УМК Коровкин-Кулик

Совокупность сил, действующих на материальное тело, называется системой сил (см. рис. 1.1).Среди сил системы наравне с заданными могут быть и неизвестные, подлежащие определению.

Простейшие свойства сил, приложенных к абсолютно твердому телу, устанавливаются аксиомами статики. Опираясь на них, логическим путем строятся все положения статики абсолютно твердого тела. В частности, выводятся правила, по которым можно заменить заданную систему сил бо- лее простой эквивалентной системой. Эту операцию называют сложением сил. Может решаться и обратная задача – замена одной силы системой сил

(разложение силы на составляющие). Системы сил, которые производят одинаковое действие на тело, называются эквивалентными.

и (P , P ) эквивалентны.

1 2

Одна сила, эквивалентная системе сил, называется равнодейст- вующей силой данной системы.

Система сил, эквивалентная нулю, называется уравновешенной.

Под действием такой системы сил абсолютно твердое тело находится в равновесии.

Выяснение условий эквивалентности различных систем сил, уста- новление способов замены одной системы сил, приложенной к абсолютно твердому телу, другой эквивалентной системой сил входит в задачи стати- ки. Но решение этих задач играет вспомогательную роль, так как конечной целью является получение условий равновесия твердых тел при действии на них различных систем сил.

Встатике будем пользоваться системой отсчета, неизменно связан- ной с Землей. Поэтому, когда говорим, что тело находится в равновесии, то имеем в виду покой или равномерное прямолинейное движение этого тела по отношению к Земле.

Воснове статики лежат аксиомы – простые исходные положения, подтверждаемые многовековой практикой и не нуждающиеся в доказа-

тельствах. Они устанавливают основные свойства сил, приложенных к материальной точке и к абсолютно твердому телу.

Аксиома I. Для равновесия двух сил, приложенных к абсолютно твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные сторо-

ны (рис. 1.2):

если (F1 , F2 ) ~ 0, то F1 = F2 , но F1 = − F2 .

11

Аксиома II. Не изменяя действия системы сил на абсолютно твердое тело, можно прибавить к этой системе (или отнять от нее) вза- имно уравновешивающиеся силы (рис. 1.3):

Следствие. Не изменяя действия данной силы на абсолютно твер- дое тело, ее можно переносить по линии действия в любую другую точку тела.

Аксиома III (аксиома параллелограмма сил). Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке тела, по величине и направле- нию совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рис. 1.4).

Если обозначим через R равнодействующую двух сил F 1 и F 2, то на основании этой аксиомы имеем:

R ~ (F1 , F2 ) .

Аксиома IV (принцип равенства действия и противодействия). Силы,

с которыми действуют друг на друга два тела, равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.5):

F12 = F21; F 12 = – F 21.

Важно заметить, что действие и противодействие представляют со- бой две силы, приложенные всегда к двум разным телам. Поэтому их нель- зя считать взаимно уравновешивающимися.

Аксиома V (принцип затвердевания). Если деформируемое (не аб-

солютно твердое) тело, которое находилось под действием системы сил в состоянии равновесия, станет абсолютно твердым, то его равновесие не нарушится.

12

Эта аксиома имеет большое значение при изучении равновесия де- формируемых тел. Из нее следует, что условия равновесия абсолютно твердого тела являются необходимыми и для равновесия деформируемо- го тела.

Таким образом, принцип затвердевания устанавливает связь между статикой абсолютно твердого тела и статикой деформируемого тела.

1.2. Связи и реакции связей

Точка или тело называются свободными, если они могут совершать любые перемещения в пространстве. Если же тело поставлено в условия, что некоторые перемещения для него становятся невозможными, то такое тело называется несвободным.

Любые ограничения, накладываемые на движения тел, в механике называются связями.

Связи, с которыми приходится встречаться в механике, осуществля- ются при помощи материальных тел (твердых или гибких). Между несво- бодным телом и телом, осуществляющим связь, появляются силы взаимо-

действия. Сила, с которой связь действует на рассматриваемое тело, препятствуя его перемещению в том или ином направлении, называется реакцией связи.

