Гидравлика и гидропривод

Рис. 2.7. Схемы для определения силы давления жидкости на плоскую стенку аналитическим (а) и графоаналитическим (б) методами

а сила давления на всю рассматриваемую площадь F

Р±= j dP = j* pgy sin adF = pg sin a [ ydF.

F F F

Выражение / ydF представляет собой статический момент

F

рассматриваемой площади относительно оси х, равный произ­ ведению площади этой фигуры F на расстояние от ее центра тяжести до оси х, т. е. ycF. Таким образом, P = pgs\naycF или, учитывая, что ycs m a —hc,

Из уравнения (2.15) видно, что сила давления жидкости на плоскую стенку Р равна произведению площади стенки F, смо­ ченной жидкостью, на гидростатическое давление в ее центре тяжести pc = pghc.

В том случае, если, на поверхность жидкости действует дав­ ление, отличающееся от атмосферного, то силу давления жидко­

‘где рм и рв — соответственно манометрическое давление и ва­ куум на поверхности жидкости.

В ряде случаев кроме значения силы давления жидкости на стенку необходимо знать координаты точки ее приложения —

центра давления.

• Предположим, что сила давления Р приложена в точке D, находящейся на расстоянии уа от рсн х. В соответствии с тео­

ремой Варийьойа о MOMeHfe равнодействующей (момент равно­ действующей силы относительно какой-либо оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси)

Мх = Jj (Шх, или Pyd= J dРу.

Заменив в последнем выражении Р и dP их значениями, по­ лучим:

pgsina‘y cFyd = j* pgysina-dF-y.

Вынесем постоянные за знак интеграла и сократим подоб­ ные члены в левой и правой частях уравнения;

y f y d ^ j i yi(iF.

Выражение $y2dF предстайляет собой момент инерции /*

F

площади фигуры относительно оси х, который может быть выра­ жен через момент инерции / с относительно центральной оси, па­ раллельной оси х:

Глубина погружения центра давления от свободной поверх­ ности

Из уравнений (2.18) и (2.19) видно, что центр давления рас­ положен ниже центра тяжести* стенки.

По горизонтали центр давления расположен на оси симмет? рии площади фигуры.

Силу давления жидкости на плоскую стенку р и глубину по­ гружения центра давления ha можно определить также графо­ аналитическим методом. Для этого необходимо построить эпюру

* При давлении на поверхности жидкости, находящейся в резервуаре, от­ личающемся от атмосферного, точка приложения силы, создаваемой внешним давлением, будет совладать с центром тяжести стенки, а результирующая обе­ их сил может быть приложена как ниже точки С (при рм), так и ниже HJJJI

выше точки С (при рв).

сил давления жидкости на стенку, определить объем эпюры V3Il и найти центр тяжести этого объема.

Например, определим Р и для плоской стенки прямоуголь­

ем эпюры, а следовательно, и силу давления можно определить по формуле

Центр тяжести эпюры (точка О) определяется графически в соответствии с правилами геометрии (см. рис. 2.7,6, штрихо­

расстояние от свободной поверхности до центра тяжести площа­ ди Лс будет равно высоте жидкости в сосуде Я, поэтому сила давления жидкости на дно сосуда P = pgHF Из этого уравнения видно, что различные по форме сосуды, имеющие одинаковые по площади донья и заполненные одинаковой жидкостью на одну и ту же высоту, будут иметь одинаковую силу давления на дно независимо от формы сосуда и количества находящейся в нем Жидкости (гидростатический парадокс). Что касается центра давления, то для дна сосуда он совпадает с центром тя­ жести его площади.

расстояние центра тяжести щита от свободной поверхности

5 — — =* 3,5 м,

22

*Для большей наглядности дальнейших построений эпюры силы давления построена на наружной стороне стенки.

Рис. 2.9. Схема для определения силы

давления жидкости на криволинейную стенку

В технике используются в основном сосуды с криволиней­ ными стенками, представляющими собой поверхности вращения (сферу, цилиндр, конус и т. д.), и осями симметрии, лежащими в плоскостях нормальных к стенкам, что существенно упроща­ ет задачу определения силы давления жидкости.

Определим силу давления жидкости Р на криволинейную стенку цилиндрической формы (рис. 2.9), след которой — ли­ ния MN.

Аналогично расчету силы давления жидкости на плоскую стенку выделим на криволинейной стенке элементарную пло­ щадку dF (след которой —линия тп), находящуюся на расстоя­ нии 2 от свободной поверхности. Сила давления жидкости на эту элементарную площадку dP=pdF = pgzdF.

Разложим dP на две взаимно перпендикулярные составляю­

тикальные составляющие. Так как размеры элементарной пло­ щадки несоизмеримо малы, предположим, что она — плоская. Тогда проекции ее на горизонтальную и вертикальную плоско­ сти: dP* = dFsina; dP2= dPcosa.

