Задание для самостоятельной работы
Горизонтальный стержень АВ имеет на конце А отверстие, которым он надет на вертикальную круглую стойку СD, длина втулки b = 2 см; в точке Е на расстоянии а от оси стойки к стержню подвешен груз Р. Определить, пренебрегая весом стержня АВ, расстояние а так, чтобы под действи- ем груза Р стержень оставался в равновесии, если коэффициент трения между стержнем и стойкой
f = 0,1 (рис. 39). |
Рис. 39 |
|
|
Тема 6. Центр тяжести твердого тела
Цель занятия: выработка навыков определения координат центров тяжести плоских тел и стержневых конструкций.
Координаты центра тяжести тела плоской фермы находятся по фор- мулам:
X |
C |
= ∑Sk X k ; |
Y = ∑SkYk ; |
Z |
C |
= ∑Sk Zk , |
|
S |
C |
S |
|
S |
|
|
|
|
|
где Sk – площадь k-той части тела; Xk, Yk, Zk – |
координаты центра тяжести |
k-той части тела; S = ∑Sk – площадь всей фигуры.
Положение центров тяжести твердых тел простейшей симметричной формы
|
|
а) центр тяжести площади однородного прямо- |
|
угольника расположен в точке пересечения его диагоналей; |
|
|
|
б) центр тяжести площади однородного треуголь- |
|
ника находится в точке пересечения его медиан; |
|
|
|
в) центр тяжести дуги однородной окружности |
|
(рис. 40) находится на оси симметрии, и его положение |
Рис. 40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinα |
|
определяется координатами: X |
|
= r |
, Y = 0 , где r – |
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиус окружности; α – половина центрального угла. |
|
|
|
г) центр тяжести однородного кругового сектора |
|
(рис. 41) расположен на оси симметрии и имеет координа- |
|
ты: |
|
B = |
|
A + |
|
BA , YC = 0 , где r – |
радиус окружности, α – |
|
a |
a |
a |
|
половина центрального угла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Найти расстояние центра тяжести поперечного сечения неравнобокого уголка, полки которого имеют ширину ОА = а, ОВ = b и толщину
AC = BD = d (рис. 42).
Решение. Представим уголок состоящим из
прямоугольника OBKD – |
тело 1 и прямоугольника |
LKAC – |
тело 2. Тогда координаты центра тяжести |
уголка будут рассчитываться по формулам: |
|
Рис. 42 |
X = |
S1X1 + S2 X 2 |
; |
Y = |
S1Y1 + S2Y2 |
|
(1) |
|
|
S1 + S2 |
|
|
S1 + S2 |
|
|
Из рис. 43 определяем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = ab ; |
|
X |
|
|
|
= |
|
|
d |
; |
Y = |
b |
. |
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
= d + |
a − d |
= |
|
a + d |
; Y = |
d |
. |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляем (2), (3) в (1), окончательно находим |
|
|
|
db |
d |
+ (a - d )d |
a + d |
|
|
|
|
|
|
a2 + bd - d 2 |
|
|
|
|
X = |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= |
; |
|
|
|
|
|
|
ab + (a - d )d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(a + b - d ) |
|
|
|
|
|
|
db |
b |
+ (a - d )d |
|
d |
|
|
|
|
|
|
b2 + ad - d 2 |
|
|
|
|
|
|
Y = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
db + (a - d )d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(a + b - d ) |
|
X = |
a2 |
+ bd - d 2 |
; Y = |
b2 + ad - d 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(a + b - d ) |
2(a + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- d ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. |
|
Найти |
координаты |
центра |
|
|
|
тяжести плоской фермы, состоящей из семи |
|
|
|
стержней, длины которых указаны на рис. 44, |
|
|
|
удельный вес 1 м длины для всех стержней |
|
|
|
один и тот же. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Пронумеруем стержни и за- пишем формулы для вычисления координат центра тяжести фермы в виде
|
|
7 |
|
|
7 |
|
Рис. 44 |
|
|
∑li xi |
|
∑li xi |
|
|
X = |
i=1 |
|
; |
X = |
i=1 |
, |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
где |
L = ∑li |
= 3 × 2,5 |
+ 2 |
× 2 + 3 +1,5 =16 м. |
i=1
Учитывая, что координаты центров тяже- сти стержней находятся в серединах их сторон (рис. 45), определим их значения и запишем в виде таблицы .
