УМК Коровкин-Кулик

Добавил:

kane4na kane4na@yandex.ru Полоцкий Государственный Университет (ПГУ), город Новополоцк. Что бы не забивать память на компьютере, все файлы буду скидывать сюда. Надеюсь эти файлы помогут вам для сдачи тестов и экзаменов. Учение – свет. Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Полоцкий Государственный Университет

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

m1V1 + m2V2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.01.2022

Размер:

7.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2914 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Векторному уравнению (3.108) соответствуют три скалярных
mU x − mVx = Sx ;
mU y - mVy = S y ;	(3.109)
mU z - mVz = Sz .
Скорость материальной точки за время удара изменяется с v	на u ,

но остается величиной конечной. Поэтому координаты и радиус-вектор этой точки за время удара успевают измениться весьма мало. Можно счи-

тать, что координаты х, у, z и радиус-вектор r						точки за время удара не из-
менятся.
Момент количества движения точки относительно некоторого цен-
тра О за время удара изменится с величины

L ¢	= M		0	(mV ) = r	´ mV
0			0
до величины

L ² = M		0		(mU ) = r	´ mU .
0		0
Изменение момента количества движения за время удара

L ² - L ¢			= r ´ (mU		- mV ) .
0	0
Учитывая формулу (3.108), заключаем, что
								(3.110)
L	² - L			¢ = r ´ S = M		0	(S ) .	(3.110)
0			0			0

Таким образом, изменение момента количества движения точки от-

носительно некоторого центра за время удара равно моменту ударного им-

пульса относительно того же центра.

Векторному уравнению (3.110) соответствуют три скалярных:

L	² - L	¢ = M
			x	(S );
x		x

Ly² - Ly¢ = M y (S );					(3.111)
L	² - L	¢ = M
			z	(S ).
z	z

Если на точку при ударе действует не одна ударная сила, а несколь-

ко, то в полученных формулах под F следует понимать равнодействую-

щую всех этих сил.

Отметим, что изменение скорости материальной точки в результате удара вызывает соответствующее изменение ее кинетической энергии.

131

3.13.3. Удар материальной точки о неподвижную гладкую поверхность

Будем считать, что материальная точка (например, небольшой шар) массой т в некоторый момент времени ударяется о неподвижную гладкую поверхность (рис. 3.9). Нормаль n к поверхности в точке соприкосновения при ударе называется линией удара.

Угол между вектором скорости точки в момент начала удара v и

линией удара называется углом падения (угол α на рис. 3.9).

Угол между вектором скорости точки в момент окончания удара u и линией удара называется углом отражения (угол b на рис. 3.9). При a = 0 удар называется прямым. В случае прямого удара угол отражения b

тоже равен нулю.

При a ¹ 0 удар называется косым. В случае косого удара b ¹ 0 .

Рассмотрим прямой удар (рис. 3.10). Опыты показывают, что ско- рость после прямого удара меньше скорости до удара.

Рис. 3.9. К понятию удара материальной точки Рис. 3.10. К понятию прямого удара

Отношение k = U называется коэффициентом восстановления ско-

рости при ударе (или просто коэффициентом восстановления). Для реаль- ных тел 0 < k < 1.

Коэффициент восстановления определяется экспериментальным путем. Примерные значения коэффициента восстановления: для стали –

0,55; для дерева – 0,5; для стекла – 0,93.

Предельный случай, когда k = 1, называется вполне упругим ударом. Второй предельный случай, когда k = 0, называется неупругим ударом. При обычных значениях 0 < k < 1 удар называется не вполне упругим.

132

Не вполне упругий удар имеет две фазы. Первая фаза продолжается от момента соприкосновения тел до момента их максимального деформи-

рования. Длительность первой фазы удара будем означать τ1. Вторая фаза продолжается от момента максимального деформирования до момента разъединения соударяющихся тел. Длительность второй фазы удара будем обозначать τ2 . Следовательно,

τ1 + τ2 = τ .

При прямом ударе материальной точки о неподвижную поверхность

на точку действует ударная реакция поверхности N , направленная по нормали к последней.

