УМК Коровкин-Кулик

При скоростях движения, далеких от скорости распространения све- та, масса материальной точки принимается постоянной. Масса – постоян- ный параметр, характеризующий инерционность тела при поступательном движении.

Масса тела может быть найдена как отношение веса тела Р к вели- чине ускорения свободного падения в месте взвешивания g, то есть

называется количеством движения материальной точки. Этот параметр характеризует передачу механического движения от одного материального тела к другому.

Если учесть, что

a = dV , dt

то уравнение (3.1) может быть записано в виде

Уравнение (3.4) представляет собой другое выражение второго зако-

на динамики: вектор силы, действующей на материальную точку, равен производной по времени от вектора количества движения этой точки.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия). Силы,

с которыми действуют друг на друга две материальные точки, равны по величине и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соеди- няющей эти точки (рис. 3.1.).

Рис. 3.1. К понятию третьего закона Ньютона

Четвертый закон (закон независимости действия сил). Вектор ре-

зультирующего ускорения материальной точки равен сумме векторов ус- корений, приобретаемых данной точкой при действии на нее каждой из этих сил в отдельности.

81

k =1

где a – вектор результирующего ускорения.

Если силы приводятся к одной равнодействующей, то вектор по- следней

Отметим, что наиболее точно этому определению соответствует ге- лиоцентрическая система отсчета, начало которой совпадает с центром Солнца, а оси направлены в сторону трех звезд, условно называемых «не- подвижными».

При решении ряда инженерных задач за инерциальную систему при- нимают геоцентрическую, начало которой совпадает с центром Земли.

3.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки

уравнения (3.7) имеем: ma = R .

82

Учитывая, что проекции ускорения равны вторым производным по времени от соответствующих координат, а проекции равнодействующей равны алгебраическим суммам соответствующих проекций данных сил, получаем:

где

Выражения (3.9) представляют собой дифференциальные уравнения движения материальной точки. Они служат основным средством решения динамических задач.

Вся система трех дифференциальных уравнений (3.9) соответствует движению материальной точки в пространстве. Для описания движения точки в плоскости достаточно двух уравнений (если две оси координат расположить в этой плоскости). Для описания прямолинейного движения достаточно одного уравнения (если ось координат направить параллельно траектории точки).

3.3. Две основные задачи динамики материальной точки

Первая основная задача (прямая задача). По известному закону движения точки определить закон изменения во времени равнодействую- щей сил, приложенных к точке.

Если закон движения материальной точки m задан в координатной форме

то проекции ускорения точки в функции времени находятся двукратным дифференцированием кинематических уравнений движения (3.11), а про- екции искомой равнодействующей – путем умножения массы m на вторые производные соответствующих координат:

Z (t) = m × ɺɺz(t).

Выражения (3.12) представляют собой решения уравнений (3.11) от- носительно величин, стоящих в правых частях. При решении первой ос- новной (прямой) задачи динамики точки приходится прибегать лишь к дифференцированию. Поэтому первая задача, как правило, решается до конца аналитическими методами.

83

Вторая основная задача (обратная задача). По известному закону изменения равнодействующей сил, приложенных к точке, найти закон движения точки.

Если известны выражения

то для получения кинематических уравнений движения точки необходимо двукратное интегрирование этих выражений.

Из кинематики известно, что

t

x = x0 + ∫Vxdt ,

0

где

рости этой точки.

Поскольку при решении второй (обратной) задачи динамики точки приходится прибегать к интегрированию дифференциальных уравнений, эта задача аналитически решается не всегда. Сложность ее решения зави- сит от закона изменения равнодействующей сил, приложенных к точке.

84

Наиболее просто обратная задача решается когда:

1)X, Y, Z постоянны;

2)X, Y, Z представляют собой явные функции времени;

3)X, Y, Z являются явными функциями координат точки;

4)X, Y, Z являются явными функциями скорости точки.

В тех случаях, когда закон изменения равнодействующей не выража- ется функциями, а задается, например, в виде ряда значений, соответст- вующих различным моментам времени (что часто бывает при эксперимен- тальном исследовании движения), то, чтобы найти закон движения, прибе- гают к методам численного интегрирования.

3.4.Общие теоремы динамики материальной точки

3.4.1.Теорема об изменении количества движения материальной

точки

Согласно второму основному закону динамики вектор силы, дейст- вующей на материальную точку,

= dK F ,

dt

где K = mv – вектор количества движения материальной точки. Из последнего выражения следует, что

пульсом силы F за бесконечно малый промежуток времени). Элементар-

ный импульс характеризует механическое воздействие на материальное тело за бесконечно малый промежуток времени.

Эта формула выражает теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме: изменение количества движения материальной точки за бесконечно малый промежуток вре- мени равно элементарному импульсу силы, действующей на эту точку.

Изменение вектора количества движения за конечный промежуток времени может быть найдено интегрированием

85

называется импульсом силы F за время t . Импульс силы является мерой механического воздействия па материальное тело за конечный промежуток времени.

Размерность импульса [S ] = [ F ] ×[t] = Н× с.