Рис. 45
Номер стержня |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
|
|
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
li |
3 |
2,5 |
2,5 |
2 |
|
1,5 |
|
2,5 |
2 |
xi |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0,2 |
|
3 |
3 |
yi |
1,5 |
2,25 |
0,75 |
0 |
|
0,75 |
0,75 |
0 |
X = |
1× (2,5 + 2,5 + 2) +1,5 × 2 + 3 × (2,5 + 2) |
= |
23,5 |
= 1, 47 м ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
Y = |
3 ×1,5 + 2,5 × (2, 25 + 0,75) + 0,75 × (1,5 + 2,5) |
= |
15 |
= 0,94 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
16 |
|
|
|
Ответ: X = 1, 47 м; Y = 0,94 м .
Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Найти координаты центра тяжести тела, имеющего вид стула, состояще- го из стержней одинаковой длины и веса (рис. 46). Длина стержня равна 44 см.
Рис. 46
Задание 2. Найти расстояние центра тяжести таврового сечения ABCD от стороны АС, если высота тавра BD = h, ширина полки АС = а, толщина полки равна d и толщина стенки равна b (рис. 47).
Рис. 47
183
КИНЕМАТИКА
Тема 7. Кинематика точки
Цель занятия: приобретение навыков определения кинематических характеристик точки при различных способах задания движения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторный способ |
|
|
|
|
= |
|
|
(t) – |
закон движения; |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
d 2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
dr |
|
; |
r |
|
V |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt d 2t |
Координатный способ
x = f1(t) ;
y = f2 (t) ; – закон движения; z = f3 (t) .
V = 
xɺ2 + yɺ2 + zɺ2 ; a = 
ɺɺx2 + ɺɺy2 + ɺɺz2 .
Естественный способ
S = S (t) |
– |
закон движения, S – |
дуговая координата; |
|
V = |
dS |
– |
алгебраическая скорость; |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
V 2 |
; |
a = |
dV |
. |
|
|
a = a2 |
+ a2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
τ |
n |
ρ |
τ |
dt |
|
|
Пример 1. |
Движение точки заданно уравнениями (x, y – |
в см, t – в с): |
|
|
|
|
|
|
|
x = 4cos(πt) − 2; y = 2sin πt |
. |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Найти траекторию точки, выполнить ее рисунок и показать направ- ление движения точки по траектории в различные моменты времени.
Для момента времени t1 = 1,5 с вычислить положение точки и радиус кривизны траектории в этом месте, скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорения точки.
Полученные результаты показать на рисунке траектории. Сделать вы- вод о характере движения точки в момент t1.
Решение. Для получения уравнения траектории исключим время из заданных уравнений движения, воспользовавшись тождеством
cos 2α = 1 − 2sin2 α .
Отсюда имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
πt |
y |
|
|
|
|
2 |
|
πt |
|
sin |
= |
|
; |
x = 4cos(πt) − 2 |
= 4 |
1 |
− 2sin |
|
|
− 2 = 2(1 − y2 ). |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Итак, уравнение траектории |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2(1 − y2 ). |
|
|
|
(2) |
Это уравнение параболы с горизонтальной осью симметрии, совпа- дающей с осью ОХ. Но траекторией является только часть этой параболы, ограниченная координатами
−6 ≤ x ≤ 2;
− ≤ ≤ (3)
2 y 2.
Выполняем рисунок траектории (рис. 48).
Определим и покажем на нем положения точки в момент времени t0 = 0 и t1 = 1,5 c:
x0 = 2 см; y0 = 0 см; x1 = −2 см;
Подставляя в исходные уравнения движения точки мо- менты времени 0, 1/6, 2/6 и т.д. до 2, с интервалом в 1/6 с, вы- числяем последовательные по- ложения точки на траектории и приходим к выходу, что точка совершает колебания вдоль вы- деленной части параболы и ни при каких значениях t не выхо- дит за пределы ограничений (3).