Найдем изменение количества движения точки за первую фазу уда- ра. В конце этой фазы скорость точки обращается в нуль. Поэтому, считая направление скорости v отрицательным, будем иметь:

			τ1
0 − (−mV ) = S1 = ∫ Ndt .					(3.112)
		0
Изменение количества движения точки за вторую фазу удара
			τ2
mU − 0 = S2 = ∫ Ndt .					(3.113)
			τ1
Суммируя изменения количества движения, получаем
			τ
m(V + U ) = S = ∫ Ndt ,
		0
где S = S1 + S2 – суммарный ударный импульс за обе фазы удара.
Учитывая, что U = kV , придем к выражению
			τ
S = (1 + k ) mV = ∫ Ndt .
		0
По известному свойству определенного интеграла
τ
∫ Ndt = Ncpτ ,
0
где Ncp – среднее значение ударной реакции.
Тогда
N		=	(1 + k )mV	.
N	cp	=		.
	cp		τ
			τ

Разделим выражение (3.113) на (3.112), получим

133

mU = S2 , mV S1

откуда отношение величин ударных импульсов

S2	= k .	(4.114)
S1

3.13.4. Действие удара на механическую систему

Механическую систему можно подвергнуть действию внешних ударных сил. При этом возникнут ударные реакции связей, наложенных на систему, и скорости отдельных точек системы изменятся на конечную ве- личину в течение весьма малого промежутка времени. Изменение количе- ства движения системы за время удара будет равно геометрической сумме внешних импульсов. За время удара конечной величины достигают лишь ударные импульсы.

Поэтому

				n
			K′′ − K ′ = ∑ Ske ,		(3.115)
				k =1

где	K′ = MVc	–	вектор количества движения системы в момент начала уда-
ра;		–
ра;	K′′ = MU	–	вектор количества движения системы в момент окончания

удара; М – масса системы; Vc и Uc – векторы скорости центра масс до и

после удара соответственно; Ske – внешний ударный импульс, приложен-

ный к k-той точке.

Векторному уравнению (3.115) можно придать следующий вид:

	n
M (Uc	− Vc ) = ∑ Ske ,
	k =1
или в проекциях:
	n
M (Ucx − Vcx ) = ∑ Skxe ;
	k =1
	n
M (Ucy − Vcy ) = ∑ Skye ;		(3.116)

k =1

M (Ucz − Vcz ) = ∑ Skze . k =1

Поскольку за время удара координаты отдельных точек системы не успевают измениться заметным образом, координаты и радиус-вектор цен- тра масс также не изменяются за время удара.

134

Найдем изменение кинетического момента системы за время удара, суммируя изменения векторов моментов количеств движения всех точек. Для k-той точки, на основании уравнения (3.110),

M0 (mkUk ) − M0 (mkVk ) = M 0 (Sk ) .

Результирующий ударный импульс Sk , действующий на k-тую точку системы, слагается из внешнего и внутреннего ударных импульсов:

Sk = Ske + Ski .

Согласно теореме Вариньона

M 0 (Sk ) = M 0 (Ske ) + M 0 (Ski ) .

Поэтому изменение момента количества движения k-той точки за время удара равно

(m U

) − M

(m V ) = M

(S e ) + M

(S i ) .

(3.117)

k k

Составляя уравнения (3.117) для всех точек системы и суммируя их

почленно, получим

′′

′

(3.118)

− L0 =

∑ M 0 (Sk ) ,

k =1

где

′

′′

кинетические моменты системы до и после удара соответст-

L0 –

венно;

∑ M 0 (Ski ) = 0

– по известному свойству внутренних сил.

k =1

Векторному уравнению (3.118) соответствуют три скалярных:

′′

′

− Lx

= ∑ M x (Sk ) ;

k =1

′′

′

(3.119)

− Ly

= ∑ M y (Sk ) ;

k =1

′′

′

− Lz

= ∑ M z (Sk ) .

k =1

Из рассмотрения полученных результатов следует, что внутренние ударные импульсы не могут изменить за время удара не только количество движения системы, но и ее кинетический момент.

135

3.13.5. Прямой центральный удар двух тел

Удар двух тел называется центральным, если линия удара проходит через центры тяжести этих тел.

