УМК Коровкин-Кулик

Теорема об изменении кинетической энергии системы

Цель занятия: научиться определять кинетическую энергию и рабо- ту сил. Рассмотреть применение теоремы при определении кинематиче- ских характеристик тел системы.

Кинетическая энергия системы

T = ∑ mкVк . 2

Кинетическая энергия твердого тела: а) при поступательном движении

Tпост = 1 MV 2 ;

2

б) при вращательном движении

Tвр = 1 J ω2 ; 2

в) при плоскопараллельном движении

Tпл.|| = 1 MVc2 + 1 Jcω2 .

2 2

Работа силы, приложенной к телу: а) движущемуся поступательно

A = FS cos ϕ ;

б) при вращательном движении

A = ±mz (F )ϕ ,

где mz ( F ) – момент силы F относительно оси вращения.

201

Для определения ускорения тела применяется теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме

dT = ∑dAke + ∑dAki .

При определении скоростей точек или тел системы в интегральной форме

T − T0 = ∑ Ake + ∑ Aki .

Пример 1. Доска ве- сом Р1 лежит на двух ци- линдрических катках ра- диусом r и весом Р2 каж- дый. Вся система движется под действием заданной го-

Рис. 69

ризонтальной силы F, при- ложенной к доске; при этом предполагается, что катки катятся без сколь- жения. Найти ускорение доски (рис. 69).

Решение. Для определения а1 применяем теорему dT = ∑dAke .

Так как доска движется поступательно, а катки плоскопараллельно, то

202

ный момент система находилась в покое (рис. 70). Массой троса и трением в шарнирах пренебречь.

Решение. Применяем теорему об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме

T − T0 = ∑ Ake + ∑ Aki .

Работа внутренних сил ∑ Aki = 0 .

T0 = 0 по условию задачи,

т.к. тело 1 вращается вокруг неподвижной оси, тело 2 движется плоскопа- раллельно.

Моменты инерции

При повороте барабана на угол ϕ = 2πN совершают работу момент М и сила Р2, работа остальных сил будет равна нулю.

A(M ) = M ϕ = M 2πN ;

A( P2 ) = −m2 g sin αSc ,

где Sc = ϕr1 = 2πNr1 – перемещение точки С.

203

ный блок D, поднимает вверх груз В массой М2, прикрепленный к оси подвижного блока С. Блоки C и D считать однородными сплошными дисками мас- сой М3 каждый. Определить скорость груза А в мо- мент, когда он опустится на высоту h. Массой троса, проскальзыванием по ободам блоков и силами со- противления пренебречь. В начальный момент сис- тема находилась в покое (рис. 71).

Рис. 71

Задание 2. К грузу А массой М1 прикреплена нерастяжимая нить, переброшенная через блок D массой М2 и намотанная на боковую по- верхность цилиндрического катка В массой М3. При движении груза А

вниз по наклонной плоскости, рас-

Рис. 72

положенной под углом α к горизон- ту, вращается блок D, а каток В ка- тится без скольжения вверх по наклонной плоскости, образующей с гори-

зонтом угол β (рис. 72).

Определить скорость груза А в зависимости от пройденного им пути S, если в начальный момент система находилась в покое. Блок D и каток В считать однородными круглыми цилиндрами. Силами трения и массой ни- ти пренебречь.

204

Принцип Даламбера

Цель занятия: изучить применение принципа Даламбера к определе- нию динамических реакций опор.

Если к каждой точке движущейся системы приложить силу инерции этой точки, то все силы инерции будут уравновешиваться заданными си- лами и реакциями связей.

Fku = mk ak

и направлена противоположно вектору a .

Силы инерции при движении механической системы приводятся к силе, равной главному вектору и паре сил с моментом, равным главному моменту:

а) при поступательном движении твердого тела силы инерции при- водятся к одной силе

F u = −M a ;

б) при вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр масс, силы инерции приводятся к паре сил с моментом

M uu = J ε ,

направленным противоположно направлению ε; в) при плоскопараллельном движении твердого тела силы инерции

приводятся к силе, равной главному вектору,

Ru = −Mac ,

и паре сил с моментом

M u = J ε .