Определяем скорость и ускорение точки.
V = |
dx |
= −4πsin(πt); |
a |
x |
= |
dVx |
= −4π2 cos(πt); |
|
|
x |
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
= |
dVy |
= |
π2 |
|
πt |
|
ay |
|
2 |
sin |
. |
|
dt |
|
|
|
|
|
2 |
При t1 =1,5 с: Vx1 =12,56 см/с; Vy1 = −2,22 см/с; V1 = 
Vx1 +Vy1 =12,76 см/с.
a |
x1 |
= 0 см/с2; a |
= −3,49 см/с2; a = |
a2 |
+ a2 |
= 3, 49 см/с2. |
|
y1 |
1 |
x1 |
y1 |
|
Касательное и нормальное ускорения точки при t = 1,5 c:
|
|
a |
= |
Vx1ax1 + Vy1ay1 |
= 0,607 см/с2; |
|
|
|
|
|
|
|
τ1 |
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
= |
|
a2 |
− a2 |
= 3,492 − 0,6072 = 3, 44 см/с2. |
n1 |
|
1 |
|
τ |
|
|
|
|
Полученные результаты показываем на рисунке траектории точки. Радиус кривизны траектории в точке (x1, y1)
ρ1 = V12 = 12,762 = 47, 2 см. an1 3,44
Движение точки в момент времени t1 = 1,5 c – ускорение, так как на- правление вектора скорости и вектора касательного ускорения совпадают
(см. рис. 48).
Задание для самостоятельного решения
Найти траекторию точки М шатуна кривошипно-ползунного меха-
низма, если r = l = 60 см; МВ = 1 l; ϕ = 4πt (t – в секундах), а также опре- 3
делить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки в момент, когда ϕ = 0 (рис. 49).
Рис. 49
Тема 8. Вращательное движение твердого тела
Цель занятия: приобретение навыков определения скоростей и уско- рений точек в простейших механических передачах.
Вращательным движением твердого тела называется такое движе- ние, которое описывается одним уравнением
ϕ = ϕ(t) ,
где ϕ − угол поворота тела вокруг неподвижной оси.
Основные кинематические характеристики вращающегося тела:
ω = |
dϕ |
ε = |
dω |
= |
d |
2ϕ |
|
|
; |
|
|
|
|
. |
|
dt |
dt 2 |
|
dt |
|
|
|
Скорости и ускорения точек вращающегося тела определяются по формулам
V = ωh ,
где h − расстояние от точки до оси вращения;
a = 
an2 + aτ2 ;
an = ω2h ; aτ = εh .
Задача 1. Вал радиусом R = 10 см приводится во вращение гирей Р, привешенной к нему на нити. Движение гири выражается уравнением х = 100 t2, где х – расстояние гири от места схода нити с поверхно- сти вала, выраженное в сантиметрах; t – время в се- кундах. Определить угловую скорость ω и угловое ускорение ε вала, а также полное ускорение (рис. 50).
Решение. Зная, что V = dx , найдем: V = 200t, dt
но V = ωR, 200t = ωR, => ω = 200t = 200t = 20t c–1 .
Угловое ускорение найдем, взяв производную от ω по
ускорение по формуле a = 
aτ2 + an2 , или
a = R
ε2 + ω4 = 10
202 + (20t)4 = 200
1 + 400t4 см/с2.
Рис. 50
t: ε = dω = 20, dt
Задача 2. Решить предыдущую задачу в общем виде, выразив уско- рение точек обода колеса через пройденное гирей расстояние х, радиус ко- леса R и ускорение гири ɺɺх = а0 = const.