	Определим изменение скоростей
	двух тел при прямом центральном ударе
	(рис. 3.11). Скорость первого тела будем
	обозначать индексом 1, а скорость второго –
	индексом 2. Допустим, что до удара скоро-
Рис. 3.11. К понятию	сти V1 и V2 направлены в одну сторону.
центрального удара двух тел	В ту же сторону направим линию удара.
	При ударе первое из соударяющихся

тел воспримет ударный импульс – S , а второе – ударный импульс S . Ко- личества движения тел за все время удара изменятся следующим образом: m1(U1 − V1) = −S;

;	(3.120)
m2 (U2 − V2 ) = S.
Почленно складывая эти уравнения, получаем
m1V1 + m2V2 = m1U1 + m2U2 .	(3.121)

Скорости после удара найдем для двух случаев.

Неупругий удар

В этом случае оба тела после удара должны иметь одинаковую ско- рость, так как при неупругой деформации соприкосновение тел после уда- ра не прекратится

U1 = U2 = U .

Подставляя это значение в выражение (3.121), получаем

Ударный импульс найдем из второго уравнения (3.120)


S =	m1m2	(V − V ) .		(3.123)
S =		(V − V ) .		(3.123)
	1		2
	m1 + m2

Не вполне упругий удар

В этом случае будут две фазы удара. В конце первой фазы, в момент максимального деформирования соударяющихся тел, скорости последних будут одинаковы. Поэтому для первой фазы не вполне упругого удара ис- пользуется формула (3.122), выведенная для неупругого удара.

136

Количества движения тел за первую фазу удара изменятся следую- щим образом:

m1(U − V1) = −S1;								(3.124)
m (U − V ) = S ,								(3.124)
2		2		1
где S1 можно найти по формуле (3.123).
Изменение количества движения тел за вторую фазу удара
m1(U1 − U ) = −S2							;	(3.125)
m (U	2	− U ) = S			2	.		(3.125)
2	2				2
Так как
	S2		= k ,
			= k ,
	S1
то уравнение (3.125) можно записать в виде
m1(U1 − U ) = −kS1;								(3.126)
m (U	2	− U ) = kS .						(3.126)
2	2				1

Разделив первое (второе) уравнение (3.126) на первое (второе) урав-

нение (3.124), получаем соответственно
U1 − U		= k ;	U2	− U	= k .	(3.127)
	U − V1		U − V2

Тогда U1 = (1 + k )U − kV1 ;

U2 = (1 + k )U − kV2 .

Далее, подставляя значение U, выраженное формулой (3.122), нахо-

дим скорости после удара:

U = (1 + k )

m1V1 + m2V2

− kV ;

= (1 + k )

m1V1 + m2V2

− kV .

(3.128)

m1 + m2

+ m2

Если в формулу (3.128) подставить k = 0, придем к ранее полученной

формуле (3.122).

Модуль ударного импульса за обе фазы

S = S + S

= (1 + k )S = (1 + k )

m1m2

(V − V ) .

(3.129)

m1 + m2

Разность скоростей тел после удара, согласно уравнению (3.128), равна

U1 − U2 = −k (V1 − V2 ) .

(3.130)

137

3.13.6. Потеря кинетической энергии при неупругом прямом центральном ударе (теорема Карно)

Сумма кинетических энергий соударяющихся тел до удара

T ′ = m1V12 + m2V22 .

2 2

Сумма кинетических энергий тех же тел после неупругого удара

T ′′ = (m1 + m2 )U 2 , 2

где U определяется по формуле (3.122). Потеря кинетической энергии при ударе

		T − T =		1	[m (V 2				− U 2 ) + m (V 2 − U 2 )] .								(3.131)
		T − T =			[m (V 2				− U 2 ) + m (V 2 − U 2 )] .								(3.131)
				2			1	1			2			2
				2
Сумму, стоящую в квадратных скобках, преобразуем следующим
образом:
		m (V		2	− U 2 ) + m (V						2 − U 2 ) =
		1	1						2	2
= m (V 2		+ U 2 ) + m (V						2 + U 2 ) − 2m V U − 2m V U =
1	1				2		2				1		1		2	2
		= m (V − U )							2 + m (V − U )2.
				1			1			2	2
Тогда получаем
		T ′ − T ′′		=		m (V − U )				2		m (V − U )			2		(3.132)
		T ′ − T ′′		=			1	1		+	2			2	.		(3.132)
							1	1			2			2
								2						2

Формула (3.132) выражает теорему Карно: потеря кинетической

энергии при неупругом ударе равна кинетической энергии, соответст- вующей потерянным скоростям.