Из аксиомы IV следует, что сила, с которой тело действует на связь, и реакция этой связи имеют одинаковые величины, но противоположные направления.

Силы взаимодействия тела и связи зависят от других сил, прило-

женных к несвободному телу. Эти силы называются активными. Как пра- вило, они бывают известными (заданными). Нахождение сил реакций яв- ляется одной из важнейших практических задач, решаемых в механике.

13

Сила реакции, как и любая другая сила, является величиной вектор- ной, она характеризуется численным значением (модулем) и направлени- ем. Существует общее правило, характеризующее взаимодействие рас-

сматриваемого тела и связи: направление силы реакции противоположно тому, в котором связь препятствует перемещению.

Все многообразие связей, осуществляемых при помощи материаль- ных тел, можно разделить на несколько основных типов.

Гладкая поверхность. Тело свободно опирается на гладкую (без трения) поверхность связи в точке А (рис. 1.6). В этом случае реакция опорной поверхности приложена к телу в точке А и направлена по общей нормали, проведенной в этой точке к поверхностям соприкасающихся тел. Поэтому она называется нормальной реакцией и обозначается обыч-

но через N .

Нить. Связь осуществляется при помощи гибкого тела (троса, кана- та, цепи и т.п.). Реакция такой связи (реакция нити) приложена к телу в точке крепления к нему нити и направлена вдоль нее к точке подвеса (силы

T 1 и T 2 на рис. 1.7).

Неподвижная шарнирная опора. Шарниром называется такое под-

вижное соединение тел, которое дает им возможность свободно поворачи- ваться относительно друг друга. Если таким способом присоединить тело к неподвижному основанию (стойке), то получается шарнирно-неподвижная опора. При отсутствии трения в шарнире такая опора препятствует пере- мещению тела в любом направлении, перпендикулярном к оси шарнира. Поэтому ее реакция может принимать любое направление, перпендику- лярное к оси шарнира (например, в плоскости рисунка). При решении за- дач эту силу реакции обычно представляют в виде двух составляющих сил, которые направляют перпендикулярно друг к другу, например, параллель- но принятым осям координат (рис. 1.8).

14

Неподвижная шарнирная опора может быть выполнена при помощи сферического шарнира (рис. 1.9). В этом случае неподвижным остается только геометрический центр В шарнира. Через него проходит линия дей- ствия силы реакции, которая может иметь любое направление в простран- стве. Поэтому ее представляют уже в виде трех составляющих (направляя параллельно осям x, y, z). Каждая из них указывает на то, что точка В (центр шарнира) не может перемещаться в этом направлении.

Подвижная шарнирная опора. Если стойку шарнира поставить на катки так, чтобы она могла свободно перемещаться по опорной поверхно- сти, то реакция такой шарнирной опоры будет направлена (в случае глад- кой поверхности) по нормали к ней (рис. 1.10).

Стержневая связь (стержень). Эта связь осуществляется при по- мощи жесткого невесомого стержня произвольного очертания. На концах стержня имеются шарниры, при помощи которых он крепится к телу и к неподвижному основанию. Реакция стержневой связи направлена по пря- мой, соединяющей концевые шарниры (рис. 1.11).

Жесткая заделка или защемление. Так называется связь, ограничи-

вающая любые перемещения тела. В жесткой заделке появляется система сил реакций, которую обычно представляют в виде одной силы (сила реак- ции жесткой заделки) и одной пары сил с моментом М (реактивный мо- мент). При решении задач их раскладывают на составляющие силы и мо- менты, которые символизирует ограничение того или иного движения те- ла. Например, в случае плоской системы сил они представляются в виде

X A , Y A и mɶ A (рис. 1.12), которые показывают, что тело не может свобод- но перемещаться в направлении этих сил (или в противоположном направ- лении) и не может поворачиваться вокруг точки А. В случае пространст- венной системы сил реакцию жесткой заделки представляют в виде трех

составляющих сил X B , Y B , Z B и трех моментов MBx , MBy и MBz относи- тельно осей x, y и z (рис. 1.13). Их направление принимают произвольно, и после решения задачи, то есть после вычисления составляющих сил реак- ций и реактивных моментов, уточняют эти направления.

1.3. Системы сходящихся сил

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересека- ются в одной точке.