Пример 1. Электромотор, установленный на горизонтальной балке, поднимает с помощью троса груз весом Р1 = 2000 Н. Радиус барабана, ук- репленного на оси мотора, r = 0,4 м.

Момент инерции барабана вместе с ротором J = 40 кг·м2. Определить динамические реакции опор А и В,

если груз поднимается с ускорением а = 1 м/с2; АВ = 3 м; масса балки

80 кг; b = 0,6 м (рис. 73).

Рис. 73

205

Решение. Присоединяем к активным силам Р1, Р2, реакциям связей хА , yA , RB силы инерции и момент сил инерции

M u = J a . r

Пример 2. Через блок массой m2 перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массой m1 и m2. Найти ускорения грузов и реакцию оси блока, считая его однородным круглым диском; m1 = 3m; m2 = 6m; m3 = 2m

(рис. 74).

Решение. На систему действуют заданные силы Р1, Р2, Р3, реакции

опоры х0, у0. Показываем a , учитывая, что m2 > m1, и прикладываем к сис-

206

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Груз А массой М1, опускаясь вниз по наклонной плоскости D, образующей угол α с горизонтом, приводит в движение по- средством нерастяжимой нити, переброшенной

Задание 2. Однородный круглый диск радиусом R и массой M вращается с постоянной угловой скоро- стью ω вокруг своего вертикального диаметра. Опреде- лить силу, разрывающую диск по диаметру (рис. 76).

Рис. 76

Принцип возможных перемещений

Цель занятия: изучение особенностей применения принципа воз- можных перемещений к определению опорных реакций.

Принцип возможных перемещений определяет необходимое и доста- точное условие равновесия механической системы с идеальными, голо- номными, удерживающими, стационарными связями. Это условие обеспе- чивается выполнением уравнения

∑δAка = 0 .

Задачи на применение принципа возможных перемещений следует решать в следующей последовательности:

1.Выполнить рисунок заданной конструкции, приложив дейст- вующие на нее силы.

2.При определении реакции опоры следует либо ее отбросить (если она дает только одно ограничение в перемещении), либо заменить другим типом связи, отбрасывая только одну связь.

3.Определить независимые возможные перемещения тел системы.

207

4.Сообщить системе, получившей одну степень свободы, возмож- ное перемещение и выразить возможные перемещения через какое-либо одно.

5.Составить сумму работ всех сил, приложенных к системе на воз- можном перемещении.

6.Решая уравнение, определить неизвестную реакцию.

Пример 1. Определить опорные реакции составной балки, состоя- щей из балок АС и СД, соединенных в точке С шарниром (рис. 77).

Рис. 77

Дано: P = 2 кН; М = 4 кНм; q = 3 кН/м.

Найти: xA; yA; RB; RD.

Равнодействующая от распределенной нагрузки

Q = q × 4 = 3 × 4 =12 кН.

Определяем yA (рис. 78):

∑δAка = 0;

( yA5 − Psin60°3 − M ) δϕ1 + Q2δϕ2 ;

δϕ1 = δϕ2 ; yA = −2,96 кН.

Рис. 78

208

Определяем хА (рис. 79):

Рис. 79

∑δAка = 0 ;

xAdS - P cos 60° × dS - Q × 2 × dj = 0 ;

dj = δS ; CR = 6,93 м ;

CR

Определяем RD (рис. 80):

Рис. 80

∑dAка = 0 ;

( RD cos30° × 4 - Q × 2)dj = 0 ;

RD = 6,93 кН .

209

Определяем RA (рис. 81):

Рис. 81

∑δAка = 0 ;

(-P sin 60° × 2 + RD ×5 + M ) dj1 - Q × 2dj2 = 0 ;

9dj1 = 4dj2 ® dj2 = 9 dj1 ; 4

RB = 10,7 кН.

Пример 2. Каркас платформы состоит из Г-образных рам с проме- жуточными шарнирами С. Верхние концы рам жестко защемлены в бетон- ную стену, нижние опираются на цилиндрические подвижные опоры. Оп- ределить вертикальную реакцию защемления при действии сил P1 и Р2

(рис. 82).

б)

а)

Рис. 82

Решение. Для определения уА выполним замену жесткой заделки другим типом связи и реакцией уА. Сообщим системе, получившей одну степень свободы, возможное перемещение и составим уравнение работ.

210