Решение. |
Зная, |
что |
|
V = |
|
dx |
= |
ɺ |
а также, |
что V = ωR, |
|
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
х, |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = ωR ω = |
|
ɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɺɺ |
|
|
Угловое ускорение – |
|
это производная от ω, |
ε = |
|
= |
x |
= |
a0 |
, тогда |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ɺ4 |
|
|
|
|
|
|
|
ɺ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = R ε2 + ω4 = R |
a0 |
+ |
x |
|
= a2 |
+ |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
R4 |
|
|
|
0 |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем это выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = |
|
|
a = a |
2 |
+ |
|
|
= a 1 + |
4x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
2a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
R2 |
0 |
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. В механизме стрелочного индикатора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
движение от рейки мерительного штифта 1 передается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шестерне 2, на оси которой укреплено зубчатое колесо 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сцепляющееся с шестерней 4, несущей стрелку. Опре- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делить угловую скорость стрелки, если движение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
штифта задано уравнением x = a sin kt и радиусы зубча- |
|
|
Рис. 51 |
|
|
|
|
тых колес соответственно равны r2, r3, r4 (рис. 51). |
Решение: |
Зная, что движение штифта x = a sin kt, находим V: |
V= dx = ak cos kt . dt
Скорость штифта равна скорости точек обода колеса 2, значит,
|
|
V = ω |
r |
или ω |
−3 |
= |
V |
= |
ak cos kt |
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
−3 2 |
2 |
|
r2 |
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейные скорости точек колеса 3 и 4 равны, значит, ω2−3r2 = ω4r4 . |
Находим ω = ω2−3r3 |
= |
r3ak |
cos kt, это и будет угловая скорость стрелки |
|
4 |
r4 |
|
r2r4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гальванометра.
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Маховое колесо начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно. Через 10 мин после начала движения оно имеет угловую скорость, равную 4 π рад/с. Сколько оборотов сделало колесо за эти 10 мин?
Задание 2. Маховое колесо радиусом R = 2 м вращается равноуско- ренно из состояния покоя. Через 10 с точки, лежащие на ободе, обладают линейной скоростью V = 100 м/с. Найти скорость, нормальное, касательное ускорения точек обода колеса для момента t1 = 15 с.
Тема 9. Плоскопараллельное движение твердого тела
Цель занятия: приобретение навыков определения скоростей и уско- рений точек при плоском движении твердого тела.
Движение твердого тела называется плоским или плоскопараллель- ным, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных неко- торой неподвижной плоскости.
Скорости точек при плоском движении можно определить по фор- мулам:
1. VB = VA + VBA ,
где VA – |
скорость некоторой точки, принимаемой за полюс; VBA – ско- |
рость во вращательном движении вокруг полюса. |
|
VBA = ωAB ; VBA AB и направлен в сторону ω . |
2. |
ПрABVB = ПрABVA . |
Проекции скоростей двух точек на ось, проходящую через эти точки, |
равны между собой. |
3. |
VA = ωAP ; VA AP , |
где AP − расстояние от точки до МЦС (точка P ).
Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю: VP = 0 .
Способы нахождения МЦС
Во всех четырех случаях известны направления скоростей точек А и В тела. Мгновенный центр скоростей (точка Р) определяется пересечением перпендикуляров, восстановленных к скоростям VA и VВ . В четвертом случае МЦС находится в бесконечности ( ω = 0 ), тело в данный момент времени будет совершать поступательное движение (VA = VB ).
Ускорения точек при плоском движении находятся по формуле
aB = aA + aBA ,
где aA – ускорение точки, принятой за полюс; aBA – ускорение во враща-
тельном движении вокруг полюса.
Пример 1. Определить для заданного механизма скорости и ускоре- ния обозначенных точек, а также угловые скорости и угловые ускорения звеньев механизма (рис. 53).
|
Дано: S |
A |
= 5t2 см; R = 2 см; АВ = ВО = 6 см; |
|
t1 = 1с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Определяем скорость и уско- |
|
рение точки А (рис. 54): |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
A |
= |
dSA |
= 10t ; при t = 1 c V |
A |
= 10 |
см |
; |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
A |
= |
dVA |
|
= 10 |
см |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 53 |
Точка Р1 – |
МЦС колеса 1, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
ω = |
VA |
= 5 с-1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
АР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Строим точку Р2 – |
МЦС звена 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