Векторное уравнение (3.17) выражает теорему об изменении количе- ства движения материальной точки в конечной форме: изменение количе-

ства движения материальной точки за конечный промежуток времени равно импульсу силы, действующей на эту точку, за данный промежу- ток времени.

Векторное выражение (3.18) эквивалентно трем скалярным, полу- чающимся путем проектирования этого выражения на оси координат:

t

Sx = ∫ X (t)dt ;

0

0

t

Sz = ∫Z (t)dt ,

0

где X(t), Y(t), Z(t) – проекции на соответствующие оси силы, действующей на материальную точку.

Векторное уравнение (3.17) можно записать в виде

Проектируя уравнение (3.20) на оси координат и учитывая формулы (3.19), получаем систему скалярных уравнений

86

t

mVx − mVx0 = ∫ X (t)dt ;

0

0

t

mVz − mVz0 = ∫Z (t)dt .

0

Частные случаи

t

1. Sx = ∫ X (t)dt = 0 .

0

В этом случае mVx − mVx0 = 0 . Это означает, что vx = vx0 .

Следовательно, в случае, когда импульс проекции силы, действую- щей на материальную точку, за рассматриваемый промежуток времени ра- вен нулю, соответствующая проекция скорости точки имеет одинаковое значение в начале и конце данного промежутка времени.

2. X (t) = const = X .

Следовательно, в случае, когда проекция силы, действующей на ма- териальную точку, в течение рассматриваемого промежутка времени оста- ется постоянной, соответствующая проекция скорости точки изменяется пропорционально времени.

3. X(t) = 0.

В этом случае, как и в первом, mVx − mVx0 = 0 . Это означает, что

Vx = Vx0 = const .

Следовательно, в случае, когда проекция силы, действующей на ма- териальную точку, в течение рассматриваемого промежутка времени равна нулю, соответствующая проекция скорости точки остается постоянной.

Теорема об изменении количества движения материальной точки,

доказанная для случая, когда на точку действует всего одна сила F , оста-

ется справедливой и для произвольного числа сил. В последнем случае во

всех формулах данного пункта под F следует понимать равнодействую- щую сил, приложенных к точке.

87

3.4.2. Теорема о моменте количества движения материальной точки

Момент количества движения материальной точки относительно дан-

ною центра О обозначается L0 и выражается векторным произведением:

где r – радиус-вектор материальной точки относительно данного центра О. На рис. 3.3 показана точечная масса, движущаяся по криволинейной траектории со скоростью v , и построен вектор L0 момента количества дви-

жения этой массы относительно точки О, принятой за начало координат. Дифференцируя выражение (3.22) по времени, получаем

где R – вектор равнодействующей сил, приложенных к точке,

dL0 = v × mv + r × R . dt

Первое слагаемое в правой части последнего выражения равно нулю, а второе представляет собой момент отно- сительно начала координат равнодейст- вующей сил, приложенных к точке,

Тем самым доказана теорема о моменте количества движения мате- риальной точки.

Производная по времени от момента количества движения мате-

риальной точки, взятого относительно некоторого центра, равна мо- менту равнодействующей сил, приложенных к точке, относительно того же центра.

88

Проектируя векторное уравнение (3.23) на оси координат, получаем систему трех скалярных уравнений:

Проектируя уравнение (3.22) на оси координат, получаем:

где x, y, z – текущие координаты движущейся точки.

Частные случаи

1. M x (R) = 0 .

Это может быть, когда R и ось Ох лежат в одной плоскости. В дан- ном случае

Lx = m( yVz − zVy ) = const .

Отсюда следует, что

yVz − zVy = const .

2. M 0 (R ) = 0 .

Это может быть, когда линия действия силы R проходит через центр О. В данном случае

dL0 = 0 , то есть L0 = const . dt

Это означает, что векторное произведение радиус-вектора рассмат- риваемой материальной точки на вектор ее количества движения все время сохраняет одну и ту же ориентацию в пространстве. Это возможно лишь в том случае, когда радиус-вектор остается в одной плоскости. Следователь- но, материальная точка, на которую действует сила, описывает плоскую траекторию. Плоскость траектории проходит через центр силы.

89

3.4.3. Элементарная работа силы

Элементарной работой силы (или работой силы на бесконечно малом перемещении точки ее приложения) называется скалярное произведение

где F – вектор силы; dr – бесконечно малое перемещение (дифференци- ал радиус-вектора) точки ее приложения.

Если сила действует на точечную массу, то dr – вектор элементар-

правую часть выражения (3.26) можно переписать так:

Fdr = FVdt = F V cos(F ,V )dt .

Произведение F cos(F ,V ) представляет собой проекцию вектора си-

лы F на направление скорости. Обозначая эту проекцию FV , получим

где V – модуль вектора скорости (величина скорости); dσ – дифферен-

циал пройденного пути.

где V = sɺ – алгебраическая величина скорости; τ – орт касательной к тра- ектории, направленный в сторону возрастания s.

Произведение F cos(F , τ) представляет собой проекцию вектора си-

лы F на касательную к траектории. Обозначив эту проекцию Fτ , получаем

Fdr = FτVdt = Fτds .

Учитывая, что

находим еще одно выражение для dA :

Fdr = Xdx + Уdy + Zdz .

90