Если линии действия всех сил системы лежат в одной плоскости, то она называется плоской, в противном случае – пространственной.

Сложением сходящихся сил называется операция определения их равнодействующей.

16

Простейшую систему образуют две силы, сходящиеся в одной точке. Ранее мы выяснили, что силу, приложенную к твердому телу, можно пере- носить по ее линии действия и прикладывать в любой точке тела. А из ак- сиомы III следует, что силы могут быть заменены одной силой, величина и направление которой совпадают с диагональю параллелограмма, постро- енного на векторах этих сил. Поэтому можно записать

Этот способ сложения двух сил называется правилом параллело-

грамма сил.

Нетрудно видеть, что для нахождения равнодействующей силы не- обязательно строить параллелограмм: достаточно к концу одной силы (на- пример, первой) перенести вектор второй силы, а затем из начала первой провести вектор к концу второй (перенесенной) силы (рис. 1.14). Полу- чившийся треугольник называется силовым, а соответствующее правило нахождения равнодействующей силы – правилом силового треугольника.

Рис. 1.14. К понятию сложения сил

Равнодействующую двух сходящихся сил можно найти и с помощью вычислений:

Чтобы найти равнодействующую в том случае, когда на тело дейст- вует большое число сходящихся сил (рис. 1.15), можно воспользоваться правилом силового треугольника последовательно для сложения сначала двух, затем трех и так далее сил. В результате получим так называемый си- ловой многоугольник, в котором вектор, проведенный из начала первой си- лы к концу последнего перенесенного вектора, и будет изображать иско- мую равнодействующую:

k =1

17

При построении силового многоугольника может получиться так, что конец последней перенесенной силы (Fn) попадает в начало первой, то есть многоугольник замкнется (рис. 1.16). В этом случае равнодействую- щая сила системы окажется равной нулю и, следовательно, данная система сил эквивалентна нулю, то есть находится в равновесии.

Отсюда заключаем, что для равновесия системы сходящихся сил не- обходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на этих силах, был замкнут.

Например, если угол a острый, то cos (a) > 0 и Fx > 0; если 90° > a > 270°, то Fx < 0 и т. д.

В частных случаях, когда a = 0 (то есть сила параллельна оси проек- ций и имеет такое же направление), F1x = F1; если вектор силы перпенди- кулярен к оси проекций, то F2x = 0, поскольку cos 90° = 0, и т. д.

Рассмотрим теперь определение равнодействующей сходящихся сил с помощью проекций.

18

Пусть задана система сходящихся сил ( F 1, F 2, F 3, F 4), на которых

→

построили силовой многоугольник ABCDE, где вектор AE соответствует

равнодействующей силе R данной системы (рис. 1.18). Выберем ось x и найдем проекции каждой силы на эту ось. Получаем

То есть, проекция равнодействующей системы сходящихся сил на ось равна алгебраической сумме проекций сил, составляющих эту систему.

Полученный результат можно применить и к определению проекции равнодействующей силы на любую другую ось (например, y и z прямо- угольной пространственной системы координат Oxyz). Следовательно, в случае системы, состоящей из n сил,

В случае пространственной системы сходящихся сил величина силы R находится как длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, реб-

19

Рис. 1.19. К выводу формул (1.7) и (1.8)

Направление равнодействующей, то есть углы, образуемые ею с ося- ми Ox, Oy и Oz, можно найти из формул

Получим теперь аналитические уравнения равновесия сходящихся сил. Как мы установили ранее, для равновесия сходящихся сил необходи-

мо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на векторах

сил системы, был замкнут, то есть R = 0 . Следовательно, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие три уравнения равновесия:

а в случае плоской системы сходящихся сил – два уравнения, так как все- гда можно принять ось Oz перпендикулярной к плоскости, в которой дей- ствуют силы системы:

Итак, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и доста- точно, чтобы сумма проекций всех сил системы на каждую из коорди- натных осей равнялась нулю.

Теорема о равновесии трех сил. Если три непараллельные силы,

приложенные к твердому телу, уравновешиваются, то эти силы рас- положены в одной плоскости и линии действия их пересекаются в од- ной точке.

20