

217

Порядок выполнения

1.Выделяем тело (объект), равновесие которого будем рассматривать.

2.Прикладываем заданные силы.

3.Заменяем наложенные связи их реакциями.

4.Проводим оси координат.

5.Составляем уравнения равновесия для данной системы сил.

6.Определяем неизвестные величины.

7.При рассмотрении равновесия составной конструкции, произведя расчленение, выполняем операции последовательно, начиная с п. 1 для ка- ждой части конструкции.

Пример 1. Определение опорных реакций балки

Балка АВ, нагруженная произвольной плоской системой сил, удер- живается в равновесии при помощи неподвижной шарнирной опоры А и подвижной шарнирной опоры С (рис. 1). Определить реакции опор, если

F1 = 12 кН; F2 = 10 кН; m = 4 кН×м; q = 6 кН/м; a = 30°. Линейные размеры на рис. 1 даны в метрах.

Рис. 1

Решение. Для определения реакций опор рассмотрим равновесие балки АВ. Реакция Rc горизонтально-подвижной шарнирной опоры С на-

правлена вертикально (предположим, вверх). Реакцию RА неподвижной шарнирной опоры А представим в виде двух составляющих ХА и YA , на-

правленных горизонтально и вертикально (например, вправо и вверх). Мысленно заменим опоры этими силами реакций и сделаем балку сво- бодной (принцип освобождаемости от связи). Равномерно распределен- ную нагрузку интенсивностью q, равной 6 кН/м, заменим равнодейст- вующей силой

Q = q ×3 = 6 ×3 =18 кН.

218

Линия действия силы Q проходит через середину участка длиной

3 м, где эта нагрузка действует. Так получается расчетная схема несвобод- ной балки (рис. 2), находящейся в равновесии под действием произвольной системы сил.

A

A

Рис. 2

Выбрав оси проекций Х и Y, составляем и решаем уравнения равно- весия балки:

в противоположную сторону, т.е. не вправо, как предполагали вначале, а вле- во. Чтобы не исправлять решение, оставим без изменения выполненный ранее рисунок расчетной схемы балки, но будем иметь в виду, что X A = -10,4 кН);

2) ∑FKY = 0 : YA + F1 sina - F2 + RC -Q = 0 ;

YA +12 × 0,5 -10 + RC -18 = 0 ; YA + RC = 22 кН ;

3) ∑mA (Fk ) = 0 : F1 sin a× 4 - F2 ×6 + 5m + RC ×10 -Q ×11,5 = 0 ;

12 × 0,5 × 4 -10 × 6 + 5 × 4 + RC -18 ×11,5 = 0 ; 24 - 60 + 20 +10 × RC - 207 = 0 ;

RC = 22,3 кН.

Возвращаясь ко второму уравнению равновесия, вычисляем YA:

YA + 22,3 = 22 ; YA = −0,3 кН.

Истинное направление этой составляющей силы реакций RА – вер-

тикально вниз. Полная реакция опоры А:

RA = x2A + y2A = 10,42 + 0,32 = 10,5 кН.

219

Выполним проверку правильности решения задачи. Для этого соста- вим еще одно уравнение равновесия балки, причем такое, которое не ис- пользовалось при определении сил реакций, например:

∑mB (Fk ) = 0 : -YA ×13 - F1 sin a × 9 + F2 × 7 + 5m - RC × 3 + Q ×1,5 = 0.

Подставим в это уравнение заданные и найденные силы, получаем:

-(-0,3) ×13 -12 × 0,5 ×9 +10 × 7 + 5 × 4 - 22,3 ×3 +18 ×1,5 = 0 ; 3,9 - 54 + 70 + 20 - 66,9 + 27 = 0 ; -117 +117 = 0 ; 0 = 0.

Следовательно, неизвестные силы реакций опор определены верно.

Пример 2. Определение опорных реакций балки

Брус, рассмотренный в примере 1, жестко закреплен пра- вым концом (рис. 3). Определить реакции этой связи и выполнить проверку правильности решения.

Решение. Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Рассмот- рим ее равновесие под действием заданной системы сил и искомых реак- ций жесткой заделки В. Эти реакции представим в виде неизвестной реак-

тивной силы RB (которую сразу разложим на две составляющие, парал-

лельные произвольно выбранным осям проекций Х и Y) и реактивного мо- мента MВ , выбрав его направление произвольно (например, против хода ча- совой стрелки). Заменив жесткую заделку В этими реакциями, получаем расчетную схему балки в виде свободного твердого тела, находящегося в равновесии под действием указанных сил и неизвестных сил (рис. 4).

Составляем и решаем уравнения равновесия балки:

220