Найдем горизонтальную составляющую силы давления жид­ кости на криволинейную стенку Рх, которая представляет собой сумму всех элементарных горизонтальных составляющих dP*.

Так как dPx= dP cosa = pgzdF cosa=pgzdFz,

где S zdFz= Sz = hcFz— статический момент площади вертикаль-

F*

ной проекции криволинейной стенки относительно оси х, прохо­ дящей по свободной поверхности жидкости; Fz — площадь вер­ тикальной проекции криволинейной стенки, смоченной жид­

Таким образом, горизонтальная составляющая силы давле­ ния жидкости на криволинейную стенку равна силе давления жидкости на ее вертикальную проекцию [сравните уравнения (2.21) и (2.15)].

Найдем теперь вертикальную составляющую силы давления жидкости на криволинейную стенку Рг, которая представляет собой сумму всех элементарных вертикальных составляю­ щих dРг:

dP* = dPsin a^pgzdFsin a=pgzdFx= pgdV,

где dV = zdFx— элементарный объем жидкости, основанием ко­ торого является площадка dFx, а высотой — расстояние z от этой площадки до свободной поверхности жидкости. Интегри­ руя dPz по всему объему V, получим

P J = |d P / = jpgdV ' = pgj‘dK,

Таким образом, вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе тяжести жидко­ сти в объеме V, называемом телом давления.

Результирующая сила давления жидкости на криволиней­ ную стенку равна геометрической сумме ее составляющих —

а если необходимо (если объем окажется незамкнутым), то и горизонтальной проекцией этой стенки на свободную поверх­

положительным), если его объем, прилегающий к стенке, запол­ нен жидкостью (Рг при этом направлена вниз), и фиктивным (или отрицательным), если его объем, прилегающий к стенке,

Рис. 2.12. Расчетные схемы для определения:

те, в каких пределах они могут изменяться. Поясните это графически.

6. Определите разность уровней ЛЯ воды и керосина в трубках (рис. 2.12,а), если вакуум в воздушном резервуаре рв=37,5 мм рт. ст., относи­ тельная плотность керосина бк = 0,8.

(Ответ: 128 мм.) 7. Сформулируйте закон Паскаля и приведите примеры его применения

вгорной практике.

8.Определите силу давления воды на прямоугольную крышку размера­

ми а= 200 мм, Ь = 300 мм, расположенную на вертикальной боковой стенке (рис. 2.12,6), если расстояние нижней кромки крышки до дна резервуара /i=400 мм, а показание манометра рм= 10 кПа. Вычислите вертикальную координату центра давления.

(Ответ: 294 Н; 515 мм.) 9. Как определить силу давления жидкости и ее составляющие на кри­ волинейную стенку? Какие величины входят в расчетные формулы для оп­

ределения этих сил?3

3. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ жидкости

Кинематика жидкости, являясь частью гидравлики, описывает движение жидкости вне зависимости от того, какие динамиче­ ские условия вызывают или поддерживают данное движение.

3.1. Методы описания движения

Движущаяся жидкость представляет собой сплошную среду, состоящую из частиц, которые перемещаются с различными па­ раметрами, изменяющимися в зависимости от координат и времени.

Частица сплошной среды — это весьма малый элемент объ­ ема (элементарный объем), который можно считать точечным.

В кинематике жидкости возможны два метода описания дви­ жения— Лагранжа и Эйлера.

Метод Лагранжа заключается в том, что движение жидкости задается путем указания зависимости изменения координат оп­ ределенной (намеченной) частицы жидкости от времени. Дви*

в

Рис. 3.1. Методы описания движения жидкости:

а — Лагранжа; б — Эйлера

жущаяся частица жидкости описывает в пространстве траекто­ рию, вдоль которой изменяется скорость и (рис. 3.1,а). В не­ подвижной системе координат частица А перемещалась: с Хо, г0 на х\, Zi за время tt; с х\, Z\ на jt2, z2 за время / 2 и т. д.Та­ ким образом, при описании движения частицы переменными яв­ ляются ее скорость, ускорение и координаты.

Для большинства инженерных задач нет необходимости знать параметры движения отдельных частиц, поэтому метод Лагранжа чаще применяется в теории для решения задач и

торые проходят частицы жидкости с различными скоростями,

ся неизменными. Использование этого метода значительно об­ легчает проведение теоретических и экспериментальных иссле­ дований, так как координаты частиц, зафиксированных в про­ странстве, известны и постоянны.

При решении большинства инженерных задач необходимо знать скорости прохождения различных частиц жидкости через определенные элементы конструкций и инженерных сооружений или скорости приближения к ним, поэтому данный метод опи­ сания движения является основным.

По методу Эйлера скорости элементарных объемов жидко­ сти в каждый момент времени в намеченных точках простран­ ства в прямоугольной декартовой системе координат описыва­