Потерянными скоростями называются разности скоростей (V1 − U ) и (V2 − U ) .

Можно также получить выражение (3.132), не содержащее U:
T ′ − T ′′ =	m m			(V − V )		2	(3.133)
	1	2	1		2	.
	m1 + m2				2

138

3.13.7. Потеря кинетической энергии при не вполне упругом прямом центральном ударе

Сумма кинетических энергии соударяющихся тел до удара

T ′ = m1V12 + m2V22 .

2 2

Сумма кинетических энергий тех же тел после не вполне упругого удара

T ′′ = m1U12 + m2U22 .

2 2

Потеря кинетической энергии за время удара

T ′ − T ′′ = 1 m1(V12 − U12 ) + m2 (V22 − U22 ) .

Подставляя значения U1 и U2, выраженные формулами лучаем

T ′ − T ′′ = (1 − k	2	)	m m			(V − V )2		.
			1	2	1		2
			m1 + m2				2

(3.134)

(3.128), по-

(3.135)

При неупругом ударе, когда k = 0, формула (3.135) переходит в фор-

мулу (3.133).

3.14.Теория колебаний

3.14.1.Прямолинейное гармоническое колебательное движение материальной точки

Определим закон движения точечной массы m под действием силы, пропорциональной расстоянию от некоторого неподвижного центра и на- правленной в сторону последнего.

Через заданный центр О и	– a	O		m	a
Через заданный центр О и		O
положение точечной массы в не-
положение точечной массы в не-						x
который момент времени t прове-			F			x
			x

дем ось Ох (рис. 3.12). Если при-


нять за начало отсчета точку О, то	Рис. 3.12. К выводу дифференциального
по условию на данную точечную	Рис. 3.12. К выводу дифференциального
по условию на данную точечную		уравнения движения (3.137)

массу будет действовать единст-

венная сила притяжения к неподвижному центру (называемая восстанав-

ливающей силой), изображенная вектором F . Проекция этой силы на ось Ох равна сх, где с – постоянный коэффициент, а х – координата.

139

Следовательно, в данном случае дифференциальное уравнение дви- жения точечной массы будет иметь вид

mx = −cx .				(3.136)
	ɺɺ
Разделив уравнение (3.136) на m и обозначив				с	= ω2 , приводим его

				m
к виду
ɺɺ	+ ω	2	x = 0 .	(3.137)
x
Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что
общим решением уравнения (3.137) является
x = a sin(ωt + ϕ0 ) ,				(3.138)

где а и ϕ0 – постоянные.

Это уравнение представляет собой закон рассматриваемого движе-

ния. Как известно из кинематики, движение, происходящее согласно дан- ному закону, называется гармоническими колебаниями. В формуле (3.138) постоянная a, называемая амплитудой колебаний, представляет собой мак- симальное отклонение движущейся точечной массы от положения равно- весия (точки О). Аргумент синуса ωt + ϕ0 называется фазой колебаний в момент времени t, а угол ϕ0 – начальной фазой. Фаза и начальная фаза из- меряются в радианах. Величина

ω =	с	(3.139)
	m

называется круговой (или угловой) частотой колебаний. Размерность круговой частоты [ω] = рад/с = 1/с.

Период колебаний – промежуток времени, после которого колеблю- щаяся точка возвращается в данное положение с той же скоростью,

T =	2π	= 2π	m	.	(3.140)
	ω
			c
Величина, обратная периоду,

ν = 1 ,

называется частотой колебаний. Единицей частоты служит 1 герц (обо- значается Гц). Частота 1 Гц соответствует 1 периоду в 1 секунду.

При t = 0 x0 = a ×sin j0 .

140

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2914 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика

#
19.01.2022750.59 Кб11Тест экзамен по теоретической механики.doc
#
19.01.20227.8 Mб20УМК Коровкин-Кулик.pdf